BOOLEAN MATEMATİĞİ

Boolean Matematiği İngiliz matematikçi George Boole tarafından 1854 yılında geliştirildi. Sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında gerçekleştirildi.

A + B : A VEYA B A . B : A VE B A + B : A ÖZEL VEYA B Ā : A DEĞİL Boolean İşlemleri Boolean Matematiği Sembolleri A + B : A VEYA B A . B : A VE B A + B : A ÖZEL VEYA B Ā : A DEĞİL

Boolean Toplama (VEYA) Boolean Çarpma (VE) 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1 Değil veya tümleyen (komplement): A ifadesi “ A’ nın değili veya A’nın tümleyeni (komplementi)” şeklinde okunur. A=1 ise A =0 A=0 ise A =1 olur. Tümleyen için A’ şeklinde yazım kullanılabilir.

Boolean Kanunları Yer Değiştirme AB = BA A + B = B + A

Birleşme Kanunu A + (B + C) = (A + B) + C A . ( B . C ) = ( A . B ) . C

Dağılma Kanunu A(B + C) = AB + AC A+(B.C) = (A+B).(A+C)

Boolean Matematiği Kuralları

VEYA Özdeşlikleri A + 0 = A A + 1 = 1 A + Ā = 1 A + A = A

VE Özdeşlikleri A . 0 = 0 A . 1 = A A . Ā = 0 A . A = A

Çift Tersleme Kuralı Yutma Kuralı

Basitleştirme Kuralı A + Ā B = (A + AB) + ĀB = A + (AB + ĀB) = A + B (A + Ā) = A + B.1 = A + B

Toplamanın Çarpma Üzerine Dağılma Kuralı

Boolean özdeşliklerinin elektrik devreleriyle gösterilmesi

Boolean kanunlarının elektrik devreleriyle gösterilmesi

DeMorgan Teoremleri Teorem-2’yi doğruluk tablosunu çizerek ispatlayınız…

Sayısal Devre Tasarımı Sayısal devreler, birbirlerini etkileyebilen belirli sayıda giriş ve çıkış ucuna sahiptir. Uçlar arasındaki ilişki boolean ifadesi şeklinde tanımlanır. Boolean ifadesinden mantık kapıları arasında uygun bağlantılar yapılması ile sayısal devrenin elde edilmesi işlemine sayısal devre tasarımı adı verilir.

Boolean İfadesinden Sayısal Devrelerin Çizilmesi Devre tasarlanırken sırasıyla: Boolean ifadesinde kaç tane giriş değişkenin olduğu, Bu değişkenlerin hangi Boolean işlemine uygulandığı bulunmalıdır. Çizim sırasında Boolean matematiği işlem önceliğine riayet edilmelidir. İşlem sırası: Parantez “( )” , DEĞİL, VE, VEYA şeklindedir.

Örnek F=AB+B'C lojik ifadesini gerçekleştirecek devreyi lojik kapılar ile oluşturalım.

F = ABC+A'BC' fonksiyonunu temel lojik kapılar ile gerçekleştirelim. Örnek F = ABC+A'BC' fonksiyonunu temel lojik kapılar ile gerçekleştirelim. ABC F=ABC+A'BC' A'BC' A B C

Örnek F = A'B +A+C+AB'C lojik ifadesini iki girişli kapı devreleri ile gerçekleştirelim.

Örnek F=AC+BC'+A'BC lojik ifadesini temel lojik kapılar ile gerçekleştirelim.

Örnek F = (A'+B'+C).(B+C').(A'+C) fonksiyonunu gerçekleştirecek lojik devreyi çizelim.

Sayısal Devreden Boolean İfadesinin Elde Edilmesi Çizilmiş bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilebilmesi için ; Kapı girişlerine uygulanan değişkenler belirlenir. Her kapı çıkışına ait Boolean ifadesi yazılır. Bu işlem devredeki en son kapıya kadar sürdürülür. Örnek: Aşağıda verilen sayısal devrenin çıkışına ait Boolean ifadesini bulunuz.

Boolean İfadelerinin Sadeleştirilmesi.

A.B + A'.C + B.C = A.B + A'.C + B.C.(A+A') Örnek: A.B + A'.C + B.C ifadesini sadeleştirelim A.B + A'.C + B.C = A.B + A'.C + B.C.(A+A') = A.B + A'.C + A.B.C + A'.B.C = A.B.(1+C) + A'.C.(1+B) = A.B +A'.C Örnek: A'B'C' + A'B'C + ABC' + AB'C' ifadesini sadeleştirelim A'B'C' + A'B'C + ABC' + AB'C' = A'B'.(C+C') +AC'.(B+B') = A'B' + AC'

Boolean İfadelerinin Elde Edilmesi Doğruluk Tablosu Lojik devrelerde, giriş değişkenlerinin alabilecekleri sayısal değerleri (kombinasyonları) ve bu kombinasyonlara göre çıkışların durumunu gösteren tablolara ‘doğruluk tablosu’ denir. Doğruluk tabloları oluşturulurken, giriş değişken sayısına göre durum ifadesi ortaya çıkar. ‘n’ tane değişken için 2n değişik durum oluşur. Örneğin; 2 değişkenli bir ifade için 22 = 4 değişik durum, 3 değişkenli bir ifade için 23 = 8 değişik durum elde edilir.

Örnek: Giriş değişkenlerinin A ve B olduğu bir sistemde A+B işlemi gerçekleştirildiğine göre; A ve B’ nin alacağı değerler ile çıkışta oluşacak değerleri tablo halinde gösterelim. A B A+B 1

Örnek: F = A . (B+C) = (A . B) + (A . C) eşitliğinin doğru olduğunu doğruluk tablosunda değişken değerlerini kullanarak ispatlayalım. A B C B+C A.(B+C) A . B A.C (A.B)+(A.C) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Minterm

Maxterm

Lojik Devrelerin Tasarlanması ve Lojik Elemanlar Kullanılarak Gerçekleştirilmesi Lojik devre tasarımında yapılacak işlemler: Yapılmak istenen işlem ayrıntıları ile açıklanır. Lojik işlemin detayları belirlenir ve doğruluk tablosu haline dönüştürülür. Doğruluk tablosu, lojik eşitlik (fonksiyon) şeklinde yazılır. Eşitlik, mümkünse sadeleştirme işlemine tabi tutulur. Sadeleştirilen lojik ifadeyi gerçekleştirecek lojik devre oluşturulur.

Örnek: İki girişli dijital bir sistemde girişlerin farklı olduğu durumlarda çıkışın ‘1’ olmasını sağlayacak lojik devreyi tasarlayalım ve tasarlanan devreyi temel lojik elemanları ile gerçekleştirelim. Tasarımda yukarıda bahsedilen işlem sırasını takip edelim.

Örnek: Üç girişli bir sistemde, girişlerin birden fazlasının lojik ‘1’ olduğu durumlarda çıkışın ‘1’ olmasını sağlayacak lojik devreyi, lojik tasarımda kullanılan işlem sırasına göre gerçekleştirelim. A B C Q 1 F=A'BC+AB'C+ABC'+ABC F=AC(B+B')+A'BC+ABC' F=C(A+A'B)+ABC' F=C(A+B)+ABC' F=AC+BC+ABC' F=AC+B(C+AC‘) F=AC+B(C+A) F=AC+BC+AB F1 F2 F3 F4

Ödev.. Aşağıdakiler için lojik diyagramları çiziniz: A + B + C = F (A + B)(A + C)(B + C) = F