TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 10: Kapalı Türev , Değişim Oranları Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Kapalı Türev(İmplicit Differentiation) Kapalı Türev(İmplicit Differentiation). F(x,y) = 0 kapalı denklemi ile tanımlanan f fonk-siyonu için f nin türevi, yani , F(x,y) = 0 kapalı denkleminden elde edilebilir mi? Daha genel olarak y = f(x) denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu için F(x,y) = 0 kapalı denklemi sağlanıyorsa, f nin türevi F(x,y) = 0 denklemi nden elde edilebilir mi? Örnek . F(x,y) = xy – 1 = 0 kapalı denklemi açık denklemine sahip olan f fonksiyonunu tanımlar. Son ifadeden bu fonksiyonun türevi-nin zincir kuralı olduğunu biliyoruz. Diğer yandan, aynı türev doğrudan doğruya f yi tanımlayan kapalı denklemden de elde edilebilir. y’ yü bulmak için denkleminin her iki yanının da türevi alınır: Bu şekilde türev hesabına kapalı türev hesabı denir.

Örnek. zincir kuralı Örnek .

Örnek . Örnek .

Bu derste değişim oranı problemleri kısmında da göreceğimiz gibi, bazen x = r(t) ve y = s(t) denklemlerinin tanımladığı r ve s fonksiyonları ile birlikte F(x,y) = 0 gibi bir kapalı denklemin sağlandığı durumlar ortaya çıkmakta ve bu durumda F(x,y) = 0 kapalı denkleminden yararlanılarak türevleri arasındaki ilişkinin bulunması arzu edilmektedir. ve Bunun için (t değişkenine göre) kapalı türev hesabı yapılır. Örnek . x = r(t), y = s(t) ve x2 + y2 – 1 = 0 olduğuna göre ve türevleri arasındaki ilişkiyi bulalım. Başka bir ifadeyle,

Kapalı Denklemle Verilmiş bir Eğrinin Teğetleri Kapalı Denklemle Verilmiş bir Eğrinin Teğetleri. F(x,y) = 0 düzlemde bir eğri belirler. Bu eğri üzerinde bir (x0 , y0 ) noktası ( yani, F (x0 , y0 ) = 0 olan bir (x0 , y0 ) ) için o noktadaki teğetin eğimi, y nün (x0 , y0 ) için değeridir ve teğetin denklemi, y nün (x0 , y0 ) için değeri m olmak üzere y = m(x - x0) + y0 dır. y nün (x0 , y0 ) için değeri ile gösterilir. Örnek. y - x y2 + x2 + 1 = 0 eğrisinin (1 , -1) noktasındaki teğetinin denklemini bulalım.

Örnek. 5 y2 - 8x4 + 3 = 0 eğrisinin (1 , 1) noktasındaki teğetinin eğimini bulalım. Örnek. y2 + xy + 3 = 0 eğrisinin x=4 teki teğet(ler)inin denklem(ler)ini yazalım. Demek ki verilen eğri üzerinde apsisi 4 olan iki nokta bulunmaktadır: (4,-3) ve (4,-1). Teğetlerin eğimlerini belirlemek için kapalı türevle y’ yü bullalım.. (4,-3) noktasında (4,-1) noktasında

Değişim Oranları (Rate of Change) Değişim Oranları (Rate of Change). Günlük yaşamda en çok karşılaşılan problemlerden biri, her ikisi de zamana göre değişen iki niceliğin birbirlerine göre değişim oranlarını (artış veya azalış oranlarını) belirlemektir. Örnek olarak, Bir otomobil satıcısı, faiz oranları arttıkça sattığı otomobil sayısının ne oranda düşeceğini bilmek ister. Bir işletme, giderindeki artışın kârını ne oranda etkileyeceğini bilmek ister. Bir yatırımcı, borsadaki artış oranı ile fert başına milli gelir arasındaki ilişkiyi bilmek isteyebilir. Yukarıdaki örneklere benzer soruları içeren problemlere değişim oranı problemleri (rate of change problems) denir. Değişik bir örnekle başlayalım. Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara dayalı 260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu 20 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlı-yor. Merdivenin üst ucu yerden 240 cm yüksek-likte iken aşağı ucu duvardan hangi hızla uzaklaş-maktadır?

Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara dayalı 260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu 20 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merdivenin üst ucu yerden 240 cm yükseklikte iken aşağı ucu duvardan hangi hızla uzaklaşmaktadır? x y Bir değişim oranı problemini çözmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir: Yardımcı olacaksa bir şekil çiziniz. Bütün değişkenleri, bunlardan değişim oranları verilenleri ve değişim oranları bulunacak olanları belirleyiniz. Verilen ve bulunacak olan tüm değişim oranlarını türev olarak ifade ediniz. İkinci adımda belirlediğiniz değişkenlerin sağladığı bir denklem yazınız. Dördüncü adımda bulduğunuz denkleme kapalı türev uygulayınız ve türevde verilen değerleri yerleştiriniz. Bilinmeyen değişim oranını, elde ettiğiniz denklemi çözerek bulunuz. Merdiven probleminin çözümü. Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği x , alt ucunun duvara uzaklığı y ile gösterilsin. x in zamana göre değişim oranı verilmiş, x = 240 iken y nin değişim oranı bulunmak isteniyor. Yeni bir sayfa açalım..

Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara dayalı 260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu 20 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merdivenin üst ucu yerden 240 cm yükseklikte iken aşağı ucu duvardan hangi hızla uzaklaşmaktadır? x y Merdivenin uzunluğu 260 cm olduğundan, şekildeki dik üçgen kullanılarak

Örnek. Kilogramı p TL den satılan bir ürün için kg talep olacağı tespit ediliyor. Fiyatın talebe göre değişim oranını bulalım. Bu ürünün kg fiyatı 10 TL olduğu anda fiyatın talebe göre değişim oranı ne olur? Bu ürünün kg fiyatı 10 TL olduğu anda satılan ürün miktarı kg ve böylece TL/kg olur. Örnek. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın günde x birim ürün üretmesi durumunda sağladığı gelir TL oluyor. Bu firma günde 200 birim ürün üretirken üretimini günde 5 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirindeki günlük artış oranı ne olur? TL/gün olur.

Problem. Haftada x radyo üreten bir firmanın toplam gideri M(x) = 5000 + 2x ve toplam geliri G (x) = 10x – (0.001) x2 TL olarak veriliyor. Bu firma 2000 radyo üretmekte iken, üretimini her hafta 500 radyo artırmağa karar veriyor. Bu durumda firmanın gider, gelir ve kârında meydana gelecek değişiklikleri bulunuz. Çözüm. Haftalık üretim sayısı olan x zamana (t ye) göre değişmekte, zaman hafta ile ölçülmektedir. Dolayısıyla, giderin haftalık değişim oranı dir ve x = 2000 iken olduğundan, bu durumda TL / hafta olur; gider haftada 1000 TL artar.

Gelirdeki haftalık değişim oranı G (x) = 10x – (0.001) x2 dir ve x = 2000 iken( olduğu da anımsanarak) den haftada 3000 TL (artış) olarak elde edilir. Kârdaki değişime gelince, K(x) = G(x) – M(x) = -5000 + 8x –(0.001)x2 olduğundan, kârın haftalık değişim oranı dir ve x = 2000 iken olduğu görülür ki, bu, kârın haftada 2000 TL arttığını gösterir.

Örnek. Kilogramı p TL den satılan bir ürün için talep edilen miktar x ile gösterilirse, denkleminin sağlandığı tespit ediliyor. a) Fiyat 30 TL iken her ay 2 TL artırılırsa, talepteki değişim oranı ne olur? b) Talep 150 kilogram iken ayda 6 kilogram azalırsa fiyattaki değişim oranı ne olur? Çözüm. Değişim zamana göre olmaktadır. t ye göre kapalı türev uygulayalım. a) p=30 TL olunca Buradan x = 100 elde edilir. alınarak bulunur. Talepteki değişim oranı kg/ay dır. Talep ayda kg azalmaktadır.

b) x=150 TL olunca Buradan  = 20 elde edilirr. alınarak bulunur. Fiyattaki değişim oranı TL/ay dır. Fiyat, ayda TL artmaktadır.

Problem. Bir ürün üzerinde yeni üretime başlayan bir firma ilk dört ay, t-inci haftada x = x(t) = t2 + 400t + 175 ürün üretmeyi planlıyor. Üretilen ürün sayısıyla bağlantılı olarak, bir ürünün satış fiyatı da p= 10 – (0.001)x(t) TL olarak belirlenecektir. Bu firmanın haftalık sabit gideri 5 000 TL ve bir ürün için gideri 2 TL olduğuna göre, 5-inci hafta itibariyle, gider, gelir ve kârdaki haftalık değişim oranlarını bulunuz. Çözüm. t-inci haftada x = x(t) = t2 + 400t + 175 ürün üretileceğine göre, t-inci hafta itibariyle haftalık toplam gider: M = 5 000 + 2x(t) TL; bir ürünün satış fiyatı p = 10 – (0.001)x(t) TL olduğundan haftalık gelir: G = (10- (0.001)x(t) )x(t) = 10 x(t) - (0.001)x(t)2 ve böylece haftalık kâr: K = G - M = 10x(t) – (0.001)x(t)2-(5 000 + 2x(t)), K= 8x(t) – (0.001)x(t)2 - 5 000 TL dir. Değişim oranlarına gelince x(t) = t2 + 400t + 175 M= 5 000 + 2x(t) G =10 x(t) - (0.001)x(t)2 K= 8x(t) – (0.001)x(t)2 - 5 000 5-inci hafta itibariyle, TL/hafta dır.

x km ve o anda ev ile kişi arasındaki uzaklık u km olsun. Problem. Evinin 2 km güneyinde bulunan bir kişi doğu yönünde saatte 5 km hızla yürümeye başlıyor. Bu kişinin evi ile arasındaki uzaklık yürüyüşünün kaçıncı kilometresinde saatte 3 artmaktadır? Bu kişinin evi ile arasındaki uzaklık yürüyüşünün herhangi bir anında saatte 6 km artabilir mi? Çözüm. Şekilde görüldüğü gibi kişinin yürümeye başladıktan sonra herhangi bir anda kat ettiği yol x km ve o anda ev ile kişi arasındaki uzaklık u km olsun. Bu takdirde EV u 2 olur. Dolayısıyla x Ev ile kişi arasındaki uzaklığın saatte 3 km artması, olması demektir. Bu durumda olur. Kişinin yürüdüğü yol 1.5 km olunca evi ile arasındaki uzaklık saatte 3 km artmaktadır. Problemin son kısmının yanıtı izleyen slayttadır.

Kişi ile evi arasındaki uzaklığın saatte 6 km hızla artması istenirse, olması gerekir. Dolayısıyla, söz konusu uzaklığın saatte 6 km hızla artması söz konusu olamaz.

Problem. İki bisikletli, dik olarak kesişen , kuzey-güney ve doğu-batı doğrultusundaki iki caddenin kesişme noktasından aynı anda hareket ediyorlar. Bisikletlilerden biri kuzeye doğru dakikada 30 metre hızla, diğeri de doğuya doğru dakikada 40 metre hızla gittiğine göre, 5 dakika sonra bu iki bisikletli arasındaki uzaklık hangi hızla değişmektedir? 30 m/dak Çözüm. Başlangıçtan t dakika sonra, doğuya doğru giden bisikletlinin aldığı yol x metre, kuzeye doğru giden bisikletlinin aldığı yol y metre, iki bisikletli-nin arasındaki uzaklık z metre olsun(Şekilden izleyiniz.) z y x 40 m/dak Bu takdirde, olur.

x y z 30 m/dak 40 m/dak Burada x , y ve z den her biri zamana bağlı olarak değişmekte-dir. Çoğu zaman olduğu gibi, za-manı t ile göstereceğiz. Böylece, m/dak ifadesinden kapalı türev ile t = 2 olunca, x = 40. 2 = 80, y = 30.2=60 ve z =100 olacağından m/dak elde edilir.

Problem. Bir nokta, y2 = x3 eğrisi üzerinde hareket etmektedir Problem. Bir nokta, y2 = x3 eğrisi üzerinde hareket etmektedir. Nokta (4,-8) konumunda iken x-koordinatı dakikada 2 birim artmaktadır. O halde noktanın y-koordinatı hangi hızla değişmektedir? Çözüm. Noktanın herhangi bir andaki koordinatları, x ve y, y2 = x3 bağıntısını sağlamakta ve zamana göre değişmektedir. Zamanı t ile göstererek y2 = x3 ifadesinde t ye göre (kapalı) türev alınırsa, (4,-8) konumunda , yani x=4 ve y= - 8 olunca, birim/dak. olur. O halde, Demek ki y koordinatı dakikada 6 birim azalmaktadır.

Önceki problemde sözü edilen y2 = x3 eğrisini grafik çizim stratejisini uygulayarak çizebilirsiniz. Eğer bu ifade y için çözülürse, elde edilir. Dolayısıyla, grafik ve nin grafiklerinin birleşimidir. Biliyoruz ki bu grafiklerden her biri diğerinin x-ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir. nin grafiğini çizip x-eksenine göre yansıtalım. Denklem, x ≥ 0 için tanımlıdır. Ayrıca, x > 0 için olduğu da göz önüne alınırsa, grafik yandaki gibi elde edilir.