İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK

İŞLEM : 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım. Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur. Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyondur.

TANIM : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir. AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem denir. İşlemi göstermek için *, +, - , ,,, ... gibi işaretler kullanılır.

ÖRNEK : A={ -1,0, 1} AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) } f:AxA A fonksiyonu; f(x,y)= x.y olsun. Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi  ile gösterirsek, x y =x.y dir. Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0, 0 0=0 olduğunu bulunuz

ÖRNEK : Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor. a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir? b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?

ÇÖZÜM : a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6 b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x =-4x+10 -4x+10=16 -4x=6 x=-6/4 bulunur.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ : A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun; x, y  A için x  y A ise A kümesi  işlemine göre kapalıdır. x,y  A için x  y= y  x ise işlemin değişme özelliği vardır. x,y,z  A için (x  y)  z=x (y  z) ise işlemin birleşme özelliği vardır. x  A için x  e= e  x=x olacak şekilde bir e  A varsa e’ ye etkisiz eleman denir.

A kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x  A için x  x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x- 1A varsa x-1 ‘e x’in  işlemine göre tersi denir. A da tanımlı bir işlem olsun. x,y,z  A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa  işlemini * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

Z ‘ de  işlemi x,y,z  A için ; x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor Z ‘ de  işlemi x,y,z  A için ; x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor.  işlemine göre Z kümesi kapalımıdır. ÇÖZÜM : x,y,z  A için, x x,y,z  A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela; 2,7 z için 2 7= (2+7) /2= 9 / 2 Z dir. ÖRNEK :

MODÜLER ARİTMETİK : Z ‘ de  ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ Bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde (x ,y)  için x y (mod m) Örnek : Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim. Çözüm : , farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6), (74, 69) ...  denklik bağıntısı olduğu için x(x,y)   için xy (mod 5)

Z’ de m=5 modülüne göre  ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları) oluşturalım. 0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....} 1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....} 2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....} 3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......} 4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......} 5 modülüne göre kalan sınıflarıdır. Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir.

ÖZELLİKLER : x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir. xy ( mod m) ve u= v olsun. x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir. x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür. x+ u  y+v (mod m) x-u y-v (mod m) x.u y. v ( mod m) c.x c.y (mod m) , c Z xn y-n ( mod m ) , n Z+

Örnek : 71962 x ( mod 11) ise x nedir? Çözüm : 710= 1 dir. Buna göre , 71964 (710)196 . 72  11196 . 72  5 (mod 11)

MATEMATİK SİSTEMLER : Tanım: A boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A ‘ da tanımlı bir işlem olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da tanımlı bir işlem ise ( A, ,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir. Tanım : G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A da tanımlı bir işlem olsun. (G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.

Birleşme özelliği; Kapalılık özelliği ; Etkisiz eleman özelliği ; Ters eleman özelliği ; Tanım : (G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin (Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .) (Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

Tanım : (H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka adını alır. (H, ) değişmeli gruptur. H kümesi & işlemine göre kapalıdır. & işlemine göre birleşme özelliği vardır. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Tanım : (H, ,&) halka olmak şartıyla; & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka adını alır. & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ,&) birimli halka

Örnek : Tanım : (Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır. (C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını alır. (C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. ( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) Sistemi değişmeli cisim adını alır.

ÖSS ve ÖYS'YE HAZIRLIK MATEMATİK 1-2 KAYNAKÇA TÜMAY YAYINLARI ÖSS ve ÖYS'YE HAZIRLIK MATEMATİK 1-2 GÜVENDER YAYINLARI Oğuzcan IRMAKCAN