ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI ÖZELLİKLERİ

ABC üçgeninde m(B) = m(C) olduğundan b=c dır. ÖZELLİKLER-1 Bir üçgende ölçüleri eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları eşittir. A ABC üçgeninde m(B) = m(C) olduğundan b=c dır. c b B a C

Bir üçgende kenarlar farklı uzunlukta ise, büyük kenar karşısındaki ÖZELLİKLER-2 Bir üçgende kenarlar farklı uzunlukta ise, büyük kenar karşısındaki büyük açı, küçük kenar karşısındaki küçük açı ile bulunur. A ABC üçgeninde a>b>c ise m(A)>m(B)>m(C) olur. c b B C a

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenardan büyüktür. ÖZELLİKLER-3 Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenardan büyüktür. A c b a<b+c b<a+c c<a+b B C a

ÖZELLİKLER-4 Bir üçgende iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür. A Ib-cI<a Ia-cI<b Ia-bI<c c b B C a

ÖZELLİKLER-5 m(A) = 90 ise b2+c2=a2 Bir üçgende açılardan biri 90 ise, 90nin karşısındaki kenarın karesi diğer iki kenarın toplamına eşittir. A m(A) = 90 ise b2+c2=a2 c b B C a

*Bir üçgende bir tane geniş açı vardır ve geniş açının karşısındaki kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür. 90 < m(A) ise b2+c2=a2 A b c B C a *Bir üçgende bir açının ölçüsü 90 dan büyük olduğunda açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamında küçüktür. A m(A)< 90 A2<b2+c2 c b B C a

ÖZELLİKLER-6 Bir üçgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın, üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı üçgenin çevresinden küçük, yarı çevresinden büyüktür. A c x b y z P B a C a+b+c <x+y+z<a+b+c 2 Çevre = a+b+c 2u = a+b+c u<x+y+z<2u

ÖZELLİKLER-7 Bir üçgenin içindeki bir noktadan iki köşeye birleştiren uzunluklar toplamı, iki kenarın toplamından küçük, bir kenarından büyüktür. A c b A<x+y<b+c P x y C B a

ÖZELLİKLER-8 < x < b+c 2 2 Bir üçgende bir köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu ayırdığı kenarın toplamının yarısından küçük, farkının mutlak değerinin yarısından büyüktür. A Ib-cI < x < b+c c b x 2 2 B D C

ÖZELLİKLER-9 Bir üçgende aynı köşeden çizilen kenarortay , açı ortay ve yükseklik arasındaki sıralama A IAHI= yükseklik IANI = nA açıortay IADI= V a kenarortay c b B H N D C Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay doğru orantılıdır. Eğer üçken eşkenar ise ha= nA = V a dır.

ÖRNEK: ABC bir üçgen IABI=10cm IPBI = 6cm IPCI = 9cm IACI = x A 10 b P 6 9 B Yukarıdaki verilenlere göre, IACI =x alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

P noktası ABC üçgeninin içinde bir nokta olduğundan ÇÖZÜM: P noktası ABC üçgeninin içinde bir nokta olduğundan 6+9<10+x 15<10+x+5<x CEVAP:C

ÖRNEK: ABC bir üçgen IABI=6cm IBCI=8cm ACI=9cm A Z 9 6 P X Y C B 8 Yukarıdaki ABC üçgeninde, P üçgenin içinde herhangi bir nokta olduğuna göre, x+y+z toplamının alabileceği tamsayı değerleri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 10 B) 11 C) 16 D) 23 E) 24

ÇÖZÜM: X+y+z toplamı üçgenin çevresi ile yarım çevresi arasındadır. Buna göre, 9+8+6 < x+y+z<9+8+6 2 23 <x+y+z<23 2 11,5<x+y+z<23 CEVAP: C

ÖRNEK: A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 ABC bir üçgen IBCI= 6cm IACI=4cm IABI=x Yukarıdaki üçgende ABC üçgeninde en küçük açı C olduğuna göre, IABI=x in alabileceği tamsayı değeri kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

Ayrıca x diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyüktür. ÇÖZÜM: ABC üçgeninde en küçük açı C verildiğinden, karşısındaki kenarda en küçük olur. O halde x<4 olur. Ayrıca x diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyüktür. Buna göre I6-4I<x 2<x 2<x4 X in alabileceği tam sayı değeri 3 olur. CEVAP: C

Yukarıdaki şekilde IBDI=X in alabileceği kaç tamsayı değer vardır? ÖRNEK: A ABCD bir dörtgen IABI=10cm IBCI=8cm ICDI=6cm IDAI=7cm IBDI=X 10 7 B D X 8 6 C Yukarıdaki şekilde IBDI=X in alabileceği kaç tamsayı değer vardır? A) 9 B) 10 C) 14 D) 16 E) 17

ÇÖZÜM: ABD üçgeninde x diğer iki kenarın toplamından küçük ve diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyüktür. Buna göre, I10-7I<x<10+7 3<x17 (1) Aynı işlemi BCD üçgeni için yaparsak, I8-6I<x<8+6 2<x17 (2) (1) ve (2) den alt sınırın en büyüğü üst sıranın en küçüğünü alır. *Üst sınırdan alt sınırı çıkartıp “1” eksiğini aldığımızda x’in alabileceği tamsayı değerini buluruz. (14-3)-1 11-1 10 tane olur. O halde 3<x<17 2<x14 3<x<14 _________ CEVAP : B

ÖRNEK: ABCD bir dörtgen m(ABD)=58 m(ADB)=62 m(DBC)=60 m(BDC)=70 Yukarıdaki ABCD dörtgeni ölçülerine uygun olarak çizilseydi en büyük kenar hangisi olurdu? [AB] B) [BC] C) [CD] D) [AD] E)[ED]

ÇÖZÜM: Bir büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. A 58 62 B D 60 70 Ve (2) den en büyük kenarları bulmak için her ikisinde de en uzun kenarlara bakılır. IADI<IBDI<IABI IBCI<ICDI<IBDI C Buna göre ABD üçgenindir 58+62+m(BAD) = 180 dır. m(BAD) = 60 olur. IBDI<IABI O halde açılara göre kenarların sırası şöyle olur. IADI<IBDI<IABI (1) Aynı işlemi BCD üçgeninde yaparsak 70+60+m(CDB) =180 dır m(CDB)=50 olur. IBCI<ICDI<IBDI (2) [BD] küçük olduğu için onu alamayız. O halde [AB] en uzun kenar olur. CEVAP:A

Yukarıdaki verilenlere göre, IADI =x kaç farklı tamsayı değeri vardır? ÖRNEK: ABC bir üçgen [AD] kenarortay IACI = 10 cm IABI = 4 cm IADI = x A 4 10 x B D C Yukarıdaki verilenlere göre, IADI =x kaç farklı tamsayı değeri vardır? AD A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Buna göre x; 4, 5, 6 tamsayı değerini alır. ÇÖZÜM: I10-4I 10+4 <x< 2 2 6 14 <x< 2 2 3<x<7 Buna göre x; 4, 5, 6 tamsayı değerini alır. CEVAP: B

ÖRNEK: A ABC bir üçgen IACI= 14cm IABI=9cm IPCI = 10cm IPBI = x 9 14 P 6 10 B Yukarıdaki şekilde P noktası ABC üçgeninin içinde olduğuna göre, IPBI= x alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç cm dır? A) 8 B)9 C) 10 D)11 E) 12

P noktası üçgenin içinde olduğuna göre, ÇÖZÜM: P noktası üçgenin içinde olduğuna göre, X+10<14+9 X+13 CEVAP: E