Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 4 : Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Polinom Fonksiyonlar. Pratikte karşılaşılan fonksiyon türlerinden biri de polinom fonksi-yonlardır. a0, a1, . . . , an reel sayılar olmak üzere denklemi ile tanımlanan fonksiyona bir polinom fonksiyon, ya da kısaca polinom adı verilir. a0, a1, . . . , an sayılarına bu polinomun katsayıları denir. Bütün katsayıları sıfır olan polinoma, başka bir deyişle f(x) = 0 denklemi ile tanımlanan fonksiyona sıfır polinom denir. Her polinom fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi ℝ dir. ifadesinde an ≠ 0 ise, f nin derecesi n dir denir. Bu durumda an ye f nin başkatsayısı denir. b herhangi fakat sabit bir reel sayı olmak üzere, f(x) = b denklemi ile tanımlanan fonksiyona sabit fonksiyon denir. O halde sabit fonksiyon, ya sıfır polinom ya da derecesi 0 olan bir polinomdur. Derecesi 1 olan bir polinoma doğrusal fonksiyon, derecesi 2 olan bir polinoma da karesel fonksiyon denir.

Sabit, doğrusal ve karesel fonksiyonları tanımlayan denklemler için alışılmış gösterimler aşağıdaki gibidir: Sabit fonksiyon: f(x) = b, b ℝ Doğrusal fonksiyon: f(x) = mx+b; m, b ℝ , m ≠ 0.  Karesel fonksiyon : f(x) = ax2 +bx+c; a, b, c  ℝ , a ≠ 0. Herhangi bir fonksiyonun grafiğini çizerken olduğu gibi, bir polinomun grafiğini çizerken de koordinat kesişimlerini belirlemek yararlı olur. f(x) = 0 denklemini sağlayan x sayılarına, yani f polinomunun x–kesişimlerini veren sayılara, f polinomunun kökleri denir. Sabit olmayan bir f polinomu için f(x)=(x–c)g(x) olacak biçimde bir c sayısı ve g polinomu varsa, f(c)=0 ve dolayısıyla c, f nin bir köküdür. Polinomların kökleri ile ilgili en önemli sonuçlardan biri bu önermenin karşıtının da doğru olduğunu ifade eder: f, derecesi n ≥ 1 olan bir polinom ve c  ℝ, f nin bir kökü ise, derecesi n–1 olan öyle bir g polinomu vardır ki, f(x)=(x–c)g(x) dir. Bu önermeden hareketle, sıfırdan farklı bir polinomun en çok derecesi kadar köke sahip olabileceği görülür. Başka bir deyişle, sıfırdan farklı bir polinom en çok derecesi kadar x–kesişimine sahip olabilir.

Polinomlarda Bölme İşlemi. x–1 3x3 – 3x2 3x2 +5x -2 5x2 –7x 5x2 – 5x –2x+2 -2x+2

Limit özelliklerinden, herhangi bir c reel sayısı ve bir k doğal sayısı verildiğinde, ve dolayısıyla, için Sonuç olarak, her polinom tüm reel sayılarda, yani (–,) aralığında süreklidir. Bu nedenle, bir polinomun grafiği kesiksiz (sürekli) dir. Ayrıca sonraki derslerimizde göreceğimiz üzere, bir polinomun grafiği hiç sivri köşe bulundurmaz.

Örnek. f (x) = 3x5 +2x2–7x+2 polinomu için

Sabit Fonksiyon. b herhangi bir reel sayı olmak üzere, f(x) = b denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun grafiği, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, bir yatay doğrudur. x y (0,0) (–1,b) (0,b) (2,b) f (x) = b

y = x y = mx y = mx+ b x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) (0,b) Doğrusal Fonksiyonlar(Linear Functions). m ve b reel sayılar, m0 olmak üzere f(x) = mx + b denklemi ile tanımlanan fonksiyona bir doğrusal fonksiyon (linear function) denir. Her doğrusal fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi ℝ dir. f(x) = x fonksiyonu bir doğrusal fonksiyondur: m=1 ve b=0 . Her doğrusal fonksiyon, f(x) = x fonksiyonuna bazı temel dönüşümler uygulanarak elde edilebilir. Bu nedenle, her doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur. x y (0,0) y = x x y (0,0) y = mx x y (0,0) y = mx+ b (0,b)

Dolayısıyla, bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için iki farklı noktasını belirlemek yeterlidir. Özel olarak, koordinat kesişimlerinin belirlenmesi, grafik çizimi için yararlı olur. Örnek. f(x) = 2x + 4 doğrusal fonksiyonunun grafiği: Koordinat kesişimleri, x-kesişimi : f(x) = 0  x = - 2 olduğundan, (-2 , 0). y-kesişimi : (0 , f(0)) = (0 , 4) x y (0,0) f(x) = 2x + 4 (0 , 4) (-2 , 0)

Örnek. f(x)=–2x doğrusal fonksiyonu koordinat eksenlerini sadece bir noktada, orijinde, kestiğinden, bu fonksiyonun grafiğini çizebilmek için bir noktasını daha belirlemek gerekir. Örneğin, f(1)=–2 olduğundan, (1,–2) noktası grafik üzerindedir ve grafik aşağıda görüldüğü gibi, orijin ile (1,–2) noktasını birleştiren doğru olarak elde edilir. x y (0,0) (1,-2) f(x) = -2x

Örnek. Bir ürünün x biriminin üretim maliyeti, x in doğrusal fonksiyonudur. Kayıtlar, bir keresinde 100 birim ürünün 200 TL ye, bir keresinde de 150 birim ürünün 275 TL ye mal olduğunu göstermiştir. Gider fonksiyonu M yi tanımlayan denklemi bulalım. M doğrusal fonksiyon olduğundan, M(x) = mx + b olan m ve b sayılarını bulmalıyız. Verilenlerden, M(100) = 100m + b = 200 ve M(150) = 150m + b = 275 tir. Birinci denklemden, b = 200–100m elde edilir; ikinci denklemde b yerine bu değer yerleştirilirse,  150m + (200–100m) = 275 ⇨ 50m = 75 ⇨ m = 1.5 ve böylece, b = 50 bulunur. Gider fonksiyonunu tanımlayan denklem M(x) = (1.5)x + 50 dir.

Örnek. Bir otomobil şirketi piyasaya yeni model bir otomobil sürmeyi planlıyor. Şirketin mali yapısı, otomobilin piyasa fiyatının ancak 30000 TL nin üzerinde olduğunda arz edilmesine olanak vermektedir. Ayrıca, şirket, piyasa fiyatının her 1000 TL lik artışına karşılık piyasaya 5 otomobil daha fazla arz etmeyi planlamaktadır. Fiyat–arz fonksiyonunun doğrusal olduğu kabul edilirse, a) fiyat–arz fonksiyonunu b) fiyat 35000 TL iken piyasaya kaç otomobil arz edileceğini bulunuz. a) p(x) = mx + b b = p(0) = 30000  p(x) = mx + 30000 p(5) = 5m + b = 5m + 30000=31000  m =200 Fiyat–arz fonksiyonu, p(x) = 200x + 30000 dir. b) 35000 = 200x + 30000  x = 25.

x y (0,0) x y (0,0) (x,b) (a,y) (0,b) (a,0) Yatay Doğru : y = b Düzlemde Doğrular. Yukarıda, her doğrusal fonksiyonun ve her sabit fonksiyonun grafi-ğinin bir doğru olduğunu gördük. Aşağıda göreceğiz ki, her yatay doğru (horizontal line) bir sabit fonksiyonun ve her eğik doğru (inclined line) da bir doğrusal fonksiyonun grafiğidir. Bu arada, dikey doğru (vertical line) ların da denklemini belirleyeceğiz. x y (0,0) x y (0,0) (x,b) (a,y) (0,b) (a,0) Yatay Doğru : y = b Dikey Doğru : x= a Fonksiyon değil! Dikey doğru deyimi yerine düşey doğru deyimi de kullanılır.

Eğim -Kesişim Denklemi (Slope - Intercept Form) x y (0,0) d Eğik Doğru (0,b) Şekilde görülen benzer dik üçgenlerin dik kenarlarının oranları aynı olacağından, Bu oranların ortak değeri olan m sayısına d doğrusunun eğimi (slope) denir. Bu eşitlik-lerden aşağıdaki denklemler elde edilir: Eğim -Kesişim Denklemi (Slope - Intercept Form) Nokta - Eğim Denklemi (Point - Slope Form)

Eğim -Kesişim Denklemi (Slope - Intercept Form) Elde ettiğimiz denklemleri tekrar görelim: Eğim -Kesişim Denklemi (Slope - Intercept Form) Nokta - Eğim Denklemi (Point - Slope Form) Bir (x,y) noktasının d doğrusu üzerinde olması için gerek ve yeter koşul, o noktanın bu denklemlerden birini sağlamasıdır. Eğimi ve y - kesişimi bilinen bir doğrunun denklemi ile verilir. Eğimi ve bir noktası bilinen bir doğrunun denklemi ile verilir. İki noktası bilinen bir doğrunun denklemi de “nokta-eğim denklemi” olarak yazılabilir. Söz konusu iki nokta (x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ise, doğrunun eğiminin olduğunu biliyoruz. Noktalardan biri ve eğim kullanılarak denklem elde edilir.

Örnekler. Şimdi doğru denklemlerine örnekler verelim. Eğimi m = 3 ve y – kesişimi b = 4 olan doğrunun denklemi: Eğim – Kesişim Denklemi: Eğimi m = 3 olan ve (1 , 2) noktasından geçen doğrunun denklemi: Nokta – Eğim Denklemi: (1 , 2) ve (3 ,5) noktalarından geçen doğrunun denklemi : Bu doğrunun eğimi olacağından, (1 , 2) noktası kullanılarak denklemi elde edilir.

Doğrusal Denklemler. A , B ve C reel sayılar, A ve B den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, Ax + By = C denklemine bir doğrusal denklem (linear equation) denir. A ve B ye bu denklemin katsayı (coefficient) ları, C ye de sağ taraf sabiti (right hand side constant) denir. x ve y sembollerine bu denklemin değişkenleri (variables) denir. Bundan önceki çalışmalarımız, bir doğrusal denklemin grafiğini belirlememize yardımcı olur: doğrusal fonksiyon, eğik doğru sabit fonksiyon, yatay doğru fonksiyon değil, düşey doğru

Karesel Fonksiyonlar. a , b ve c reel sayılar, a 0 olmak üzere, f(x) = ax2 + bx + c denklemi ile verilen fonksiyona bir karesel fonksiyon (quadratic function) denir. Bazı kitaplarda karesel sözcüğü yerine kuadratik sözcüğü de kullanılır. Kareye tamamlama denilen işlemle ve son ifadede yazılarak her karesel fonksiyon biçimine dönüştürülebilir.

Yukarı veya aşağı kayma Varılan sonucu özetleyelim: Son ifadeden görüyoruz ki, her karesel fonksiyon y = x2 kare fonksiyonuna temel dönüşümler uygulanarak elde edilebilir. Dolayısıyla, karesel fonksiyonun grafiği de y = x2 nin grafiğinin kaydırılması, x-ekseni etrafında yansıtılması veya büzülüp gerilmesiyle elde edilir. Karesel fonksiyonun grafiği parabol (parabola) olarak adlandırılır. Sağa veya sola kayma Germe, büzme veya yansıma Yukarı veya aşağı kayma

f nin minimum değeri f(h) = k Şimdi, a> 0 , h > 0 , k > 0 olması durumunda f(x) = ax2 + bx + c nin grafiğini çizelim : olduğunu unutmayalım. Sağa kayma (-h < 0 ) Germe veya büzme Yukarı kayma (k > 0 ) x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) (h,k) (h,0) (h,0) f nin minimum değeri f(h) = k

f nin maksimum değeri f(h) = k a< 0 , h > 0 , k > 0 olması durumunda f(x) = ax2 + bx + c nin grafiği: olduğunu unutmayalım. Sağa kayma (-h < 0 ) Germe veya büzme Yukarı kayma (k > 0 ) x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) (h,0) (h,0) (h,k) f nin maksimum değeri f(h) = k

y = a(x-h)2 ifadesinde (x-h)2 nin alabileceği en küçük değer x = h için sıfır değeri olduğundan, f(x)= a(x-h)2 + k karesel fonksiyonu için f(h) = k değeri, a > 0 olması durumunda minimum, a < 0 olması durumunda maksimum değerdir. f(x)= a(x-h)2 + k karesel fonksiyonunun a > 0 olması durumunda maksimum değeri, a < 0 olması durumunda da minimum değeri yoktur. (h,k) noktasına karesel fonksiyonunun (veya onun grafiği olan parabolün) köşe noktası denir. a > 0 olması durumunda, köşe noktası parabolün en alt, yani dip noktasıdır ve parabol yukarıya doğru açılır ; a < 0 olması durumunda, köşe noktası parabolün en üst, yani tepe noktasıdır ve parabol aşağıya doğru açılır. Bir karesel fonksiyonun grafiği, koordinat kesişimleri ve köşe noktası belirlenip yukarıdaki bilgilerden yararlanılarak çizilir.

Burada, a > 0 , h > 0 ve k < 0 P A R A B O L P A R A B O L P A R A B O L P A R A B O L x y (0,0) x-kesişimleri y-kesişimi (h,k) köşe(vertex) Burada, a > 0 , h > 0 ve k < 0

Örnek. in grafiği. x y (0,0) (0,21) Köşe : (6 , 3) (6,3) x-kesişimi : YOK y-kesişimi : f (0) = 21 , (0 , 21) Yukarıya doğru açılan parabol ( a > 0)

Aşağıya doğru açılan parabol ( a < 0) Örnek. ün grafiği. x y (0,0) x-kesişimleri : f (x) = 0  -2x2 + 16x –24 = 0  x = 2 , 6  (2 , 0) , (6 , 0) y-kesişimi : f (0) =- 24 , (0 , -24) Köşe : (4 , 8) (4,8) (6 , 0) (2 , 0) Aşağıya doğru açılan parabol ( a < 0) (0,-24)

Karesel fonksiyonlarla ilgili bilgileri özetleyelim: f nin grafiği, köşe noktası (h , k) olan paraboldür. f nin y-kesişimi (0 , c ) noktasıdır; x-kesişimleri ax2 + bx + c = 0 denklemi çözülerek belirlenir. Eğer a > 0 ise, parabol yukarıya doğru açılır ve f nin minimum değeri f(h) =k dir. Fonksiyonun görüntü kümesi, [k, ) aralığıdır. Eğer a < 0 ise, parabol aşağıya doğru açılır ve f nin maksium değeri f(h) =k dir. Fonksiyonun görüntü kümesi, (- , k] aralığıdır.

Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar. Örnek. Bir telefon şirketi bir merkezde 1200 veya daha az sayıda abone olduğu zaman abone başına 20 TL net kâr sağlamaktadır. Bu miktarın üstündeki her abone için abone başı net kârda 0.01 TL lik bir azalma meydana gelmektedir. Şirketin kârının maksimum olması için abone sayısı kaç olmalıdır? Maksimum kâr ne olur? Çözüm. Abone sayısı 1200 + x, x  0 olsun. Bu takdirde, şirketin kârı olur. Bu karesel fonksiyon maksimum değerine olunca ulaşır. O halde, telefon şirketinin kârının maksimum olması için abone sayısı 1200 + 400 = 1600 olmalıdır. Maksimum kâr K(400)=25600 TL olur.

Örnek. . Çaydanlık imalatçısı, p TL fiyatla x = 4000–20p adet çaydanlık satabiliyor. 150000 TL gelir elde etmesi için kaç çaydanlık satmalıdır? Çözüm. x adet çaydanlık satınca sağlayacağı gelir G(x)=xp=(4000–20p)p=4000p–20p2 TL olacaktır. O halde, 150000 TL gelir için 150000 = 4000p–20p2   p2–200p +7500 = 0  (p–150)(p–50) = 0  p = 50 veya p = 150 olmalıdır. İmalatçı, 50 TL fiyatla x = (4000–20.50)= 3000 adet veya 150 TL fiyatla x = (4000–20. 150) = 1000 adet çaydanlık satarak 150000 TL gelir elde edebilecektir. Satıcı, beheri 150 TL den 1000 adet çaydanlık satmayı tercih edecektir (Neden?).

Uygulama. Bir firmanın gelir ve gider fonksiyonları, x bin adet ürün için bin TL olarak veriliyor. G ve M nın grafiklerini aynı koordinat düzleminde çizerek aşağıdaki soruları yanıtlayınız: a) Gelir ve giderin eşit olduğu üretim seviyelerini bulunuz. b) Kâr edilen ve zarar edilen üretim seviyelerini ve en büyük kârı belirleyiniz. Çözüm. Gelir fonksiyonu, biçiminde ifade edilebilen karesel fonksiyondur. Geliri gidere eşitleyelim::

zarar y x (0,0) 1 15 (bin) 200 400 10 gelir = gider 12 6 6000 veya 12000 ürün üreti-lince gelir ve gider eşit olur. (6,12) aralığında, yani 6000 üründen çok ve 12000 üründen az üretilince kâr; (1,6) ve (12,15) aralıkla-rında, yani 6000 den az 12000 den fazla ürün üreti-lince zarar edilir. zarar KÂR zarar

Kâr fonksiyonuna bakalım: Maksimum kâr : 36000 TL. (bin TL).

Rasyonel Fonksiyonlar. p(x) ve d(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere ile tanımlanan fonksiyona bir rasyonel fonksiyon denir. p(x) ve d(x) polinomlarına, sırasıyla, bu rasyonel fonksiyonun payı ve paydası denir. ifadesinde kesrinin sadeleştirilmiş olduğu kabul edilir. Payı p(x) ve paydası d(x) olan bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi { x : d(x)  0 } kümesidir. Bir rasyonel fonksiyonun grafiğini çizerken, x   iken veya x  -  iken f (x) in na-sıl değiştiğini bilmek önem kazanır. Buna ek olarak, d(a) = 0 olan her a  ℝ için x  a- iken veya x  a+ iken f (x) in nasıl değiştiğini bilmek de önemlidir.

Örnek. Basit fonksiyonlar arasında listelediğimiz hiperbolik fonksiyon bir rasyonel fonksiyondur. Bu fonksiyonun tanım kümesi { x : x  0 } = ℝ \{0} = (- , 0)  (0 , ) dur. Ayrıca, dır. Son iki eşitlik birleştirilerek yazılabilir. in tanım kümesindeki her c için olduğundan, f fonksiyonu x = c’de süreklidir. O halde Her rasyonel fonksiyon tüm tanım kümesinde süreklidir. Başka bir deyişle, bir rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan sayılar dışında tüm reel sayılarda süreklidir.

{ x : x+1  0 } = ℝ \{-1} = (- , -1)  (-1 , ) , d(c) = 0 ve p(c) ≠ 0 ise, sonsuz limitler, yani x = c doğrusu fonksiyonun düşey asimptotu olur. Örnek. rasyonel fonksiyonuna bakalım. Bu fonksiyonun tanım kümesi { x : x+1  0 } = ℝ \{-1} = (- , -1)  (-1 , ) dur. ifadesini biçiminde yazarak ve x   iken ve x  -  iken olduğu kullanılarak x   iken ve x  -  iken olduğu görülebilir. Aynı sonucun aşağıdaki ifade kullanılarak da görülebileceğine dikkat ediniz y = 1 doğrusu yatay asimptot.

fonksiyonu için x  -1- iken g (x)   ve x  -1+ iken g (x)  -  dur. Dolayısıyla, x = –1 doğrusu düşey asimptottur. Bu fonksiyonun grafiği hiperbolik fonksiyonun grafiğinden temel dönüşümlerle elde edilebilir. y x (0,0) x y 1 –1 (2,0) (0,–2)

Rasyonel Fonksiyonların Sonsuzdaki Limitleri. pay ve paydanın dereceleri aynı ise, limit, payın başkatsayısının paydanın katsayısına bölünmesiyle elde edilen sayıdır payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, limit, sıfırdır payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit, pay ve paydanın dereceleri ve başkatsayıları tarafından belirlenmek üzere  veya – dur.

Örnekler.

x  –2– veya x  2– iken y  – ; x  –2+ veya x  2+ iken y   Örnek. x  – veya x   iken y  0 olduğundan y = 0 doğrusu yatay asimptottur. x  –2– veya x  2– iken y  – ; x  –2+ veya x  2+ iken y     olduğundan x =–2 ve x = 2 doğruları bu fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.

x = -2 ve x = 2 düşey asimptot. y = 0 yatay asimptot. x y (0,0) -2 2

Uygulama (Meslek içi eğitim) Uygulama (Meslek içi eğitim). Bir elektronik şirketi t gün iş başında eğitim görmüş bir teknisyenin günde monte ettiği bilgisayar sayısı s(t) ile gösterilirse, olarak gerçekleştiğini görüyor. y = s(t) nin grafiğini çiziniz ve yorumlayınız. düşey asimtot : t+ 4 = 0  t = -4 . yatay asimtot : t  -  veya t   iken s(t)  40  y = 40 t  - 4- iken s(t)   t  - 4+ iken s(t)  -  Biz, grafiğin t  0 olan kısmı ile ilgileneceğiz.

t y (0,0) 40 -4 Eğitim süresi arttıkça monte edilen bilgisayar sayısı da artar. Ancak, belli bir süreden sonra bu artış çok yavaşlar; monte edilen bilgisayar sayısı daima 40 dan azdır.

biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun grafi-ği yanda gösterilmiştir. Parçalı tanımlı fonksiyonlar. Bazı fonksiyonlar değişik aralıklar üzerinden değişik denklemlerle tanımlanırlar. Bunun en yalın örneği mutlak değer fonksiyonudur: Bu ifadeden, mutlak değer fonksiyonunun [0,) aralığı üzerinde | x | = x denklemi, (-,0) aralığı üzerinden ise | x | = - x denklemi ile tanımlandığını anlıyoruz. Mutlak değer fonksiyonunda olduğu gibi farklı aralıklar üzerinde farklı denklemlerle tanımlanmış fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyonlar denir. Parçalı tanımlı bir fonksiyonun grafiği çizilirken tanımda söz konusu olan her bir aralık için fonksiyonu o aralıkta tanımlayan denklemin grafiği çizilir. Örnek. Parçalı olarak x y (-1,1) (1,1) biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun grafi-ği yanda gösterilmiştir. (-2,0) (2,0)

Örnek. Toptan kumaş satan bir firma, her bir müşterisinin satın aldığı kumaşın metre fiyatını ilk 10 metresi için 10 TL, on metreden fazla 50 metreye kadar olan kısmı için 8 TL ve 50 metreden sonraki kısmı için 6 TL olarak uyguluyor. Bu firmadan kumaş alan bir müşterinin ödemesi gereken tutarı satın aldığı kumaş miktarının fonksiyonu olarak ifade edelim. Müşteri x metre kumaş satın almış olsun ve ödeyeceği TL miktarını f (x) ile gösterelim. Eğer 0 < x ≤ 10 ise, gelir f (x) = 10x TL olur. Eğer 10 < x ≤ 50 ise, ilk 10 metre için 10 . 10 = 100 TL, geri kalan (x – 10) metre için 8(x – 10) TL ödemesi gerekir ve f (x) = 100 +8(x – 10) = 8x + 20 TL olur. Eğer x > 50 ise, ilk 10 metre için 10 .10 = 100 TL , sonraki 40 metre için 8 . 40 = 320 TL, geri kalan (x – 50) metre kumaş için 6(x – 50) TL ödemesi gerekir. O halde, x > 50 ise, f (x) = 100 + 320 + 6(x – 50) = 6x + 120 TL olur. Dolayısıyla,