ÜÇGENLERDE BENZERLİK www.muratguner.net MURAT GÜNER HER GENÇ GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER İSTANBUL- 2004

www.muratguner.net

www.muratguner.net

www.muratguner.net TIPKISININ AYNISI

Buradan ABC üçgeni DEF üçgeni benzerdir denir www.muratguner.net 1- BENZER ÜÇGENLER Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. A B C b c a D E F e f d ABC ve DEF üçgenleri için Buradan ABC üçgeni DEF üçgeni benzerdir denir ve biçiminde gösterilir.   m ( A ) = m ( D )     m ( B ) = m ( E ) ABC  DEF   m ( C ) = m ( F ) oranı yazılabilir.

Hayalleri olanlar asla uyuyamaz. www.muratguner.net eşitliğinde verilen k sayısına , benzerlik oranı veya benzerlik katsayısı denir.  k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan , bu üçgenlere eş üçgenler denir.   ABC  DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.   ABC  DEF  Hayalleri olanlar asla uyuyamaz.

ABC üçgeni ile DEF üçgeni karşılıklı açıları eş olduğundan benzerdir. www.muratguner.net ÖRNEK A B C 5 D F E ABC üçgeni ile DEF üçgeni karşılıklı açıları eş olduğundan benzerdir. A ve D eş açıların gördüğü kenarlarda eşit olduğundan aynı zamanda eş üçgendir. ( l BC l = l EF l = 5 cm )

ÖRNEK Şekilde [ DE ] // [ AB ] I AC I = I CE I I DE I = 2m + 3 www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E Şekilde [ DE ] // [ AB ] I AC I = I CE I I DE I = 2m + 3 I AB I = m + 5 ise m kaçtır? 2m + 3 m + 5 b a c c a b ÇÖZÜM ABC  EDC   m + 5 = 2m + 3 2 = m

I AE I = 2 cm , I AB I = 4 cm ve I DC I = I BC I ise A( ADC ) = ? www.muratguner.net ÖRNEK [ DC ]  [ BC ] ,[ DE ]  [ AC ] [ AB ]  [ AC ], I AE I = 2 cm , I AB I = 4 cm ve I DC I = I BC I ise A( ADC ) = ? A B C D E 2 4 b x 6 a 4 b x a ÇÖZÜM BAC  CED    l CE l = 4 6.6 lACl = lDEl = 4+2 = 6 A( ADC )= = 18 2

ÖRNEK Şekilde [ BE ]  [ AD ] = { C } I AC I = I CE I www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde [ BE ]  [ AD ] = { C } I AC I = I CE I I BC I = I CD I ve I EDI =8 cm ise I AB I = ? A B C D E 8 8 a a ÇÖZÜM I ABI = 8 cm

ÖRNEK Şekilde I AB I = I AC I I CD I = I EBI I AE I = x + 2 www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E Şekilde I AB I = I AC I I CD I = I EBI I AE I = x + 2 I AD I = 2x –1 ise x kaçtır? Eş üçgenler a 2x -1 x+2 a ÇÖZÜM x + 2 = 2x –1 3 = x

m( DEC )= 65° ise ABC açısının ölçüsü kaç derecedir? www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E 65° Şekilde [ AD ] // [ BC ] I AE I = I BC I I AD I = I AC I m( DEC )= 65° ise ABC açısının ölçüsü kaç derecedir? a  a ÇÖZÜM A A D a 180°– 65° = 115° E 180°– 65° = 115° a B C

m( ABE ) = m( DBC )= 60° ise I EC I =? www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde I AB I = I BE I I BC I = I BD I I AD I = 12 cm m( ABE ) = m( DBC )= 60° ise I EC I =?  60° A B C D E c ÇÖZÜM D E 12 12 A 60°+ c 60° + c B B C

ABC  DEF 2- AÇI – AÇI BENZERLİK TEOREMİ www.muratguner.net 2- AÇI – AÇI BENZERLİK TEOREMİ Karşılıklı ikişer açıları eş üçgenler benzerdir. A B C b c a D E F e f d   m ( B ) =  m ( E ) ve m ( A ) = m ( D )   ABC  DEF   m ( C ) = m ( F ) İkişer açıları eş olduğundan üçüncü açıları da eş olur.Bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

…… …… Şekildeki üçgenlerin benzerliği nasıl yazılır? ÖRNEK ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK 70 50 60 A B C F E D Şekildeki üçgenlerin benzerliği nasıl yazılır? 60 70 ÇÖZÜM     BAC  DFE ( A.A.A ) FDE  ABC ( A.A.A ) 60 50 70 60 50 70 50 60 70 50 60 70     ABC  FDE ( A.A.A ) EDF  CBA ( A.A.A ) 50 60 70 50 60 70 70 60 50 70 60 50 …… ……

ABC  DEF ise  kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre www.muratguner.net 1999 ÖRNEK A B C D E F 40 30 ABC  DEF ise  kaç derecedir?  Şekilde verilenlere göre  ÇÖZÜM   m ( A ) = m ( D ) A B C D E F 40 30  ABC  DEF ise    m ( B ) = m ( E )   m ( C ) = m ( F ) 50 40  + 40 = 60 + 50 60 50  = 70

BAC dik üçgen [ ED ]  [ BC] www.muratguner.net ÖRNEK A B C D x 3 5 E 4 BAC dik üçgen [ ED ]  [ BC] l AE l = 3 cm , l EC l = 5 cm l DC l = 4 cm x = ? ÇÖZÜM   A BAC  EDC ( A.A.A ) 3 E 5  B x D 4 C  x = 6

Başarı tatlıdır ama çoğunlukla ter kokar www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E x 5 3 2 m ( BAC ) = m ( BDE ) ise x = ?  ÇÖZÜM 5 A B C D E x 3 2   BAC  EDC ( A.A.A )  Başarı tatlıdır ama çoğunlukla ter kokar

ABC  CDE   Şekilde verilenlere göre x = ? ÖRNEK     ÇÖZÜM   www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde verilenlere göre x = ? A B C D E 6 x 4 2     ÇÖZÜM   ABC  CDE ( A.A.A )   x = 12

  Şekilde CDEF bir kare old. göre x = ? AED  EBF ÖRNEK ÇÖZÜM   A www.muratguner.net B D C A F E 9 4 x Şekilde CDEF bir kare old. göre x = ? ÖRNEK θ β x θ x β x ÇÖZÜM    AED  EBF ( A.A.A ) 

   Şekilde verilenlere göre x = ? ABC  DBE ÖRNEK ÇÖZÜM   A E D B www.muratguner.net B D C A E x 4 3 2 Şekilde verilenlere göre x = ? ÖRNEK  θ β θ  ÇÖZÜM   ABC  DBE  ( A.A.A )  

  1998 Şekildeki l BE l = x = ? ABC  EBD x = 16 / 5 ÖRNEK ÇÖZÜM   www.muratguner.net 1998 ÖRNEK A 16 Şekildeki l BE l = x = ? D 15 4 B x E C ÇÖZÜM A    ABC  EBD 16 D 15  4    x = 16 / 5 B x E C 25 ( 3- 4- 5 )

  1993 Şekildeki l BC l = x = ? ÖRNEK ÇÖZÜM ABC  EBD A D B C E   www.muratguner.net 1993 ÖRNEK 24 10 B D C A E Şekildeki l BC l = x = ? x 8    ÇÖZÜM    ABC  EBD 

www.muratguner.net 2000 ÖRNEK A B O D C Şekildeki [ BO ] çaplı çember ,O merkezli ve [ BC ] çaplı çembere B noktasında içten teğettir.AB doğrusu her iki çembere B noktasında teğet AC doğrusu da içteki çembere D noktasında teğet olduğuna göre y y x r N r 2r ÇÖZÜM ABC  NDC   

l BC l = 15 cm , l AB l = 16 cm l CD l = 8 cm old.göre l BE l = x = ? www.muratguner.net 1993 ÖRNEK x A B C D E Şekilde ABCD bir dik yamuk , m( ABC ) = m(CDE )  l BC l = 15 cm , l AB l = 16 cm l CD l = 8 cm old.göre l BE l = x = ? 16 8 15  θ θ  ÇÖZÜM ABC DCE     

ÖĞRENCİ HATALARI

ABC  DEF 3- KENAR – AÇI – KENAR BENZERLİK TEOREMİ www.muratguner.net 3- KENAR – AÇI – KENAR BENZERLİK TEOREMİ İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise üçgenler benzerdir. A D c b f e B a C E d F   ABC  DEF   m ( A ) = m ( D )

CAB  EDB  Şekilde verilenlere göre x = ? eşitliği sağlandığından www.muratguner.net ÖRNEK A Şekilde verilenlere göre x = ? 2 E x 4 B 3 D 5 C ÇÖZÜM A E eşitliği sağlandığından 6 x   4 CAB  EDB ( K. A. K )  x = 7 B 8 C B 3 D

  m( ABC ) = m( BCD ) =  CBA  DCB [ AB ] // [ CD ] , l AB l = 2 cm www.muratguner.net ÖRNEK B D A C [ AB ] // [ CD ] , l AB l = 2 cm l AC l = 3 cm l BC l = 4 cm l CD l = 8 cm old. göre l BDl = x = ? 2 3 4 8 x  ÇÖZÜM m( ABC ) = m( BCD ) =   ( İç ters açılar ) B A C 2 3 4  C D 8 x B 4    CBA  DCB ( K. A. K ) 

www.muratguner.net 4- KENAR – KENAR – KENAR BENZER TEOREMİ İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir. A D c b f e B a C E d F ABC  DEF     m ( A ) = m ( D )   m ( B ) = m ( E ) Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.   m ( C ) = m ( F )

ABC  ADE 5- TEMEL BENZERLİK TEOREMİ www.muratguner.net 5- TEMEL BENZERLİK TEOREMİ Bir üçgenin kenarlarından birine çizilen paralel doğru , kestiği diğer kenarlar üzeride orantılı parçalar ayırır.   B D C A E ABC  ADE   VEYA   ( [ DE ] // [ BC ] )

  [ DE ] // [ BC ] olduğundan ÖRNEK www.muratguner.net ÖRNEK [ DE ] // [ BC ] ise l BC l = x = ? B D A E C 5 6 x 2 ÇÖZÜM [ DE ] // [ BC ] olduğundan   ( T.B.T )

  1991 [ DC ] // [ AB ] olduğundan www.muratguner.net 1991 ÖRNEK 4 3 8 x B D C K A Şekilde ABCD bir yamuk olduğuna göre x = ? ÇÖZÜM [ DC ] // [ AB ] olduğundan   ( T.B.T )

1995 ÖRNEK ÇÖZÜM A D 3 E 4 F 2 B 5 C K ( T.B.T ) ( T.B.T ) www.muratguner.net 1995 ÖRNEK B D C E A F 2 4 5 3 10k 7k 4k a 5 – a K ÇÖZÜM ( T.B.T ) ( T.B.T )

www.muratguner.net ÖRNEK B A C D E x [ DE ] // [ BC ] , [ BE ] açıortay olduğuna göre l BC l = x kaç cm dir? 3 2 2    ÇÖZÜM m( DEB ) = m( EBC ) =   [ DE ] // [ BC ] olduğundan ( İç ters açılar )  Buna göre l DE l = 2 cm ( T.B.T ) ( İkizkenar Üçgen )

www.muratguner.net 1992 ÖRNEK B D C F A E x 2 6 3 Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralel kenardır. Buna göre l EC l = x = ? 6 2 ÇÖZÜM     ABC  FBD x = 4

www.muratguner.net 1997 ÖRNEK B D C F A E 20 12 4 Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralelkenarının çevresi kaç cm dir? 3 y x y x ÇÖZÜM 2( x + y ) = 2( 4 +16 ) = 40 15y = 48 + 12y x = 4 3y = 48 y = 16

www.muratguner.net 1996 ÖRNEK A Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup BFED bir eşkenar dörtgendir. Buna göre l EC l = x = ? 15 16 F y E y x y B y D 25 – y C 25 ÇÖZÜM   

A noktasının koordinatları toplamı kaçtır? www.muratguner.net 2005 ÖRNEK 45 – 2 1 – 3 O A ( x , y ) y x A noktasının koordinatları toplamı kaçtır? y = x – 3 3 x – 3 x ÇÖZÜM   +

www.muratguner.net ÖRNEK Soru Sayısı 1.Öğrenci 2.Öğrenci Yanda grafikte iki öğrencinin zamana göre çözdükleri soru sayıları verilmiştir.Şekle göre kaçıncı saatte çözdükleri soru sayıları eşitlenir? 135 b a 60 Zaman ( Saat ) O 2 5 t ÇÖZÜM      

Şekildeki ; l AL l = l LH l = l HK l = l KB l www.muratguner.net B D C A E L H K F Şekildeki ; l AL l = l LH l = l HK l = l KB l [ LD ] // [ HF ] // [ KE ] // [ BC ] l KE l = 2 cm ise l BC l = x = ? 2 x 2002 ÖRNEK a a a a ÇÖZÜM   BKE  BLD       ALD  ABC 

 [ DA ] // [ EK ] olduğundan [ KL ] // [ BC ] olduğundan www.muratguner.net B D A K C E L [ DA ] // [ EK ] , [ KL ] // [ BC ] l DE l = 2 cm , l EB l= 3 cm , l KL l = 4 cm old. göre l BC l = ? 3 2 4 ÖRNEK 2a 3a ÇÖZÜM [ DA ] // [ EK ] olduğundan [ KL ] // [ BC ] olduğundan ( T.B.T ) 

   [ DF ] // [ BE ]  [ DE ] // [ BC ]  www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E F 4 x [ DF ] // [ BE ] , [ DE ] // [ BC ] l AF l = 4 cm , l AD l= 2l BD l old. göre l EC l = ? 2y 2 y ÇÖZÜM [ DF ] // [ BE ]   ( T.B.T ) [ DE ] // [ BC ]    ( T.B.T )

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. www.muratguner.net 6- TALES TEOREMİ d1 d2 d3 C B A D E F Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için VE

www.muratguner.net ÖRNEK d1 d2 d3 C B A D E F 2 3 x d1 // d2 // d 3 , l DF l = 10 cm l AB l = 2 cm l BCl = 3 cm olduğuna göre x = ? ÇÖZÜM    

www.muratguner.net ÖRNEK d1 d2 d3 C B A D E F 3 x d1 // d2 // d 3 , l AD l = 3 cm l DE l = 6 cm l l BE l = 5 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ? 5 8 6 ÇÖZÜM C B A D E F 3 x 6  3 2  3 5

www.muratguner.net ÖRNEK 2 5 8 x 4 C B A D E F [ AD ] // [ BE ] // [ CF ] l AD l = 5 cm l BE l = 8 cm l l AB l = 2 cm l BC l = 4 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ? ÇÖZÜM 2 5 4 C B A D E F  3 5  x – 5 5

www.muratguner.net 7- BENZERLİK ÖZELLİKLERİ A B C b c a D E F e f d ha hd    ABC  DEF  Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlikler oranına eşittir.

www.muratguner.net 1999 ÖRNEK B D C A E F G H DEFG karesinin köşeleri ,şekildeki ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. l AH l = 8 cm ve l BC l = 12 cm olduğuna göre l DE l = x = ? 8 – x   x x ÇÖZÜM ABC  ADG  ( Yükseklikler oranı benzerlik sabitine eşittir. )   96 – 12x = 8x  96 = 20x  x = 4,8

l AK l = 5 cm l LE l = 3 cm l BD l = 16cm olduğuna göre l BC l = ? www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E m( ABC ) = m(CDE )  l AK l = 5 cm l LE l = 3 cm l BD l = 16cm olduğuna göre l BC l = ? K L θ   θ ÇÖZÜM ABC  EDC     +

www.muratguner.net A B C b c a D E F e f d Va Vd ll    ABC  DEF  Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarortayların oranı benzerlikler oranına eşittir.

www.muratguner.net A B C b c a D E F e f d nA nD    ABC  DEF  Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait açıortayların oranı benzerlikler oranına eşittir.

www.muratguner.net A B C b c a D E F e f d    ABC  DEF  Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlikler oranına eşittir.

www.muratguner.net A B C b c a D E F e f d    ABC  DEF  Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

   m ( ACB ) = m ( BDE ) l AC l = 6 cm l DE l = 3 cm ABC  EBD www.muratguner.net C B A D E 6 3 m ( ACB ) = m ( BDE ) l AC l = 6 cm l DE l = 3 cm  ÖRNEK θ   θ  ÇÖZÜM    ABC  EBD 

   [ DE ] // [ BC ] l AD l = 2 cm l DB l = 3 cm old. göre ADE  ABC www.muratguner.net ÖRNEK B C D A E 2 3 [ DE ] // [ BC ] l AD l = 2 cm l DB l = 3 cm old. göre 4S 21S ÇÖZÜM    ADE  ABC  

www.muratguner.net 2000 ÖRNEK B D C A 4 ABCD bir dikdörtgen , l AD l = 3 cm l DC l = 4 cm , l CF l = 2 cm l AE l > l EB l olduğuna göre 3 2 F E β θ 1 θ β 4 – x x ÇÖZÜM    BFE  AED    ?!

   [ DE ] // [ BC ] l AD l = 4 cm , l DB l = 3 cm A( DECB ) = 33cm2 www.muratguner.net ÖRNEK B A C [ DE ] // [ BC ] l AD l = 4 cm , l DB l = 3 cm A( DECB ) = 33cm2 olduğuna göre A ( ADE ) = ? D E 4 16cm2 3 33cm2 ÇÖZÜM     ADE  ABC  A( DECB ) = 49S – 16S = 33S = 33 S= 1 cm2 A ( ADE ) = 16 cm2

    1995 [ EF ] // [ BC ] A( EBCF ) = A( AEF ) olduğuna göre www.muratguner.net 1995 ÖRNEK B A C [ EF ] // [ BC ] A( EBCF ) = A( AEF ) olduğuna göre E F S S ÇÖZÜM     AEF  ABC  

www.muratguner.net 1996 ÖRNEK ABCD bir yamuk [ EF ] orta tabandır. Şekildeki AEK üçgeninin alanı 4 cm2, CKF üçgeninin alanı 8 cm2 olduğuna göre , ABCD yamuğunun alanı kaç cm2dir? B A C D F E K 8 4 ÇÖZÜM     AEKADC       CFKCBA A( ABCD ) = 32 + 16 = 48 cm2

www.muratguner.net  Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları bir birime iki birim oranında böler. A 2c 2b 2a K L G c a b B C [ DE ] // [ BC ]

 ABC bir üçgen G ağırlık merkezi [ KL ] // [ BC ] old. göre www.muratguner.net ÖRNEK ABC bir üçgen G ağırlık merkezi [ KL ] // [ BC ] old. göre AKL üçgeninin çevresi kaç cm dir? B K A L C G 12 5 6 10 12 ÇÖZÜM Ağırlık merkezinden kenara paralel çizildiğinden l AK l = 2.5 = 10 cm Ç ( AKL) = 10 + 12 + 8 = 30 cm  l AL l = 2.6 = 12 cm  ( T.B.T )

 BENZERLİĞİ  ABC  EDC A B C D E [ AB ] // [ DE ]   www.muratguner.net  A B C BENZERLİĞİ D E [ AB ] // [ DE ]    ABC  EDC

  [ DE ] // [ AB ] l AC l = 4 cm l BD l = 5 cm www.muratguner.net ÖRNEK A B C D E [ DE ] // [ AB ] l AC l = 4 cm l BD l = 5 cm l CE l = 3 cm olduğuna göre l BC l =? 4 5 – x x 3 ÇÖZÜM  

l AD l = 4 cm olduğuna göre l DB l = x = ? www.muratguner.net ÖRNEK C B A D E F 4 x [ DE ] // [ BC ] 3l DF l = l FC l l AD l = 4 cm olduğuna göre l DB l = x = ? b a 3a 3b ÇÖZÜM l DF l = a  l FC l = 3a ( T. B.T ) ( KELEBEK BENZERLİĞİ )

A , F , C noktaları ve E , F , D noktaları doğrudaştır.Buna göre www.muratguner.net 2001 ÖRNEK B D C A E F Şekilde l AB l = l AC l A , F , C noktaları ve E , F , D noktaları doğrudaştır.Buna göre 2y 2x 3x 5y K 2y 3y ÇÖZÜM   AEF  CDF  ( Kelebek Benzerliği ) l AE l = l KD l = 2y ( Dikdörtgen ) l BK l = l KC l = 5y ( İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. )

  2004 ABCD ve HAFE birer kare l HA l = 4 cm l AB l = 12 cm www.muratguner.net ÖRNEK 2004 H A B F D C E ABCD ve HAFE birer kare l HA l = 4 cm l AB l = 12 cm olduğuna göre taralı alanların toplamı kaç cm2 dir? 4 12 K 12 6 2 4 ÇÖZÜM     FEK  CDK ( Kelebek Benzerliği )   + Toplam alan: 40 cm2

   2004 ABCD bir paralelkenar l DE l = 2 cm , l EC l = 1 cm dir. www.muratguner.net 2004 ÖRNEK ABCD bir paralelkenar l DE l = 2 cm , l EC l = 1 cm dir. Taralı bölgenin alanı a cm2 olduğuna göre ABCD paralelkenarının alanı kaç cm2 dir ? B D C F A E 2 1 2k a 3a 2 3k 3 ÇÖZÜM     DEF  BAF ( Kelebek Benzerliği )  

   2004 [ AB ] // [ GD ] 2l AE l = 6l EF l = 3l FC l www.muratguner.net 2004 ÖRNEK C A E F B D G [ AB ] // [ GD ] 2l AE l = 6l EF l = 3l FC l olduğuna göre , 3x 3y y x y 2x ÇÖZÜM    ACB  FCG ( T.B.T )     DEF BEA ( Kelebek Benzerliği )

  2003 ABCD bir dikdörtgen l DE l = l EC l , l BC l = 9 cm www.muratguner.net 2003 ÖRNEK B D C F A E 10 9 ABCD bir dikdörtgen l DE l = l EC l , l BC l = 9 cm l BF l = 10 cm olduğuna göre l AB l kaç cm dir? a a 5 x = 2a ÇÖZÜM     DEF BAF ( Kelebek Benzerliği ) l AB l = l DC l = 12 ( 3k- 4k- 5k )

www.muratguner.net 2002 ÖRNEK ABCD bir kare l AE l = l EF l = l FB l , l BG l = l CG l A , H , G doğrusal D , H , F , doğrusal olduğuna göre D A B C F E G H ÇÖZÜM   D 3x C 3x K  DKH FAH y ( Kelebek Benzerliği ) G  H y A x E x F x B

    2000 [ DC ] // [ EF ] // [ AB ] l DC l = 6 cm www.muratguner.net 2000 ÖRNEK D A B C E F x [ DC ] // [ EF ] // [ AB ] l DC l = 6 cm l AB l = 4 cm olduğuna göre x = ? 4 6 3y 2y ÇÖZÜM     ABE  CDE ( Kelebek Benzerliği )     BCD  BFE ( T.B.T )

  1996 [ AB ] // [ TE ] l EF l = l FT l , l BD l = 24 cm www.muratguner.net ÖRNEK 1996 [ AB ] // [ TE ] l EF l = l FT l , l BD l = 24 cm l FC l = 10 cm olduğuna göre l DF l = x =? D A B C E F T x 10 24 θ a θ    a ÇÖZÜM    ACB  TCF ( T.B.T )    DAB DEF ( Kelebek Benzerliği )

www.muratguner.net  Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1 , 3 , 5 , 7 , ….. gibi orantılı olarak artar. Paralel kenarlar da 1,2,3,4,5,….gibi orantılı artar.  S a  3S 2a  5S 3a

 [ DE ] // [ KL ] // [ BC ] l AD l = 2l DK l = 2l KB l www.muratguner.net ÖRNEK B D C L A E K [ DE ] // [ KL ] // [ BC ] l AD l = 2l DK l = 2l KB l A( DELK ) = 20 cm2 olduğuna göre A(ABC ) kaç cm2 dir? ÇÖZÜM B D C L A E K l DK l = x  l AD l = 2x x S M N x [ MN ] // [ DE ] // [ KL ] 3S x 5S  A( DELK ) = 5S = 20 S = 4 x 7S A( ABC ) = 16S = 64 cm2

 y z x n m [ AB ] // [ EF ] // [ DC ] ise benzerlik özelliklerinden C www.muratguner.net  [ AB ] // [ EF ] // [ DC ] ise benzerlik özelliklerinden C B A D E F y z x m n

FORMÜL KULLANMADAN SİZ YAPINIZ. www.muratguner.net ÖRNEK D A B C E F x 12 6 [ AB ] // [ EF ] // [ DC ] l DC l = 6 cm , l AB l = 12 cm l AB l = 4 cm olduğuna göre x = ? ÇÖZÜM 1.yol    2.yol FORMÜL KULLANMADAN SİZ YAPINIZ.

   1995 + 6 ( 7 – a ) = 8a a = 3 x2 = 82 + 42 x = y2 = 62 + 32 y = www.muratguner.net 1995 ÖRNEK A K L B 8 km 6 km 7 km Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadırlar.A şehrinden y yolu üzerinde bir N noktasına uğrayarak B şehrine giden en kısa l AN l + l BN l yolu kaç km dir? y ÇÖZÜM 1.YOL  6 ( 7 – a ) = 8a a = 3 A  x2 = 82 + 42 x = B x P  8 y2 = 62 + 32 y = 6 y + y K 7 – a N a L x + y = 4 3

www.muratguner.net 1995 1999 ÖRNEK ÖRNEK A K L B 8 km 6 km 7 km Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadırlar.A şehrinden y yolu üzerinde bir N noktasına uğrayarak B şehrine giden en kısa l AN l + l BN l yolu kaç km dir? y ÇÖZÜM A l AB' l2 = ( 8 + 6 )2 + 72 B x 8 l AB' l2 = 142 + 72 y 6 l AB' l2 = 72( 22 + 1 ) y K N L 6 6 l AB' l2 = 72 . 5 y C 7 B'

 Şekilde ABC bir dik üçgen AFDE bir dikdörtgen olmak üzere ; B D C F www.muratguner.net  Şekilde ABC bir dik üçgen AFDE bir dikdörtgen olmak üzere ; B D C F A E c b x y