ALAN HESAPLAMALARI Aşağıdaki şekillerde alanların kaçar birim kare olduklarını bulalım. 28 br2 25 br2

Birim Karelerin Hangisi? *Aşağıda verilen aynı büyüklükteki masaların yüzeyleri, farklı boyutlardaki karelerle kaplanmıştır. 6 br2 12 br2 24 br2 * 3 işlemde de aynı bölgenin alanını doğru olarak ölçmemize rağmen, farklı sonuçlarla karşılaştık. Neden? * Çünkü herkes için geçerli olan, standart bir ölçme birimi kullanılmadı.

*Standart bir ölçme birimi ile ölçme yapılırsa, herkes için daha anlaşılır olur. * Standart alan ölçme birimi olarak cm2 ve m2 kullanılır. Bir diğer ifade ile; Kenar uzunluğu 1 cm olan karenin alanı 1 cm2 dir. “ Bir santimetre kare” biçiminde okunur. Kenar uzunluğu 1 m olan karenin alanına ise 1 m2 denir. “ Bir metre kare” biçiminde okunur. ***Eğer masamızın alanını bulurken, standart ölçme birimleri olan cm yada m kullansaydık, bulduğumuz sonuçlar aynı çıkardı.

Karenin Alanını Hesaplayalım Şekillerde karelerin birer kenar uzunlukları verilmiştir. Alanlarını bulmaya çalışalım. 6 cm 5 cm 10 cm 9 cm 3 cm

Ölçümlerimizi tablo halinde gösterelim. Alanı ( cm2) Kareler Kenarı (cm) Alanı ( cm2) Her karenin bir kenarının uzunluğu ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır? 1.Kare 3 9 Karenin alanı bir kenarının kendisi ile çarpımıdır. Örnek : Karenin bir kenarı 3 cm ise, Karenin Alanı ; ( A ) = 3x3 = 32 = 9 cm2 dir. 2.Kare 5 25 3.Kare 6 36 4.Kare 9 81 5.kare 10 100 Karenin bir kenar uzunluğuna a dersek , alanını nasıl gösteririz? Karenin bir kenar uzunluğuna a olursa ; Alan ( A ) = a x a = a2 şeklinde formülleşir.

Dikdörgenin Alanını Hesaplayalım Şekillerde dikdörtgenlerin uzunlukları ve genişlikleri belirtilmiştir. Alanlarını bulmaya çalışalım. 8 cm 6 cm 11 cm 5 cm 9 cm 4 cm 9 cm 7 cm 5 cm 3 cm

15 36 55 48 63 Ölçümlerimizi yine tablo halinde görelim. 3 5 4 9 5 11 Her dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır? Dikdörtgenler Genişliği ( cm ) Uzunluğu ( cm ) Alanı ( cm2 ) 1.Dikdörtgen 3 5 15 Dikdörtgenin alanı, uzunluğu ile genişliği çarpılarak bulunur. Örnek : Dikdörtgenin uzunluğu 11 cm, genişliği 5 cm ise; Dikdörtgenin Alanı; ( A ) = 11x5 = 55 cm2 dir. 2.Dikdörtgen 4 9 36 3.Dikdörtgen 5 11 55 4.Dikdörtgen 6 8 48 5.Dikdörtgen 7 9 63 Bir dikdörtgenin genişliğine a , uzunluğuna b dersek ; alanını nasıl gösteririz? Dikdörtgenin genişliği a , uzunluğuna b olursa ; Alanı ( A ) = a x b şeklinde formülleşir.

Dikdörtgensel Bölgenin Alanı M N K L a c Dikdörtgensel bölgenin alanı, uzunluğu ile genişliğinin çarpımına eşittir. A(KLMN) = a x c Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek; Dikdörtgenin alanı, “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir”, diyebiliriz.

Karesel Bölgenin Alanı C E S F a Karesel bölgenin alanı; iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. A(FSEC) = a x a = a2 Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek; Karesel bölgenin alanı; “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir” , diyebiliriz.

* Alıştırmalar Bunun gibi başka dikdörtgenler çizebilir miyiz? Şekil üzerinde, alanı 12 cm2 olan dikdörtgenler çizmeye çalışalım. Alanı 12 cm2 olan kaç dikdörtgen çizebiliriz? * Alıştırmalar 2 cm 3 cm 6 cm 4 cm A = 3x4 = 12 cm2 A = 2x6 = 12 cm2 12 cm 1 cm A = 1x12 = 12 cm2 Bunun gibi başka dikdörtgenler çizebilir miyiz?

* Çözüm 1: Çözüm 2: 6 cm Ç = 40 cm 14 cm ( 6 + 14 ) x 2 Şekilde iki nokta arası 2 cm’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç santimetredir? Kaç tane nokta aralığı olduğunu bulur ve 2 ile çarparız. Çözüm 1: Toplam : 20 tane Çevre = 20 x 2 = 40 cm Şeklimizin kenarlarını kes-yapıştır yöntemiyle dikdörtgene tamamlar ve çevresini hesaplarız. Çözüm 2: Oluşan dikdörtgenin; Kısa kenarı = Uzun Kenarı = Çevresi = 6 cm Ç = 40 cm 6 cm 14 cm 14 cm ( 6 + 14 ) x 2

* Aynı şeklin bu kez de alanını hesaplayalım. ( iki nokta arası yine 2 cm) Çözüm : Şekil üzerinde çizimler yaparak, şeklimizi dikdörtgensel ve karesel bölgelere ayırmaya çalışalım. 1 dikdörtgensel ve 2 karesel bölge oluşturduk. Şimdi bu bölgelerin kenar uzunluklarını bulalım. ( iki nokta arası 2 cm idi.) 8 cm 4 cm 6 cm 2 cm 4 cm 2 cm

Şeklimizin toplam alanı; Ayrı ayrı alanları hesaplayıp ve daha sonra hepsini toplayarak , tüm şeklin alanını bulalım. * 8 cm 4 cm 48 cm2 6 cm 16 cm2 2 cm 4 cm 4 cm2 2 cm A = 6x8 = 48 cm2 A = 4x4 = 16 cm2 A = 2x2 = 4 cm2 Şeklimizin toplam alanı; 68 cm 2 + + = olur

* Çözüm = Ç = ( 12 + 6 ) x 2 = 36 cm ( 11 + 7 ) x 2 = 36 cm Ç = Aşağıdaki dikdörtgenlerin önce çevre uzunluklarını, daha sonra alanlarını hesaplayınız. 11 cm 7 cm 12 cm 6 cm Çözüm = Ç = ( 12 + 6 ) x 2 = 36 cm ( 11 + 7 ) x 2 = 36 cm Ç = Dikdörtgenin çevresini ; bir uzun ve bir kısa kenarını toplayıp, sonra 2 ile çarparak bulduğumuzu hatırlayın. İki dikdörtgende de çevre uzunlukları eşit ve 36 cm çıktı. Şimdi alanlarını bulalım. Bakalım alanları da eşit çıkacak mı? Bu dikdörtgenler için, “çevreleri eşitse; alanları da eşittir.” diyebilir miyiz?

Dikdörtgenlerimizin alanlarını ayrı ayrı hesaplayalım. 12 cm 6 cm 11 cm 7 cm = 77 cm 2 = 72 cm 2 A = A = 11 x 7 12 x 6 Görüldüğü gibi dikdörtgenlerin alanları birbirinden farklı çıktı. Bu ve buna benzer dikdörtgenler için; “çevreleri eşitse, alanları da eşittir” yada “alanları eşitse, çevreleri de eşittir” şeklinde bir kural koyamayız. Verilen şeklin kenar uzunluklarına göre , çevre ve alanları hesaplamamız gerekir.

Şimdi , örnekler üzerinde bununla ilgili çalışmalar yapalım. Bazen öyle sorularla karşılaşırız ki, bize alanın bir kısmı verilir, bizden alanın tamamı istenir. Bunun tersi de olabilir tabi ki : Alanın tamamı verilir, taralı alanı bulmamız istenir. Yada “taralı alan şu kadarsa, şeklin çevresi ne kadardır?” gibi çevre soruları da olabilir. Şimdi , örnekler üzerinde bununla ilgili çalışmalar yapalım.

* a) 36 cm 2 b) 32 cm 2 c) 24 cm 2 d) 20 cm 2 Çözüm : 6 cm 6 cm 6 cm Çevresinin uzunluğu 24 cm olan karesel bölgenin alanı kaç cm2 dir? a) 36 cm 2 b) 32 cm 2 c) 24 cm 2 d) 20 cm 2 Çevre ve alan hesaplamaları yaparken, şeklin kenar uzunluklarının bilinmesi gerekmektedir. Çözüm : Ç = 24 cm 6 cm Karede dört eşit kenar bulunduğundan çevre uzunluğunu dörde bölerek, bir kenarını hesaplarız Karenin alanını, bir kenar uzunluğunu kendisi ile çarparak buluyorduk. 6 cm 6 cm 6 cm 24:4 = 6 cm Karenin bir kenarı 36 cm 2 6 cm x = Karenin alanı

* a) 600 m 2 b) 60 m 2 c) 800 m 2 d) 80 m 2 Çözüm : 40 m 20 m 20 m Bir uzun kenarı 40 m olan dikdörtgenin çevresi 120 m’dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç m2 dir? a) 600 m 2 b) 60 m 2 c) 800 m 2 d) 80 m 2 Çözüm : Çevresi ve bir uzun kenarı verilen dikdörtgenin, kısa kenarını da bulmamız gerekmektedir. Dikdörtgenin uzun kenarları toplamı 40 + 40 = 80 m olur. Çevresinden uzun kenarlar toplamını çıkararak , kısa kenarların toplamını buluruz. 120 – 80 = 40 m (kısa kenarlar toplamı) Bir kısa kenar uzunluğu ise; 40 : 2 = 20 m olur 40 m Ç = 120 m 20 m 20 m 40 m İki kenar da belli olduğuna göre; şimdi alanını bulabiliriz. 800 m 2 40 m x = 20 m Dikdörtgenin alanı

Kare şeklindeki bahçenin çevresi * Uzun kenarı 160 m, kısa kenarı 40 m olan dikdörtgensel bir bahçenin alanı; karesel bir bahçenin alanına eşittir. Bu karesel bahçenin çevresi kaç m’dir? Çözüm : Öncelikle problemi anlamaya çalışalım. Şekillerini çizelim. Verilenleri ve isteneni listeleyelim. İstenen Verilenler Dikdörtgen biçimindeki bahçenin; Uzun kenarı :160 m Kısa Kenarı : 40 m Dikdörtgenin alanı, karenin alanına eşit. Kare şeklindeki bahçenin çevresi

Dikdörtgensel bahçenin kısa kenarı 40 m, uzun kenarı 160 m. Dikdörtgenin alanını hesaplayıp, karenin alanı ile eşleyelim. A = 160 x 40 = 40 m 6400 m 2 160 m Dikdörtgensel bahçenin alanı 6400 m2 olursa, karesel bahçenin alanı da 6400 m2 olacak. Ancak soruda bizden karesel bahçenin çevresi isteniyor. 6400 m 2 A =

Karesel bahçenin çevresi Bizden istenen karenin çevresi olduğu için, karenin alanı olan 6400 m2 den yola çıkarak , karenin bir kenarını bulmamız gerekir. Bir sayıyı kendisi ile çarparak 6400 sayısını bulacağız. Bu sayı kaç olabilir? 6400 m 2 A = 80 m 8 x 8 = 64 ise 80 x 80 = 6400 olur. Kısa yolu : Öyle ise karesel bahçenin bir kenarı 80 m’dir. Şimdi çevresini hesaplayabiliriz. 320 m 80 m x 4 = Karesel bahçenin çevresi

* A B D C a) 72 cm 2 b) 144 cm 2 c) 36 cm 2 d) 124 cm 2 Çözüm : 144 cm ABCD karesinde taralı bölge 72 cm2 ise, şeklin tüm alanı kaç cm2’dir? A B D C a) 72 cm 2 b) 144 cm 2 72 cm2 72 cm2 c) 36 cm 2 d) 124 cm 2 Karede komşu olmayan iki köşeyi birleştiren, iki doğru parçası vardır. Bunlara köşegen diyoruz. AC ve BD köşegenleri Çözüm : Köşegenler kareyi eş parçalara ayırır. Şimdi AC köşegenini çizelim. Kare iki eş parçaya ayrıldı. Taralı bölge 72 cm2 ise, diğer bölgede 72 cm2’dir. Şeklin toplam alanı ise; 144 cm 2 72 x 2 = olur

Karenin Özelliklerini Hatırlayalım B D C Karenin 2 köşegeni vardır. Bir köşegen kareyi iki eş parçaya; İki köşegen ise dört eş parçaya (üçgene) ayırır. o Karenin köşegenleri birbirini ortalar. Yani birbirlerini eş parçalara ayırırlar. I AO I = I OC I = I BO I = I OD I

* K L N M O a) 90 cm 2 c) 180 cm d) 225 cm b) 135 cm Şekilde KLMN karesel bir bölgedir. I LO I ve I NO I uzunlukları birbirine eşit ve KLO üçgeninin alanı 45 cm2 ise, tüm şeklin alanı kaç cm2’dir? K L N M O a) 90 cm 2 c) 180 cm d) 225 cm b) 135 cm

Çözüm : K L N M O Karenin toplam alanı ; 45 x 4 = 180 cm 2 olur. ** ILNI doğru parçası karenin bir köşegenidir. ** I NO I = I LO I olduğu için I LN I köşegeni ortalanmış durumdadır. *** Bu nedenle MO noktalarını birleştirdiğimizde, karenin diğer köşegeni olan I KM I köşegenini elde ederiz. *** Böylelikle karemiz 4 eş parçaya ayrılmış oldu. K L N M O Taralı alan 45 cm2 ise; Diğer parçalar da 45 cm2’dir. 45 cm2 Karenin toplam alanı ; 45 cm2 45 cm2 45 x 4 = 180 cm 2 45 cm2 olur.

* E F O H G a) 74 m b) 75 m c) 150 m d) 300 m Çözüm : Şekilde verilenlere göre EFGH dikdörtgeninin çevresi kaç metredir? a) 74 m b) 75 m c) 150 m d) 300 m Çözüm : Dikdörtgenin bir kenarı ile alanının bir kısmı verilmiş, bizden çevresini bulmamız isteniyor. Çevresini bulmak için dikdörtgenin diğer kenarını da bulmamız gerekir. Bunu nasıl yapabiliriz? Biraz düşünün bakalım. Dikdörtgenin alanı , kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı ile bulunuyordu. Alanının tamamını bulabilirsek , verilmeyen kenarı da bulabiliriz.

Dikdörtgenin Tüm Alanı : F O H G 75 m2 25 m 75 m2 75 m2 75 m2 Karede olduğu gibi dikdörtgende de köşegenler , alanı birbirine eşit parçalara ayırırlar. Verilen şekilde köşegenler , dikdörtgeni 4 eş parçaya ayırmıştır. Taralı kısım 75 m2 ise , diğer parçalarda 75 m2’dir. Dikdörtgenin Tüm Alanı : 75 x 4 = 300 m 2 olur

Diktörtgenin kısa kenarı Bulduğumuz alanı yerine yazalım. E F H G 25 m Ç = 74 m 12 m 300 m 2 A = Ancak bizden istenen alan değil, dikdörtgenin çevresiydi. Bunun için de alan formülü kullanarak, kısa kenarı bulmamız gerekir. Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun kenar 300 = Kısa Kenar x 25 300 : 25 = 12 m Diktörtgenin kısa kenarı Son işlem ; kısa ve uzun kenarları belli olan dikdörtgenimizin çevresini bulalım. 74 m Ç = ( 12 + 25 ) x 2 = olur.

* Şekildeki PRSŞ dikdörtgeninde IPRI kenarı dört eşit parçaya ayrılmıştır. Dikdörtgenin tüm alanı 200 cm2 ise, taralı alan kaç cm2’dir? P R Ş S

** *Dikdörtgen üzerinde köşegenleri çizerek, dikdörtgeni eş parçalara ayıralım. *** ŞR köşegeni çizildiğinde taralı alanın kesildiği görülmektedir. **** Bu yüzden ŞR köşegenini kullanmamız doğru olmaz. *** Sadece SP köşegenini çizerek dikdörtgenimizi 2 eş parçaya ayırırız. *** Toplam alan 200 cm2 olduğundan, iki eş parçadan her biri 100 cm2 olur. Çözüm : P R Ş S 100 cm2 100 cm2

P R S 25 cm 2 25 cm 2 100 : 4 = olur. Taralı Bölge = 100 cm2 100 cm2 Sadece taralı alanın yer aldığı parçayı, dikdörtgenden ayıralım. Bu şeklin tüm alanı 100 cm2 olmuştu. P R S 100 cm2 100 cm2 25 cm 2 IPRI doğru parçasının 4 eş parçaya ayrıldığı, soruda belirtilmişti. Birleştirilmeyen diğer noktayı da, S köşesi ile birleştirelim. Alanları birbirine eşit olan 4 tane üçgen elde ederiz. Bu şeklin tamamı 100 cm2 ise ; 25 cm 2 100 : 4 = olur. Taralı Bölge =

* Şekildeki ABCD dikdörtgeni içerisinde, birbirine eş 10 kare bulunmaktadır. BC kenarı 12 m ise, taralı alan kaç m2 olur? A D C B 12 m Çözüm : Taralı alanı bulmak için, ABCD dikdörtgeninin alanından , birbirine eş 10 karenin alanını çıkarmamız gerekiyor. Bunun için öncelikle dikdörtgenin ve karelerin kenar uzunluklarını hesaplamalıyız.

BC kenarının ölçüsü olan 12 m yi kullanarak , karenin bir kenarını bulalım. BC kenarını 4 kare ile oluşturduk. Öyleyse karelerin bir kenarı; Böylelikle bütün karelerin alanlarını hesaplayabiliriz. 12 : 4 = 3 m olur. A D C B 12 m 3 3 3 3

Kısa kenarı 12 cm olan ABCD dikdörtgenin uzun kenarını bulalım. Dikdörtgenin uzun kenarı 6 kareden oluştu. Karenin bir kenarı 3 cm olduğu için, dikdörtgenin uzun kenarı; Şimdi kısa ve uzun kenarı belli olan ABCD dikdörtgenin alanını bulabiliriz. 6 x 3 = 18 m olur. D C 12 m A B 18 m

ABCD dikdörtgeninin alanı = 12 m 18 m 3 = 216 m 2 ABCD dikdörtgeninin alanı = 18 x 12 = 9 m 2 Bir karenin alanı = 3 x 3 90 m 2 Tüm Karelerin Alanı = 9 m 2 10 x = 126 m 2 Taralı Alan = 216 m 2 90 m 2 - = olur.