ÜÇGENLER Üçgen nedir ? Üçgenin temel özellikleri Üçgen çeşitleri Üçgen çizme Üçgenin yardımcı elemanları Üçgende açı – kenar ilişkisi Üçgende bağıntılar

Üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer Ana Sayfa Üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının birleşim kümesidir. A köşe kenar c b dış açı iç açı B a C

Üçgenin Temel Özellikleri : Ana Sayfa Üçgenin iç açıları toplamı 180° dir. Üçgenin dış açıları toplamı 360° dir. 80° 70° 30° 180° + 100° 110° 150° 360° + A B C 100° 70° 80° 30° 110° 150°

Ana Sayfa Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. + = A B C 100° 80° 70° 30°

Üçgen Çeşitleri : Açılarına göre: Kenarlarına göre: Dar açılı üçgen Ana Sayfa Açılarına göre: Kenarlarına göre: Dar açılı üçgen Eşkenar üçgen Dik üçgen İkizkenar üçgen Geniş açılı üçgen Çeşitkenar üçgen

Örnekler : Bir üçgende dış açının ölçüsü kendine komşu olmayan iki iç Ana Sayfa A B C 60° x 3x + 20° Bir üçgende dış açının ölçüsü kendine komşu olmayan iki iç açının ölçüsü toplamına eşit olduğuna göre x+60° = 3x+20° x=? 2x = 40° x = 20°

Şekilde dir. ise kaç derecedir? 48° x A B C D Ana Sayfa

İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşit olduğuna göre olur. 48° x A B C Ana Sayfa İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşit olduğuna göre olur. 2x 2x x D Bir üçgende bir dış açının ölçüsü komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğuna göre olur. ABC üçgeni de ikizkenar üçgen olduğuna göre dir. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre 2x + 2x + 48° = 180° 4x = 132° x = 33°

Şekildeki ABC üçgeninde kaç derecedir? ise A C x D B 80° Ana Sayfa

İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşit olduğuna göre olur. 20° C x D B 80° İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşit olduğuna göre olur. 20° 80° ADC üçgeninde; üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre dir. 20° ABC üçgeni de ikizkenar üçgen olduğuna göre olur. ABC üçgeninde; üçgenin iç açıları toplamı 180° olacağından 20° + 20° + 80° + x = 180° x = 60° Ana Sayfa

Şekildeki ABC üçgeninde kaç derecedir? ise A B C D 70º x Ana Sayfa

İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşit olduğuna göre olur. C A B D 70º x İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşit olduğuna göre olur. 70º ADB üçgeninde; üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre dir. 40º x+40º ABC üçgeni de ikizkenar üçgen olduğuna göre olur. ADB açısı BDC üçgeninin bir dış açısı olduğuna göre x + x + 40º = 70º x = 15º Ana Sayfa

Üçgen Çizme : Ana Sayfa Bir üçgeni çizebilmek için bu üçgene ait bazı elemanların ölçülerini bilmemiz gerekir : 1. Üçgenin bütün kenar uzunlukları veya 2. Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı veya 3. Üçgenin iki açısı ve bir kenar uzunluğu

Üçgenin Yardımcı Elemanları : Ana Sayfa Yükseklik: Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına veya karşı kenarının uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. “h” ile gösterilir. h h

Ana Sayfa Üçgen dik açılı bir üçgense; dik kenarların ikiside üçgenin yüksekliğidir. a kenarına ait yükseklik c kenarı A A c kenarına ait yükseklik a kenarı b c ha b B B C a C hc

Ana Sayfa Geniş açılı bir üçgende yükseklikler çizildiğinde iki yüksekliğin üçgenin dışında diğer yüksekliğin içinde olduğu görülür.

Örn: Ana Sayfa A ABC üçgeninde s(C) < s(A) ise |BC|’nin en küçük tam sayı değeri için yükseklikler nasıl sıralanır? 5 br 7 br |AB|-|AC|<|BC|<|AB|+|AC| 7-5<|BC|<7+5 2<|BC|<12 Açılara göre |BC|<7 |BC|=8 br. a=8 br, b=5 br, c=7 br ha<hc<hb’dir. Çöz: B C

Ana Sayfa ! 1-) Bir ABC ninde a,b ve c kenar uzunlukları olmak üzere a < b < c ise ha > hb > hc dir. Terside doğrudur. En uzun kenara ait yükseklik en kısadır. 2-) Bir ABC ninde s(A) > s(B) > s(C) ise ha < hb < hc dir. Açılarla yükseklikler de ters orantılıdır.

a 2) Kenarortay : A V // // B C a Ana Sayfa Üçgenin bir köşesinden karşı kenarı iki eş parçaya ayıracak şekilde çizilen doğru parçasıdır. “V” ile gösterilir. A V a // // B C a

Dış açıortay 3) Açıortay İç açıortay Ana Sayfa Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran doğru parçasıdır. “n” ile gösterilir. n Dış açıortay İç açıortay

Açı-Kenar İlişkisi: Ana Sayfa Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar vardır. Yada büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı vardır. A a>b>c s(A)>s(B)>s(C) 70° b c 60° 50° C B a

Öklid Bağıntıları : - - + - h b b h p.k c b 1 1 1 Ana Sayfa A b c h p 2 p.k = c 2 = p.a b 2 = k.a 1 1 1 - = - + - h 2 b 2 b 2

Üçgende Alan Ana Sayfa h a A B C .lBCl h a - 2 h.a A(ABC)= - A(ABC)= 2

Sinüs Teoremi Ana Sayfa A B C a b c 1 A(ABC)= a.c.sinA - - 2

Cosinüs Teoremi - - - a a b c = + - 2.b.c.cosC = - = - a b c Ana Sayfa cosB = + - 2.b.c.cosC cosA - - - = - = - - a b c

Kazanımlar Üçgende kenarortay,açıortay ve yüksekliği inşa eder. Üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı veya farkı ile üçüncü kenarının uzunluğunu ilişkilendirir. Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçülerini ilişkilendirir. Yeterli sayıda elemanının ölçüleri verilen bir üçgeni çizer Pisagor bağıntısını oluşturur; ilgili problemleri çözer.

Kaynaklar

Özel teşekkürler

Tolga Kayalı 130403029 2-A Matematik Öğretmeni ‘Aday Adayı’