FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?

Asimptot nedir? TANIM Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x) fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veya eğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.

Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. y=f(x) y x Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. (d) x y (d) y=b Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. y=f(x)

Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. y=f(x) y x Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. (d) x y (c) y=f(x) Fonksiyon, +’ a (c) eğrisini takip ederek uzanmaktadır.

DÜŞEY ASİMPTOT x=a x y Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? a y=f(x) x=a y=f(x) Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? x y a

TANIM aR olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun DÜŞEY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez.

ÖRNEK: eğrisinin düşey asimptotunun olup olma-dığını araştıralım. x’ in hangi değeri için, olur? ve x=1 doğrusu DÜŞEY ASİMPTOT’tur.

Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir? biçimindeki rasyonel fonksiyonlarda bulunur. Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.

düşey asimptotlar ÖRNEK: eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım: Paydanın kökleri: x2-4=0  x=-2 ve x=2 x=-2 x=2 düşey asimptotlar

düşey asimptotlar ÖRNEK: eğrisinin, varsa, düşey asimptot-larını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler x-x3 = 0  x(1-x2)=0  x1=0 x2=-1 x3=1 x1=0 x2=-1 x3=1 düşey asimptotlar doğrularıdır.

ÖRNEK: eğrisinin, varsa, düşey asimptot-larını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler (x+2)2 = 0  x1=x2=-2 (Çift katlı kök) x=-2 doğrusu düşey asimptot

DİKKAT!!!  Düşey asimptotu x=1 doğrusu   Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?

x=1 x y 1

x=-2 doğrusu düşey asimptot x y Fonksiyon, asimptotun her iki tarafında da, -’ a uzanmaktadır.

SONUÇ: x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklı uçları na yaklaşır. x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynı ucuna yaklaşır.

YATAY ASİMPTOT y x b x y y= b y=b b y=f(x) y=f(x) y x b

TANIM y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun YATAY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir.

DİKKAT!!! y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi? Örneğin y= ax fonksiyonu x y a 1 1

ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=-1 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

PAYIN DERECESİ, PAYDANIN DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR. Payın derecesi, paydanın derecesin-den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır. SONUÇ: ? x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? PAYIN DERECESİ, PAYDANIN DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.

y=0 doğrusu, eğrinin x için yatay asimptotudur. ÖRNEK: y=3X fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin x için yatay asimptotudur.

Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için, EĞİK VE EĞRİ ASİMPTOT (c): y=ax2+bx+c y=f(x) y x x y y=f(x) (d): y=ax+b TANIM Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için, ise, y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir. Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını alır.

DİKKAT!!! ÖRNEK: fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım:  Payı paydaya bölersek; DİKKAT!!!

SONUÇ: Bu durumda; y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur. EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR GENELLEME YAPILABİLİR? PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK ASİMPTOT OLARAK ALINIR.

İkinci Derceden ŞİMDİ DE; fonksiyonunun eğik asimptotunu araştıralım:  Payı paydaya bölersek; İkinci Derceden y=x2-x-1, EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

SONUÇ: biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda, payın derecesi, paydanın derecesinden iki veya daha fazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİ ASİMPTOT’ u vardır.

DİKKAT!!! oluyorsa, fonksiyonun, EĞİK yada EĞRİ ASİMPTOT’u vardır. y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bir eğik asimptotu varsa;  

Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi? HAYIR BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.

ÖRNEK: fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım:  Payı paydaya bölersek; y= x2+2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

ÖRNEK: fonksiyonunun, varsa, eğik asimp- totunu bulalım: -1 2 x- için, eğik asimptot; y= -x+2

Şimdi de, x+ için, eğik asimptotu arayalım: 1 -2 x+ için, eğik asimptot; y= x-2

DİKKAT!!! ? a<0 için eğik asimptot yoktur. a>0 için eğik asimptot vardır. a<0 için eğik asimptot yoktur. ?

ÖNCELİKLE Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek için TANIM ARALIĞINI BİLMELİYİZ AR ve f: AR’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda, xA için, f(x)R olacak şekilde oluşan en geniş AR kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞ TANIM KÜMESİ denir ve D ile gösterilir.

ÖRNEKLER 1. f(x)=x3+2x2-3x+1 fonksiyonunun tanım küme-sini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan, tüm reel sayılar için tanımlıdır. D=R Yani; xR için, f(x) R’dir.

D=R-{0,3} f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: 2. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan x değerleri için tanımsızdır. x2-3x=0 x1=0 veya x2=3 D=R-{0,3}

D=R-{-2,2} f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: 3. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi tek sayı olduğundan, kökün içinin tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır. D=R-{-2,2} x2-4=0 x1=-2 veya x2=2

x2-x-2 0 (x2-x-2)’in işaretini incelemeliyiz. 4. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi çift sayı olduğundan, kökün içinin pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır. x2-x-2 0 (x2-x-2)’in işaretini incelemeliyiz.

+ - + D= (-,-1][2, ) x2-x-2 =0 (x-2).(x+1)=0  x1=-1 ve x2=2 - -1 2 +  + - + x2-x-2 O O f(x) O O D= (-,-1][2, )

x+1  1  x  0 x+1>0  x>-1 2-x>0  x<2 5. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli şartlar? “Taban”, (x+1)1 ve (x+1)>0; “Sayı” , (2-x)>0 olmalıdır. x+1  1  x  0 x+1>0  x>-1 2-x>0  x<2 -1 2 O O O (-1,0)  (0,2)

HATIRLATMA Polinom fonksiyonlar, tüm REEL sayılarda tanımlıdır şeklindeki rasyonel fonksiyonlar, Paydayı SIFIR yapan değerlerde TANIMSIZDIR. Bu değerlerin, Reel sayılardan çıkarılması gerekir.

Kökün derecesi tek iken Kökün derecesi çift iken KÖKLÜ FONKSİYONLARDA n+ olmak üzere Kökün derecesi tek iken Kökün derecesi çift iken ‘in tanım kümesi fonksiyonu g(x)’ in tanım kümesidir. g(x)0 için tanımlıdır.

? Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Periyodik olup olmadığına bakılır!!!! ? Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıkta çizi lir, çizilen grafik, diğer periyot aralıklarında aynen tekrarlanır.

Hangi özelliği taşıyan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir? TANIM f:AB’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’ nın her elemanı için, f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif T sayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ in periyodu denir.

ÖRNEKLER 1. f(x)=2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olma-dığını bulalım: f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T reel sayısını arayacağız: f(x)=2x+1 f(x+T)= 2(x+T)+1 2(x+T)+1=2x+1  2x+2T+1=2x+1  T=0 0 R+ olduğundan, f(x) periyodik değildir.

2. f(x)=2cos(3x+1) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)=f(x) 2cos[3(x+T)+1]= 2cos(3x+1) 3(x+T)+1=(3x+1)+k.2 3x+3T+1=(3x+1)+k.2 (kZ)  k=1 için; bulunur.

Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!! Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!! ? Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasıl anlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyan fonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl bir kolaylık sağlar?

TANIM AR ve f:AR bir fonksiyon olsun. xR için: * f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur. * f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.

YANİ f(-x)=f(x) (Çift fonksiyon olma durumu) -x ile x’ in görüntüleri aynıdır. YANİ Grafik, y-eksenine göre simetriktir. Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.

x y y=f(x) f(x) A’(-x,f(x)) A(x,f(x)) -x O x f, çift fonksiyondur.

YANİ f(-x)=-f(x) (Tek fonksiyon olma durumu) x  -x iken f(x)  -f(x) Fonksiyonun bir noktası A(x,f(x)) iken, diğer noktası, A’(-x,-f(x)) olmaktadır. YANİ Grafik, orijine göre simetriktir.

Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, xR+ için çizilir; daha sonra orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. y x y=f(x) f(x) A(x,f(x)) -x x A’(-x,-f(x)) -f(x) f, tek fonksiyondur.

ÖRNEKLER 1. f(x)=x2+cosx fonksiyonunun tek veya çift fonk-siyon olup olmadığını bulalım: f(-x)= (-x)2+ cos(-x) = x2 + cosx = f(x) f(-x)=f(x) olduğundan, ÇİFT fonksiyondur.