ÜÇGENLER Aylin Karaahmet

! TANIM ! A, B ve C doğrusal olmayan üç nokta olmak üzere [AB], [BC] ve [CA]’nın birleşimine ÜÇGEN denir.

ABC = [AB]U[BC]U[CA]’dır. A, B ve C noktaları üçgenin köşeleridir. [AB], [BC] ve [AC] üçgenin kenarlarıdır. |BC|= a |AC|= b |AB|= c üçgenin kenar uzunluklarıdır. 4. A, B ve C köşeleri üçgenin iç açılarıdır. Köşe A Z X Y B C

NOT Matematikte karşımıza en çok çıkan geometrik şekil üçgendir. Çokgenler içinde kenar sayısı en az olan üçgenler. Diğer çokgenlerle ilgili özellikleri de ortaya çıkarır.

ÜÇGEN ÇİZME Bir üçgeni çizebilmek için bu üçgene ait bazı elemanların ölçülerini bilmemiz gerekir: üçgenin bütün kenar uzunlukları veya üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı veya üçgenin iki açısı ve bir kenar uzunluğu

Örn: Önce [KL]’i çizelim. K noktasını merkez alarak açı ölçerle 70°yi LKM çizelim. ΙKMΙ = 4 cm olsun. L ve M noktalarınıbir doğru parçası ile birleştirelim. K L M 4 Cm 70° K L 5 Cm

ÖDEV… Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan, arasındaki açısı 45° olan üçgen çiziniz.

- ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI - 1) Yükseklik: Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına veya karşı kenarının uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. “h” ile gösterilir. h h

! NOT ! 1) Bir ABC üçgeninde üç kenara ait yükseklikler A a kenarına ait yükseklik ha c ha b hc Diklik Merkezi hb B C a

2) Üçgen DİK AÇILI bir üçgense; DİK KENARLARIN İKİSİDE üçgenin yüksekliğidir. a kenarına ait yükseklik c kenarı A A c kenarına ait yükseklik a kenarı b c ha b B B C a C hc

3) Geniş açılı bir üçgende yükseklikler çizildiğinde iki yüksekliğin üçgenin dışında diğer yüksekliğin içinde olduğu görülür.

Örn: A ABC üçgeninde s(C) < s(A) ise |BC|’nin en küçük tam sayı değeri için yükseklikler nasıl sıralanır? 5 br 7 br B C

ÇÖZÜM |AB|-|AC|<|BC|<|AB|+|AC| 7-5<|BC|<7+5 2<|BC|<12 Açılara göre |BC|<7 |BC|=8 br. a=8 br, b=5 br, c=7 br ha<hc<hb’dir.

YÜKSEKLİK DURUMU ! 1-) Bir ABC ninde a,b ve c kenar uzunlukları olmak üzere a < b < c ise ha > hb > hc dir. Terside doğrudur. EN UZUN KENARA AİT YÜKSEKLİK EN KISADIR.

! 2-) Bir ABC ninde s(A) > s(B) > s(C) ise ha < hb < hc dir. AÇILARLA YÜKSEKLİKLER DE TERS ORANTILIDIR.

Örn: Bir ABC ninde s(A) = 63° ve s(B) = 57° ise yükseklikler arasındaki ilişki nasıldır?

ÇÖZÜM s(C)=180°-(57°+63°)=60° |AD|<|CF|<|BE| s(A)>s(C)>s(B) ha<hc<hb A c b E F B C D

2) Kenarortay : Üçgenin bir köşesinden karşı kenarı iki eş parçaya ayıracak şekilde çizilen doğru parçasıdır. “V” ile gösterilir. V // //

NOT: Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir NOT: Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir. Üçgenin ağırlık merkezi Va a kenarına ait kenarortay Vb b kenarına ait kenarortay Vc c kenarına ait kenarortay A / /// Va Vc / /// Vb // // C B

Örn: ABC’nde |AD|=12 br. olduğuna göre |AG| kaç br. dir? A / E G / //

ÇÖZÜM |AG|=2|GD| |GD|= k ise |AG|=2k |AD|=|AG|+|GD| = 2k + k =3k 12=3k k=4 |AG|= 2k = 2.4 = 8br. dir

Örn: ABC ninde I EG I = 2x – 2 br I GC I = 3x+1 br olduğuna göre I EC I = ? Br dir. E

I GC I = 2 I EG I 3x+1 = 2. (2x-2) 3x+1 = 4x-4 5 = x I EG I = 2x-2 2 I GC I = 2 I EG I 3x+1 = 2.(2x-2) 3x+1 = 4x-4 5 = x I EG I = 2x-2 2.5 – 2= 8 br I GC I = 3x+1 3.5 + 1= 16 br I EC I = 8 + 16 = 24 br ÇÖZÜM

C) Açıortay Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran doğru parçasıdır. “n” ile gösterilir. n Dış açıortay İç açıortay

A na a kenarına ait açıortay nb b kenarına ait açıortay na nc nb B C

ÇÖZÜM I DA I = I BD I s ( ABD ) = 80° ( ikizkenar) Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüsünün toplamına eşittir. s ( D ) = 80° + 80° = 160° s ( B ) = 10° ve s ( C ) = 10° (ikizkenar üçgen)

Üçgenin iç açıları toplamı 180 ° dir Örn: [CE] [AD] I AE I = I ED I I AB I = I CD I s ( BAC ) = 68° s (CAD ) = ?

ÇÖZÜM [CE] , AD nin kenar ortayı olup ACD ikiz kenar olur. Öyle ise I AC I = I CD I dir. s (ABC) = s(ACB) = (180° - 68° ) / 2 = 56° s (ACD) = 180° - 56° = 124° s (CAD) = ( 180° - 124° ) / 2 = 28°

KENAR ORTA DİKME TANIM : Bir kenarı dik olarak iki eş parçaya böler. NOT : Bir üçgende kenar orta dikmelerin kesim noktası dış teğet çemberin merkezidir.

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları Üçgenlerin kenarlarıyla açıları arasında bazı bağıntılar bulunmaktadır. Kenar uzunlukları her istenen değeri alamaz.

Açı-Kenar İlişkisi: 1.) Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar vardır. Yada büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı vardır. A a>b>c s(A)>s(B)>s(C) 70° b c 60° 50° C B a

2.) Bir üçgende eş uzunluklar karşısında eş açılar ya da eş açılar karşısında eş uzunluklar vardır. s(B)=s(C)>s(A) b=c>a dır. 40° b c 70° 70° C B a

Bir üçgende açılardan biri dik açı ya da geniş açı ise, o açı karşısındaki kenar en büyüktür. c c 120° C B a B C a

En uzun kenar hangisidir? Örnek: En uzun kenar hangisidir?

ÇÖZÜM b > d > e a > b > c En uzun kenar [BC] dir.

Örnek: Şekildeki ABC üçgeninde I AB I = 4 cm I AC I = 9 cm I BD I = 12 cm [BC] [CD] olduğuna göre [BC] kenarının alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM ABC üçgeni için I BC I nin alabileceği değerler: I 9-4 I < I BC I < I 9+4 I 5 < I BC I < 13 Ayrıca s (BCD) = 90° [BD] → BCD üçgeni için en uzun kenardır. I BC I < 12 Buradan 5 < I BC I < 12 olur. Toplam= 6+7+8+9+10+11 = 51 dir.

Örnek: Şekilde s ( A ) > s ( B ) I AC I = 18 cm I BC I = 2x + 8 cm I AB I = x + 4 cm x’ in alabileceği tamsayı değerleri ?

x – 6 < 10 → x < 16 10 < 3x – 2 → 12 < 3x → 4 < x s ( B ) > s ( C ) 2x – 4 > 10 2x > 14 → x > 7 7 < x < 16 C = { 8,9,10,11,12,13,14,15 }