OLASILIK İstatistik Doç. Dr. Şakir GÖRMÜŞ SAÜ

Öğrenme Hedefleri Bu konuyu çalıştıktan sonra: İstatistiğin tanımı, amacı ve kapsamını açıklayabilecek. İstatistiğin temel kavramlarını açıklayabilecek. İstatiksel kavramları modellere uygulayabilir.

İçindekiler 1. KAVRAMLAR 1.1. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay 1.2. Olayların Biçimlenmesi 1.3. Olasılık Tanımı 2. PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON 2.1. Permütasyon 2.2. Kombinasyon  2.3.Olasılık Kuralları  2.3.1. Olasılıkların Toplanması 2.3.2. Olasıkların Çarpımı 2.3.3. Olasılıkların Şartlı İhtimalleri  3. İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR

KAVRAMLAR KAVRAMLAR   İstatistik biliminin önemli bir alanı olan olasılık kavramı, araştırılan herhangi bir olayın meydana gelme şansını ölçmemize yardımcı olmaktadır ve istatiksel öngörülerin (tahminlerin) temelini oluşturmaktadır. İnsanların yaşamlarında sık sık belirsizliklerle karşılaşmaktadırlar. Çiftçi için hava durumu, firma için gelecek yılın satışları, uygulanan farklı tedavi yöntemlerinin başarılı olup olmayacağı v.b. belirsizliğe örnek olarak verilebilir. Olasılık belirsizlik altında daha doğru kararlar almaya yardımcı olacağından bir çok alanda kullanılmakta ve faydalı olmaktadır. Olasılık konusunu ve hesaplamasının daha iyi anlaşılabilmesi için bazı olasılıkla ilğili temel kavramların iyi anlaşılmasında fayda vardır.

KAVRAMLAR 1.1. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay  Aynı koşullar altında tekrarlanan deneylerde gözlemlerden hangisinin gerçekleşeceğinin belirsiz olduğu ve sadece bir tanesinin gerçekleştiği sürece “RASSAL DENEY” denir. Yazı-tura atışı, zar atışı, hisse senedi değişimleri, maç sonuçları, öğrencinin alacağı not v.b. Rassal deneyin tüm mümkün sonuçlarını gösteren kümeye “ÖRNEKLEM UZAYI” denir ve S harfi ile gösterilir. Örneklem uzayının gerçekleşmesi arzu edilen alt kümesine “OLAY” denir ve E harfi ile gösterilir. ÖRNEK: Bir zar atıldığında tek sayıların gelmesi istenmektedir. RASTGELE DENEY: Bir zarın atılması S = {1,2,3,4,5,6} E = {1,3,5}

KAVRAMLAR   1.2. Olayların Biçimlenmesi   Rastgele deneyler sonucunda bazı olaylar meydana geldiğinde bu olaylardan yeni olaylar yaratılabilir. Bunun yolları aşağıdaki gibi sıralanabilir ve olaylar arasındaki ilişkileri daha iyi gösterebilmek için “VENN” diyagramları denilen şekillerden yararlanılır.   ÖRNEK: Atılan bir zarın tek olayına A ve 4’ten küçün gelme olayına B olayı dersek. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = [1, 3, 5] ve B= [1, 2, 3]   Bütünleyici: A’nın bütünleyicisi A’da olmayan bütün olayları gösterir ve 𝐴 ile gösterilir. B’nin bütünleyicisi B’de olmayan bütün olayları gösterir ve 𝐵 ile gösterilir. 𝐴 = [2, 4, 6] ve 𝐵 = [4, 5, 6]   Bileşim: A veya B olayından en az bir tanesi gerçekleştiğinde, A veya B olayının bileşimi denir ve A ∪ B olarak gösterilir. A ∪ B = [1, 2, 3, 5]   Kesişim: A ve B olaylarında aynı zamanda olan (ortak olan) bütün deneysel sonuçlardan oluşur ve A ve B olayının kesişimi denir. A ∩ B olarak gösterilir. A ∩ B = [1, 3] Ayrık Olay : A ve B olaylarının ortak sonuçları yoksa bu olaylara ayrık yada bağdaşmaz olaylar denir. A ∩ B boş küme olacaktır.

KAVRAMLAR   1.3. Olasılık Tanımı   Rassal bir deneme yapıldığında sonucu önceden belli olmayan durumlarda bir olayın gerçekleşebilirliğinin sayısal olarak ifade edilmesine “OLASILIK” denir. Diğer bir ifadeyle rassal denemede bir olayın hanği sıklıkla gerçekleşeceğinin bir sayı ile ölçülmesidir. Olasılık 0 ile 1 aralığında bir ölçekle ölçülür. 1 olasılığı olayın kesin olarak gerçekleşeceğini ifade ederken, 0 olasılığı olayın gerçekleşmesinin imkansızlığını ifade eder. Bunlar iki uç değerlerdir. Olasılığın uyması gereken üç önemli kural vardır. A bir olayı, P(A) olayın gerçekleşme olasılığını ve Oi temel sonuçları göstermektedir. 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, A olayının gerçekleşme olasılığı 0 ile 1 arasındadır.   2. P(A) = 𝐴 𝑃( 𝑂 𝑖 ) , Deneme (N) sonsuza giderken NA / N oranı P(A)’ya ve Ni /N oranıda 𝑃( 𝑂 𝑖 )’ye yaklaşır.   3. P(S) = 1, Olayın sonucu örneklem uzayı içinde olacaktır. ÖRNEK: Atılan bir zarın 3 çıkma olasılığı nedir? P(A) = 𝐸𝑙𝑣𝑒𝑟𝑖ş𝑙𝑖 𝑜𝑙𝑎𝑦 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı 𝑀ü𝑚𝑘ü𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢ç 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı = 1 6 ÖRNEK: 10 tanesi hatalı olan 500 SEDAŞ faturasından seçilen bir tanesinin hatalı çıkma olasılığı nedir? P(A) = 𝐸𝑙𝑣𝑒𝑟𝑖ş𝑙𝑖 𝑜𝑙𝑎𝑦 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı 𝑀ü𝑚𝑘ü𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢ç 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı = 25 500 =0.05

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON 2.1. Permütasyon   Birbirinden farklı n tane elamanın kaç farklı şekilde sıralanabileceği “PERMÜTASYON” yardımıyla bulunur. Permütasyonlar olaya göre farklılıklar gösterebilirler.   2.1.1. Sıralı Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin seçilen k tane elemanının kaç farklı şekilde olabileceğinin hesaplamsında kullanılır. Formülü aşağıdaki gibidir.   𝑃 𝑛, 𝑥 = 𝑛! (𝑛−𝑥)!   ÖRNEK : 1, 2, 3, 4, 5 sayılarından seçilecek olan iki sayı kaç farklı şekilde sıralanabilir ?   𝑃 5, 2 = 5! (5−2)! = 5! 3! = 5∗4∗3∗2∗1 3∗2∗1 =5∗4=20 𝑓𝑎𝑟𝑘𝑙ı ş𝑒𝑘𝑖𝑙𝑑𝑒.

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON 2.1.2. Dairesel Permütasyon: n elemanlı bir A kümesinin seçilen k tane elemanının bir çember etrafında kaç farklı şekilde olabileceğinin hesaplamsında kullanılır. Formülü aşağıdaki gibidir. Pn = (n-1)! ÖRNEK : 2 kadın 3 erkekten oluşan bir grup 5 kişilik yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilir ? P5 = (5-1)! = 4! =24 farklı şekilde. ÖRNEK : 2 kadın 3 erkekten oluşan bir grup erkekler bir arada olmak üzere 5 kişilik yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilir ? Erkekler kendi aralarında 3! = 6 ve kadınlar kendi aralarında 2! = 2 farklı şekilde oturabilirler. Kadın ve erkekleri iki grup olarak düşünürsek bu iki grup yuvarlak masa etrafında (2-1)! = 1 farklı şekilde oturabilir. O zaman bu koşullar altında 6*2*1= 12 farklı şekilde oturabilirler. 2.1.3. Tekrarlı Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin bazı elemanları tekrar ediyorsa bu tekrar eeden elemanların yer değiştirmesi yeni bir sıralama oluşturmaz. Bu durumlarda aşağıdaki formül kullanılmalıdır. n1, n2….nx Pn = n!/(n_1 ! n_(2 ) !……n_(x ) !) ÖRNEK: 244222 sayısındaki rakamların yeri değiştirilerek 5 rakamlı kaç farklı sayı türetilebilir? 4,2P6 = 6!/4!2!= farklı sayı elde edilir.

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON 2.2. Kombinasyon: A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin “KOMBİNASYONU” denir. Kombinasyon n elemanlı bir A kümesinden k elemanlı kaç tane farklı seçim yapılabileceğini gösterir. Formülü aşağıdaki şekildedir.   𝐶 𝑛 𝑥 = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑥)!   ÖRNEK: 10 kişilik bir aday kadrodan 5 kişilik basketbol takımı kaç farklı şekilde seçilebilir?   𝐶 10 5 = 10! 5!(10−5)! = 10! 5!5! =252

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON 2.3. Olasılık Kuralları   Bazen olasılık olayları bileşim, arakesit yada şartlı olabilir. Bu başlık altında bu olasıkların hesaplanması incelenecektir.   2.3.1. Olasılıkların Toplanması   A ve B gibi iki olay bir deneyde aynı anda meydana gelemiyorsa yani bağdaşmaz olaylarsa bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı: P (A∪B) = P(A) + P(B) olarak yazılır. ÖRNEK : Bir zar atıldığında 2 veya 4 gelme olasıiığı nedir? P (A∪B) = P(A) + P(B) = 1 6 + 1 6 = 2 6 bulunur. Dikkat edilirse atılan bir zarın aynı anda 2 ve 4 gelme olasılığı yoktur. Burada kullanılan veya sözcüğü bize ipucu vermektedir.   A ve B gibi iki olay bir deneyde aynı anda meydana gelebiliyorsa yani bağdaşır olaylarsa bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı: P (A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) olarak yazılır.   ÖRNEK : Maliye bölümü ögrencilerinin % 50’si İstatistik, % 80’i İngilizce ve % 40’ı ise her iki dersten geçmiştir. Seçilen bir ögrencinin derslerden en azından birinden geçme olasılığı nedir?   Bu örnekte P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 ve P(A∩B) = 0.4 ‘tür.   P (A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.5 + 0.8 – 0.4 = 0.9 bulunur. Dikkat iki olayında yani öğrencinin her iki derstende geçme olasılığı vardır.

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON   2.3.2. Olasılıkların Çarpımı   Bir deneyde aynı anda birden çok olay meydana gelebiliyorsa bunlara bağımsız olaylar denir ve bu olayların aynı anda meydana gelme olasılığı:   P (A∩B) = P(A) * P(B) olarak yazılır.   ÖRNEK : İki zar aynı anda atıldığında ikisininde 3 gelme olasılığı nedir? P (A∩B) = P(A) * P(B) = P(3,3) = 1 6 ∗ 1 6 = 1 36 olarak bulunur.   ÖRNEK : Maliye bölümü ögrencilerinin % 50’si İstatistik, % 80’i İngilizce dersinden geçmiştir. Seçilen bir ögrencinin iki dersten birden geçme olasılığı nedir?   P (A∩B) = P(A) * P(B) = P (0.5, 0.8) = 0.5 * 0.8 = 0.4 olarak bulunur.   ÖRNEK : İki zar aynı anda atıldığında ikisininde 3 veya ikisininde 2 gelme olasılığı nedir?   P (A∩B veya C∩D) = P(A) * P(B) + P(C) * P(D) P (3,3 veya 2,2) = 1 6 ∗ 1 6 + 1 6 ∗ 1 6 = 2 36 olarak bulunur.   Bu örnekte ilk olarak aynı anda atılan iki zarın ikisininde 3 ve 2 gelme olasıkları bulunur. İkinci aşamada bu olasılıklar toplanır.

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON 3.2.3. Olasılıkların Şartlı İhtimalleri   A ve B gibi olaydan bir tanesinin (B’nin) gerçekleştiği biliniyorsa A’nın gerçekleşme olasılığı koşullu olasılık formülüyle bulunur. B olayı gerçekleşmeden A olayının gerçekleşmesi mümkün değildir.   P(A\B) = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) ÖRNEK: Maliye bölümü ögrencilerinin % 50’si İstatistik, % 80’i İngilizce dersinden geçmiştir. İngilizce dersinden geçen bir ögrencinin İstatistik dersinden geçme olasılığı nedir? P (B\ A) = 𝑃 𝐵∩𝐴 𝑃 𝐴   𝑃 İ𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑘 \İ𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑘 = 0.8∗0.5 0.5 = 0.4 0.5 =0.9 olarak bulunur.

İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR 3. İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR   İki sonucu olan bir olay n kere tekrarlanırsa bir olayın (X) ortaya çıkma olasılığı:   P (X) = 𝐶 𝑛 𝑥 2 𝑛 formülü yardımıyla bulunur.   ÖRNEK: Bir madeni para üç kez atılırsa,   Üçünün de yazı gelme olasılığı?   P(3) = 𝐶 3 3 2 3 = 3! 3!(3−3)! 8 = 1 8 olarak bulunur. İki tanesinin yazı gelme olasılığı?   P(2) = 𝐶 3 2 2 3 = 3! 2!(3−2)! 8 = 3 8 olarak bulunur.   Bir tanesinin yazı gelme olasılığı?   P(1) = 𝐶 3 1 2 3 = 3! 1!(3−1)! 8 = 3 8 olarak bulunur.   Hiç yazı gelmeme olasılığı?   P(1) = 𝐶 3 0 2 3 = 3! 0!(3−0)! 8 = 1 8 olarak bulunur.