DEVRE ve SİSTEM ANALİZİ PROJE PLANI BİR MEKANİK SİSTEME EŞDEĞER OLAN ELEKTRİK DEVRESİNİN ELDE EDİLMESİ

Elektrik Devreleri – Mekanik Sistemler Sistemlerin Tanımlanması Sistemlerin Matematiksel Modellemesi ve Modellemeler Arasındaki Benzerlikler Elemanların Eşleştirilmesi

Elektrik Devreleri – Mekanik Sistemler Elektriksel Büyüklükler Mekanik Büyüklükler Öteleme Dönme Gerilim v(t), volt [v] Hız v(t), [m/s] Hız w(t), [rad/s] Akım i(t), amper [A] Kuvvet f(t), Newton [N] Moment M(t), [N.m] Güç v(t).i(t), watt[W] Güç f(t).v(t), [N.m/s] Güç w(t).M(t), [N.m/s] Enerji εe, joule [J] Enerji εm(ö), [N.m] Enerji εm(d), [N.m] Elektrik Yükü q(t), coloumb [C] Lineer Momentum p(t), [N.s] Açısal Momentum h(t), [N.m.s] Magnetik Akı Φ(t), weber [Wb] Yerdeğiştirme x(t), [m] Dönme Açısı θ(t) [rad] Elektrik devrelerinde i(t), v(t) ve q(t) elektrik yükü ve Q(t) magnetik akı büyüklüklerini kullanırız. Mekanik sistemlerde ise bunlara karşı düşen büyüklükler; kuvvet, yol, hız ve ivmedir. Bu sistemler arasındaki dönüşümleri kurarken ( v, i )  ( v, f ) ( v, i )  ( f, v ) ve de sadece yaydan oluşan sistemlerde özel olarak ( v, i )  ( x, f ) kabullerini kullanabiliriz. Tablo (v.i)  (v,f) dönüşümü içindir

Güç ve Enerji Bağıntıları ile güç ve enerjinin elektrik ve mekanik sistemlerde aynı birimle ifade edilmesi gerekir. [VA] = [W] = [J/s] [W] = [N.m/s] ve [J] = [N.m] Yukarıda görüldüğü gibi iş her iki tarafta da J/s olarak ifade edilmektedir

Uç Denklemleri 2 Uçlu Elektriksel Elemanlar 2 Uçlu Mekanik Elemanlar Sembolü Uç Denklemi Direnç R Sönüm B Endüktans L Yay K Kapasite C Kütle M

Dönüşüm Diyagramları Devre ve Sistemlerde kullanacağımız dönüşüm diyagramları bizlere yapacağımız dönüşümlerde büyük kolaylıklar sağlar.

Elektrik Sistemleri (C= Lineer Kapasite) Kapasite Tanım Bağıntısı Endüktansın Tanım Bağıntısı

Öteleme Mekanik Sistemleri

Dönel Sistemler

2 ve Çok Uçlu Yay Elemanları 2 uçlu ve 3 uçlu yaya elemanlarının yer değiştirmelere bağlı olarak graflarını çizeriz. Hooke yasası ( F= -kx ) göz önüne alınarak 3 uçlu bir yay elemanının uç denklemi: = Eğer K  ∞ olursa, yay katı bir cisme dönüşür ve uç denklemleri, biçimini alır. =

2 ve Çok Uçlu Yay Elemanları K  ∞ giderse R  0’a gider. Mekanik sistemde yay sabiti sonsuzsa; Elektriksel sistemde de devre kısa devredir. Modellemede (v,i)  (x,f) kabulü Yaydan oluşan sistemler. (v,i)  (v,f) kabulü Yay ve diğer elemanlar örneğin kütle ve sürtünmeli sistemler.

2 ve Çok Uçlu Yay Elemanları Yay için çizilen grafın kaynak ve elemanlara eşdeğer karşılığı: (a) (b) (c) (d) Kuvvet gerilim kaynağına eş düşer Gerilim ile çalışan elemanlar olmalı (x’in karakterinin de bunlardan birine benzemeli) Gerilim uygulandığı sürece akım akacak, bu da mekanik sistemdeki denge konumunda yer değiştirmeye karşılık düşecek. Gerilim kaldırıldığında ise sistemde akım olmaz, aynı şekilde mekanik sistemde de yer değiştirme yoktur.

Kütle ve Sönüm Elemanları Kütle ile bir cismin uzayda yapacağı en genel bir hareketi inceleyebilmek amacıyla, katı bir cismin bir karşılaştırma (referans) noktasına göre konumunu belirleriz. Kütle merkezde toplandığı için cismi noktasal bir parçacığa indirgeriz. "m” kütlesine ait uç grafı:

Kütle ve Sönüm Elemanları Katı cisme etki eden yer çekimi kuvvetinin ayrı bir 2 uçlu kuvvet kaynağı olarak göz önüne alırsak: ŞEKİL GRAF W kuvveti akım kaynağına eş düşer. Elde edilen sistemde bir akım kaynağı ve bu akım kaynağıyla çalışan bir eleman vardır. Akımla çalışan elemanların diyagramından C olduğunu görebiliriz.

Genel Durumlar Genel mekanik sistemlerin karşılıklarını bulursak diğer tüm sistemleri bunların bileşimi yardımıyla çözebiliriz.

A- Tek Yaydan Oluşan Sistem 1. Yaklaşım: F  i ve v  V olduğunda; İki tarafında türevini alırsak

A- Tek Yaydan Oluşan Sistem 2. Yaklaşım: F  V ve v  i olduğunda; ise

B-Sürtünmeli Sistem 1. Yaklaşım: F  i ve v  V olduğunda; Viskoz sürtünme kuvveti ve ise (Gerilim kontrollü akım kaynağı)

B-Sürtünmeli Sistem 2. Yaklaşım: F  V ve v  i olduğunda; Viskoz sürtünme kuvveti ’yi modellersek;

C-Kuvvet ve Kütleden Oluşan Sistem 1. Yaklaşım: F i ve v  V olduğunda;

C-Kuvvet ve Kütleden Oluşan Sistem 2. Yaklaşım: F  V ve v  i olduğunda;

D-Cisim ve Yaydan Oluşan Sistem Bu sistemleri kuvvetle kontrol ediyoruz. Bu yüzden dönüşüm seçimine göre kuvvete karşılık düşen elemanın kaynağını devreye koyuyoruz 1. Yaklaşım: F i ve v  V olduğunda; durum değişkenleridir.

D-Cisim ve Yaydan Oluşan Sistem 2.Yaklaşım: F  V ve v  i olduğunda;

E-Cisim ve Yaydan Oluşan Sürtünmeli Sistem Bu sistemleri kuvvetle kontrol ediyoruz. Bu yüzden dönüşüm seçimine göre kuvvete karşılık düşen elemanın kaynağını devreye koyarız 1.Yaklaşım: F  V ve v  i olduğunda;

E-Cisim ve Yaydan Oluşan Sürtünmeli Sistem 2.Yaklaşım F i ve v  V olduğunda; Bu sistemin çözümü; şeklindedir. = q=cV

Sistemi kapalı bir sistem olarak düşünürsek; Durum değişkenleri : KAY ile : =

Sonuç Bu matematiksel modellemeler diğer sistemlere referans teşkil edecektir. Bu modellerin birleştirilmesiyle diğer sistemlerde kolaylıkla çözülebilir. Örneğin; dönel sistemler, akışkan sistemler, ısıl sistemler gibi.

Referanslar Mühendislik Sistemlerinin Analizi Kısım - II Kısım – III Prof. Dr. Yılmaz TOKAD

Hazırlayanlar Sadık Can Şener Ayşe Gül Dönmez Burak Fuat İzgördü Sercan Güngör