TBF - Genel Matematik I DERS – 8 : Grafik Çizimi Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Artan – Azalan Fonksiyonlar. x y x y=f(x) (x,f(x)) y= f(x) a r t a n a z a l a n a r t a n Bir (a , b) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer x1 , x2  (a , b) ve x1 < x2 olunca daima f(x1) < f(x2 ) oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralığında artan fonksiyondur denir. Eğer x1 , x2  (a , b) ve x1 < x2 olunca daima f(x1) > f(x2 ) oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralığında azalan fonksiyondur denir.

 (c , f (c)) de yatay teğet f´(c) = 0 (a , b) aralığında x y Eğim sıfır f´(x) > 0  f artan Eğim negatif Eğim pozitif f´(x) < 0  f azalan yatay teğet  (c , f (c)) de yatay teğet a z a l a n f´(c) = 0 a r t a n y=f(x) x y Örnek. f(x) =(1/2) x2 – 6x +22 = (1/2)(x – 6)2 + 4 fonksiyonu İçin f ´ (x) = x – 6 ve f ´ (6) = 0. y= (1/2)x2 – 6x + 22 (0,22) x - 6  f´(x) - - - - - - - + + + + + a z a l a n a r t a n (6,4)

fonksiyonu (- , ) aralığında artandır. Örnek . fonksiyonu (- , ) aralığında artandır. Çünkü, her x reel sayısı için dır. Örnek. f(x) = x3 – 3x2 +4 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıklar: f´(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) = 0  x=0 veya x=2. x -  x y 2 f´(x) + + + - - - + + + f(x) a r t a n a z a l a n a r t a n –1 2 Örnek. x y x - 2  f´(x) - - - - - - - - - - - - - 2 a z a l a n a z a l a n

fonksiyonunun tüm artan ve azalan olduğu aralıklar: Örnek. fonksiyonunun tüm artan ve azalan olduğu aralıklar: 1 3 x y 2 f´(x) = 0  x = 1 veya x = 3 Aşağıdaki tablodan + + + + x - 1 2 + + f´(x)  - - - - - 3 fonksiyonun (-,1) ve (3,) aralıklarında artan, (1,2) ve (2,3) aralıklarında azalan olduğu görülür.

fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları belirleyelim. Örnek. fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları belirleyelim. Sağ tarafta parantez içindeki ifade (örneğin x=1 için bu ifadenin sıfır olduğuna dikkat edilerek) çarpanlara ayrılırsa, ve böylece f ’(x) in işareti incelenince x - 1 + + f ´(x)  - - - - - - - - - - - - - 7 f nin (- , 7) aralığında azalan, (7 , ) aralığında artan olduğu görülür.

Konkavlık , İkinci Türev. y = f(x) x y x y y = f(x) a a b b (a , b) aralığında yukarı doğru konkav (concave - up) (a , b) aralığında aşağı doğru konkav (concave - down) (a , b) aralığında f´(x) artan  grafik yukarı doğru konkav. f´(x) azalan  grafik aşağı doğru konkav. f´(x) in türevi pozitif  grafik yukarı doğru konkav. f´(x) in türevi negatif  grafik aşağı doğru konkav.

f fonksiyonunun (birinci) türevi f´(x) mevcutsa ve f´(x) in de türevi mevcutsa, f´(x) in türevine f nin ikinci türevi denir ve f´´ (x) ile gösterilir. y = f (x) ise, f nin ikinci türevi tir ve bu türev sembolleri ile de gösterilir. Örnekler.

Örnekler.

f´(x) = 3x2 , f ´´(x) = 6x (a , b) aralığında f ´´ (x) > 0  y = f (x) in grafiği yukarı doğru konkav f ´´ (x) < 0  y = f (x) in grafiği aşağı doğru konkav Örnek. f(x) = x3 fonksiyonunun yukarı ve aşağı doğru konkav olduğu aralıkları belirle-yelim. f´(x) = 3x2 , f ´´(x) = 6x x y x -  f ´´(x) - - - - - + + + + + Her x  0 için f ´(x) = 3x2 nin pozitif olduğu da göz önüne alınarak , f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği elde edilir.

Şimdiye kadar yapılanlardan şu sonucu çıkarabiliriz: Bir f fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıklar f nin birinci türevinin, yukarıya veya aşağı doğru konkav olduğu aralıklar da f nin ikinci türevinin işaretinin değişimine bakılarak belirlenebilir. Şu kuralları elde ettik: (a , b) aralığında f ´(x) > 0  f artan f ´(x) < 0  f azalan f ´(c) = 0  (c , f (c))’de yatay teğet f ´´ (x) > 0  y = f (x) in grafiği yukarı doğru konkav f ´´ (x) < 0  y = f (x) in grafiği aşağı doğru konkav

fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru veya aşağı doğru Bir f fonksiyonunun grafiğinde konkavlığın değiştiği noktaya f nin dönüm noktası denir. Bu durumda, “f nin x = c’de dönüm noktası var” denir. x y dönüm noktası Dönüm noktası ile ikinci türev arasında şu ilişki vardır: y = f (x) fonksiyonu (a , b) de sürekli ve a < c < b olmak üzere, f nin x = c’de dönüm noktası varsa, ya f ´´ (c) = 0 yada f ´´ (c) tanımsızdır. (0,0) Örnek. fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru veya aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ve varsa dönüm noktalarını belirleyelim. f´(x) = 3x2 -6x = 0  x = 0 veya x = 2. f´´(x) = 6x –6 = 0  x = 1. f fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru veya aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ikinci türevin işaret tablosu yardımıyla belirleyebiliriz. x - 1  Bu tablodan f fonksiyonunun x = 1’de dönüm noktası bulunduğu da görül-mektedir. f ´´(x) - - - - - + + + + + Fonksiyonun daha önce de çizilen grafiği bir sonraki slaytta verilmiştir.

2 x y 1 -1

Yerel Maksimum , Yerel Minimum (Yerel Ekstremum). İç Nokta Ekstremumları. c bir reel sayı ve f bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu c yi içine alan bir açık aralıkta tanımlı ise, c ye f nin tanım kümesinin bir iç noktası denir. c, f fonksiyonunun tanım kümesinin bir iç noktası olsun. Eğer her x(a,b) için f(x) < f(c) koşulunu sağlayan, c yi içeren bir (a,b) aralığı varsa, f(c) değeri f nin bir yerel maksimum değeridir denir. Benzer şekilde, her x(a,b) için f(x) > f(c) koşulunu sağlayan, c yi içeren bir (a,b) aralığı varsa, f(c) değeri f nin bir yerel minimum değeridir denir. x y x y f(c) c b x a a x f(c) b c f(c) yerel maksimum f(c) yerel minimum f(c) değeri f nin yerel maksimum (veya yerel minimum) değeri ise, f nin x = c’de yerel maksimum (veya yerel minimum) değeri vardır denir.

Örnek. Karesel fonksiyonlarla ilgili tartışmalarımızdan, karesel fonksiyonunun olmak üzere a > 0 ise, x = h’de yerel minimum değere a < 0 ise, x = h’de yerel maksimum değere sahip olduğunu anımsayınız. 2 x y 1 -1 Örnek. Daha önce, f(x) = x3 – 3x2 + 4 fonksiyonunun grafiği yandaki gibi çizilmişti. Grafikten de kolayca görülebileceği üzere bu fonksiyonun x = 0’da yerel maksimum (f(0) = 4) ve x = 2’de yerel minimum (f(2) = 0) değeri bulunmaktadır.

Uç Nokta Ekstremumları. Eğer a, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sol uç noktası olup a ya yakın ve a dan büyük olan her x için f(x) < f (a) ise, f(a) ya f nin bir uç nokta yerel maksimum değeri denir. Eğer b, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sağ uç noktası olup b ye yakın ve b den küçük olan her x için f(x) < f (b) ise, f(b) ye f nin bir uç nokta yerel maksimum değeri denir. Aşağıdaki şekiller uç nokta maksimum değer tanımını açıklar: x y x y (a,f(a)) b (b,f(b)) a Örnek. fonksiyonu [0,∞) aralığında tanımlıdır ve f(0)=0 değeri bu fonksiyonun bir uç nokta maksimumudur. Çünkü, her x ϵ (0,9) için ve f(x) < f (0) = 0 dır.

Aşağıdaki şekiller uç nokta minimum değer tanımını açıklar: Eğer c, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sol uç noktası olup c ye yakın ve c den büyük olan her x için f(x) > f (c) ise, f(c) ye f nin bir uç nokta yerel minimum değeri denir. Eğer d, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sağ uç noktası olup d ye yakın ve d den küçük olan her x için f(x) > f (d) ise, f(d) ye f nin bir uç nokta yerel minimum değeri denir. Aşağıdaki şekiller uç nokta minimum değer tanımını açıklar: x y x y b (d,f(d)) (c,f(c)) a Örnek. fonksiyonu [0,∞) aralığında tanımlıdır ve f(0)=0 değeri bu fonksiyonun bir uç nokta maksimumudur. Çünkü, her x ϵ (0,4) için ve f(x) > f (0) = 0 dır.

g(-2) = -16 uç nokta yerel minimumu Örnek. Her x  [-2,3] için , g(x) = x3 – 3x2 + 4 denklemi ile tanımlanan fonksiyon x (3,4) 2 y (0,4) y = x3–3x2+4 –2  x  3 –2 3 (–2,–16) g(-2) = -16 uç nokta yerel minimumu g(3) = 4 uç nokta yerel maksimumu Örnek. denklemi ile tanımlanan fonksiyon [1,5] aralığında tanımlı olup (1,3) aralığında artan, (3,5) aralığın-da azalandır. Dolayısıyla, g(1) = 2 =g(5) uç nokta yerel minimumu iç nokta yerel maksimumu

y = f(x) in grafiğini çizmek için Grafik Çizimi. y = f(x) in grafiğini çizmek için (f nin tanım kümesi, f(x) in tanımlı olduğu tüm reel sayıların oluşturduğu kümedir.) Adım 1. f(x) analiz edilir. A) f nin tanım kümesi belirlenir. (Eğer varsa, y-kesişimi f(0) dır; x-kesişimleri de f(x)=0 ın çözümleri.) B) Koordinat kesişimleri bulunur. C) Asimptotlar bulunur. Adım 2. f´(x) analiz edilir. (Bir tabloda f´(x) in sıfır olduğu veya tanımsız olduğu yerler, işaret değişimi gösterilir; böylece, f nin hangi aralıklarda artan, hangi aralıklarda azalan olduğu ve ayrıca yerel maksimum ve minimum değerleri belirlenir.) Adım 3. f´´(x) analiz edilir. (Bir tabloda f´´(x) in de sıfır olduğu veya tanımsız olduğu yerler, işaret değişimi gösterilir; böylece, f nin hangi aralıklarda aşağıya doğru, hangi aralıklarda yukarıya doğru konkav olduğunu ve ayrıca varsa dönüm noktaları belirlenir.) Adım 4. Grafik çizilir. (Bir koordinat sistemi alınarak asimptotları çizilir, koordinat kesişimleri, yerel maksimum ve minimum noktaları, dönüm noktaları işaretlenir ve tablolardan da yararlanılarak şekil tamamlanır.) Şimdi bu adımları bazı örnekler üzerinde gerçekleştirelim

Örnek 1. f(x) = x4 – 2x3 ile verilen fonksiyonun grafiğini çizelim. Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi: tüm reel sayılar kümesi ℝ B) y – kesişimi: f(0) = 0 (0,0) noktası x – kesişimleri: f(x) = 0 x4 – 2x3 = 0  x3(x – 2) = 0  x = 0 , 2 (0,0) ve (2,0) noktaları C) Asimptotlar: f bir polinom olduğundan düşey veya yatay asimptot yoktur. Adım 2. f´(x) i analiz edelim: f´(x) = 4x3 – 6x2 = 4x2(x – 3/2) Kritik Değerler: 0 ve 3/2 x f´(x) f(x) 3/2 - - - - - - - - - + + + + + f(x), (-,3/2) aralığında azalan, (3/2 , ) aralığında artan olup x = 3/2’de yerel minimum var-dır. azalan artan -27/16 Yerel min.

Bulduğumuz noktaları yerleştirelim Adım 4. Grafiği çizelim. y Bulduğumuz noktaları yerleştirelim 1 f(x) = x4 – 2x3 -1 1 2 x -1 -2

Örnek 2. f(x) = x3 + 3x2 -9x +5 in grafiğini çizelim Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi: tüm reel sayılar kümesi ℝ B) y – kesişimi: f(0) = 5 (0,5) x – kesişimleri: f(x) = x3 + 3x2 -9x +5 =(x-1)2(x+5) (1,0) ve (-5,0) C) Asimptotlar: f bir polinom olduğundan düşey veya yatay asimptot yoktur. Adım 2-3. f´(x) ve f´´(x) i analiz edelim : f´(x) = 3x2 + 6x -9 = 3(x2 +2x-3) = 3(x-1)(x+3) Kritik Değerler: -3 ve 1 f´´(x) = 6x + 6 = 6(x+1) = 0  x = -1 -5 -3 -1 1 f (x) 32 16 5 f ‘ (x) + + + - - - - + + + + + + + f ‘‘ (x) - - - - - - - - + + + + + + + + + +

x y Adım 4. (-3,32) f(x) = x3 + 3x2 -9x +5 (-1,16) (0,5) (-5,0) (1,0)

Örnek 3. nin grafiğini çizelim. Adım 1. f (x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi: ℝ\{2} B) y – kesişimi: Bir kesrin sıfır olduğu yerler, payın sıfır olduğu, ancak pay-danın sıfırdan farklı olduğu yerlerdir. Dolayısıyla, x-kesişimi x = 1 dir. x – kesişimleri: C) Yatay asimptot : olduğundan, y = 1 yatay asimptottur. Düşey asimptot: x = 2.

Bu örnekte de Adım 2 ve Adım 3 ü birlikte gerçekleştirip bir tek tablo yapacağız: x f´(x) f(x) f´´(x) 1 -1 2 2 1/2 -1/4 1/4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + +

Adım 4. y 1 x -1 1 2 3

in grafiğini çizelim. Örnek 4. Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi: ℝ B) y – kesişimi: x – kesişimleri: Yok. C) Yatay asimptot: olduğundan, y = 0 yatay asimptottur. Düşey asimptot: Yok.

Adım 2 ve Adım 3 ü birlikte gerçekleştirip bir tek tablo yapalım: = 0  x = 0. = 0  x = 3/4 3/4 x f´(x) f(x) f´´(x) 1 1/2 1 + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + - - - - - - + + + + + + + + Yerel Maks.

Adım 4. y 1 x

Örnek 5. in grafiğini çizelim. Grafik çizim stratejisindeki adımları sırasıyla izliyoruz. Tanım kümesi: ℝ x-kesişimi ve y-kesişimi: (0,0). Düşey asimptot yok.  y= 0 yatay asimptot. f´(x) in bu ifadesinden, her x < -1 için f´(x)<0 ve her x > -1 için f´(x)>0 olduğu görülür f´´(x) in bu ifadesinden, her x < -2 için f´´(x)<0 ve her x > -2 için f´´(x)>0 olduğu görülür. Bu verileri bir tabloda özetleyelim ve grafiği çizelim.

-2 x f´(x) f(x) f´´(x) -2e-2 -e-1 - - - - - - - - - + + + + + + + + + x f´(x) f(x) f´´(x) -2e-2 -e-1 - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - - - - + + + + + + + + + + + Yerel min. x y -1 -2

Örnek 5. in grafiğini çizelim. Grafik çizim stratejisindeki adımları sırasıyla izliyoruz. Tanım kümesi: ℝ\{0} x-kesişimi ve y-kesişimi :YOK.  x= 0 düşey asimptot.  y= 0 yatay asimptot. f´(x) in bu ifadesinden, her x < 1 için f´(x)<0 ve her x > 1 için f´(x)>0 olduğu görülür Her x  R için ve ex > 0 olduğundan, ikinci türevin asla sıfır olmadığına ve ikinci türevin işaretinin x3 tarafından belirlendiğine dikkat edelim. Bu verileri bir tabloda özetleyelim ve grafiği çizelim.

x 1 f(x) e f´(x) - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + f ´´x) - - - - - - - - - - + + e + + + + + + + + x y 1

Örnek 6. in grafiğini çizelim. Tanım kümesi: x-kesişimi: x = 1, y-kesişimi: yok. = 0  x = 1/e

1/e -1/e e 1 x f´(x) f(x) f´´(x) - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Yerel min.

y 1 1/e x

Örnek 7. in grafiğini çizelim. Tanım kümesi: Fonksiyonun koordinat kesişimi, yatay veya düşey asimptotu yoktur(neden?) x y Yerel maks. x g(x) g’(x) g’’(x) 1 3 5 2 2 + + + + - - - - - - - - - - - - - - - 1 3 5

Çözüm. Değişim oranı türeve karşılık geldiğinden, Uygulama. Bir şirket, en az 10 bin en çok 20 bin TL harcamayı planladığı bir reklam kampanyası düzenlemek istiyor. Şirket geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampanya için x bin TL harcaması durumunda, günde satabileceği ürün sayısının N(x) = 9000 – 600x + 45x2 – x 3 olacağını tahmin ediyor. Satışın reklam harcamalarına göre değişim oranını analiz ediniz. Çözüm. Değişim oranı türeve karşılık geldiğinden, N´(x) = -600 + 90x - 3x2 = -3(x2 - 30x +200) = -3(x-10)(x-20) , N´´(x) = -6x +90 = -6(x-15). x y 20 x 10 20 15 y = N(x) 6500 N(x) 7000 6750 15 N´(x) 0 + + + + + 75 + + + + + 0 10 y = N´(x) N´´(x) + + + + + + - - - - - - - N(10) = 9000 – 6000 + 4500 - 1000= 6500 N(15) = 9000 - 600 . 15 + 45 . 152 - 153 = 6750 N(20) = 9000 - 600 . 20 + 45 . 202 - 203 = 7000