Düzgün Çokgenin Özellikleri 1. n kenarlı bir düzgün konveks çokgenin bir iç açısının ölçüsü dir. * n kenarlı bir düzgün konveks çokgenin bir dış açısı α ve iç açısı ß ise ß = α + ß = 180º Örnek : Bir iç açısının ölçüsü 160º olan düzgün bir çokgenin köşegen sayısı kaçtır? A) 120 B) 126 C) 132 D) 135 E) 144 Cevap : D Çözüm : α bir dış açı, ß bir iç açı olsun α + ß = 180º olduğundan α + 160º = 180º α = 20º olur. Bir dış açısı : , köşegen sayısı :

2. Bir düzgün çokgenin kenar sayısı tek sayı ise bir köşegen karşı kenara çizilen dik, hem açıortay, hem de kenar ortay olur. [AH] aynı zamanda simetri eksenidir. ABCH dörtgeni ile AEDH dörtgenleri eşittir. Not : Simetri eksenlerin kesişim noktası iç teğet ve çevrel çemberin merkezidir.

Örnek : ABCDE bir düzgün beşgen [BF] açıortay m(CKB) = α Yukarıdaki verilenlere göre, m(CKB) = α kaç derecedir? A) 54 B) 58 C) 64 D) 68 E) 72 Cevap : A Çözüm : Düzgün beşgen olduğu için bir iç açısı 108º dir. [BF] hem açıortay, hemde diktir. m(ABF) = m(CBF) = 54º olur. Ayrıca DEC ikizkenar üçgen olduğu için DE = DC dir. m(DEC) = m(DCE) = 36º o halde EFK diküçgeninde α = 54º olur.

3. Düzgün çokgenlerde kenar sayısı çift sayı ise karşılıklı kenarlar paralel olur. [FC] açıortay [ED] // [AB] // [FC] [EF] // [CB] [AF] // [CD]

4. Bir düzgün konveks çokgenin köşeleri bir çember üzerindedir ve aynı köşeden çizilen tüm köşegenlerle oluşan açıların ölçüleri eşittir.

5. Bir düzgün çokgende bir kenarın her iki köşesine eş sayıda ötede iki köşeyi birleştiren köşegenler kenara paraleldir. [CD] // [BE] // [AF] ... [BC] // [AD] [CD] // [BE] AD = BE

Örnek : ABCDE bir düzgün beşgen BCF bir eşkenar üçgen m(AFB) = α Yukarıdaki verilere göre , m(AFB) = α kaç derecedir? A) 48 B) 54 C) 66 D) 72 E) 80 Cevap : C Çözüm : Düzgün bir beşgende bir iç açının ölçüsü 108º dir. BCF eşkenar üçgen olduğundan açılarının ölçüleri 60º ve kenarları eşittir. CF = BC = BF = AB dir. O halde m(ABF) = 48º olur. Buna göre ABF ikizkenar üçgendir. M(AFB) = m(FAB) = 66º olur

Düzgün Çokgenin Alanı 1. Çevrel çemberi ve R yarıçapı verilen düzgün çokgenin alanı Olmak üzere Alan = n . Alan(AOB) Alan = n . 1/ 2 . R2 sinL

2. Çevresi ve içteğet çemberinin r yarıçapı verilen düzgün çokgenin alanı Alan = olur. Not : Bir kenarının uzunluğu a olan düzgün bir altıgen, 6 tane eş, eşkenar üçgenden oluşur.

Örnek : ABCDEF bir düzgün altıgen Alan (DEK) = S1 Alan (ABL) = S2 Yukarıdaki verilere göre, S1 / S2 alanları oranı kaçtır? A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2 Cevap : B Çözüm : [FC] // [AB] // [ED] olduğundan

Örnek : ABCDEFGH bir düzgün sekizgen EG = 12 cm Yukarıdaki verilere göre, düzgün sekizgen alanı kaç cm2 dir? A) 96 2 B) 112 2 C) 134 2 D) 144 2 E) 154 2 Cevap : D Çözüm : Düzgün çokgenin köşelerinden bir çember geçer. Buna göre O merkezini E ve G noktalarına birleştirdiğimizde ikizkenar dik üçgen olur. OGE dik üçgeninde GO = r = 6 2 cm bulunur. Düzgün sekizgen sekiz tane EOD üçgeninden oluşmuştur. A(ABCDEFGH) = 8 . A(EOD)