KARMAŞIK SAYILAR

TANIM 2 İ NİN KUVVETLERİ KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM KARMAŞIK SAYILARIN DÜZLEMDE GÖRÜNTÜSÜ 2

A. Tanım ax2 + bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk. Mesela x2 + 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2 + 1 = 0  x2 = -1 ) karesi -1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız. 3

sayıları birer karmaşık sayıdır Örnek ...1 sayıları birer karmaşık sayıdır  Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.  Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.  Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.  Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür. 4

B. i nin Kuvvetleri Uyarı: n  N olmak üzere i4n = 1 i4n+1 = i i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden birine eşit olmaktadır. Uyarı: n  N olmak üzere i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 i4n+3 = -i dir. 5

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir? Örnek ...3 i2 = -1 olmak üzere (1+ i20). (1+ i21). (1+ i22) çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i 6

i22= (i4)5.i2 = 1.(-1) = -1 olduğu için, Çözüm : i20= (i4)5 = 1 , i21= (i4)5.i = i ve i22= (i4)5.i2 = 1.(-1) = -1 olduğu için, (1+ i20). (1+ i21). (1+ i22) = (1 + 1).(1+ i). (1 – 1) = 2. (1 + i). 0 = 0 olur. = 0 olur. Cevap C 7

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir. Örnek .4 A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5 8

Çözüm Cevap D 9

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ Örnek 5 10

x2 - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Uyarı: Reel katsayılı ax2+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z=m-ni sayısıdır. Örnek ...6 x2 - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. 11

Çözüm Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir. 12

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1. Toplama - Çıkarma Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır. 13

Örnek ...7 14

2. Çarpma Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır. 15

1. 3. 2. Çözüm 3. 1. 2. 16

Örnek . 9 A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E ) 4i 17

Çözüm Cevap A 18

3. Bölme Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır. UYARI : z=a+bi sayısının, toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi çarpma işlemine göre tersi : 19

Örnek 10 20

Örnek ...11 Çözüm 21

F. Bir Karmaşık Sayının Görüntüsü İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir. z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır. z = a + bi kompleks sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür. Örnek ...12 2. 1. O Reel Eksen İmajiner Eksen 2 3 . z = 3+2i x y 22

ÇÖZÜMLÜ SORULAR 2 Soru ...1 Soru ...2 A) -1 B) C) 0 D) E) 1 E) A) B) 23

Soru .3 O . A) B) C) D) E) 5 24

Çözüm O . x Cevap B 25