YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 2b) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü

Secant Metodu Newton-Raphson yaklaşım metoduna benzer. Analitik olarak türevin hesaplanmasına ihtiyaç duymadığı için farklıdır, bu büyük bir avantaj sağlar. F(xi) = [F(xi) - F(xi-1)]/(xi – xi-1) Dezavantajı, bu ilk iki tahminin birinin yerine gerekmesidir.

Newton-Raphson ve Secant Metodunun Grafiksel Enterpolasyonu

Örnek: Secant Metodu Yüksekliği h, boru çapı D ve kuleye bağlı düşey aşağıya doğru akan ve sonrasında yatay olarak arzu edilen dağıtım noktasına ulaştırılan L uzunluğundaki boru içerisinden su geçmektedir. Bu sistemde akış debisi olan Q için aşağıdaki denklem verilmektedir. Secant yöntemini kullanarak köklerini bulunuz.

Matlab Programı

Secant Metodu İçin Sonuçlar

Köklerin Çeşitliliği ve Newton-Tabanlı Metotlar Bazı durumlarda, bir kök birden fazla kez kök rolünü yerine getirebilmektedir. Örneğin denklemde F(x) = x3 - x2 - x + 1= (x + 1)(x - 1)2 = 0   üç kök vardır, öyleki x = -1, ve x = 1 ile ikisinin katı l’Hospital kuralı kullanılarak, Newton-Raphson metodu değişebilmektedir. xi+1 = xi - F(xi)/F(xi) Veya, ikinci türevi de sıfır ise l'Hospital‘ kuralı aşağıdaki denklemi elde etmek için bir kez daha uygulanabilir. xi+1 = xi - F(xi)/F(xi)

Köklerin ve Newton-Tabanlı Metotların Çeşitliliği

Örnek E2.4.1 Problem: Newton-Raphson metodunu polinom denklemine uygulayınız. F(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x - 1)3 = 0 Çözüm: İlk önce verilen fonksiyonda bir değişiklik olmadan Newton-Raphson metodunu uygularız. Metotta gösterilen x0 = 0, 0.5, 0.9, ve 1.5 başlangıç değerlerinin hiçbiri için bir noktada birleşmez. Bu olaydaki iterasyonlar da 0.2504306 ve 0.4258722 arasında salınım yapmaktadır. Fakat eğer aşağıdaki yer değiştirmeyi yaparsak U(x) = F(x) ve U(x) = F(x) ve aynı metodu uygularsak xi+1 = xi - U(xi)/U(xi)   Metot , 24 iterasyonda kök olan x=.9999999 'e 1.0E-07'ye bağlı bir hata ile yakınsar ve x=0.0 değeri ile başlar.

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümleri Önceki metotların N değişken ile N denklemli sisteme genişletilmesi Tartışmamız doğrusal olmayan denklemlerin aşağıdaki sistemler ile çözümüyle sınırlı kalacaktır: F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 Örneğn, x2 + y2 - 2 = 0 -exp(-x) + y2 - 1 = 0

Jacobi İterasyon Metodu Jacobi metodu, denklem sistemlerinin bir sabit nokta iterasyon metoduna genişlemesidir. Denklemlerin F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 x = f(x,y) y = g(x,y) dönüştürülmesi gerekmektedir . Gerçek iterasyon bir denklem ile bir değişkenin durumuna benzer xi+1 = f(xi,yi) yi+1 = g(xi,yi)

Jacobi İterasyon Metodu Yakınsama kriteri- (xr, yr) kökünün komşuluğu

Örnek E2.5.1a Problem: Jacobi İterasyon Metodunu kullanarak aşağıdaki denklem sistemlerini çözünüz. x - 5 + exp(-xy) = 0   y - 1 + exp(-0.5x)cos(xy) = 0 Çözüm: İlk olarak formdaki denklemleri yeniden yazınız x = f(x, y), y = g(x,y) x = 5 - exp(-xy) y = 1 - exp(-0.5x)cos(xy) İlk tahmin olan x0 = 0, y0 = 0 ile başlarız ve 1.e-07'ye bağlı bir hata ile Jacobi metodunu uygularız. Sonuçlar, Jacobi iterasyon yaklaşımının 20 iterasyonda kök x=4.9926, y=0.98372 e yakınsadığını gösterenTablo 2.5.1 de gösterilmektedir. Not: x ve y'deki mutlak hata, durdurma kriteri olarak kullanılır. ERROR = (errorx2 + errory2)1/2 < errbound.

Jacobi Metodu için MATLAB Programı %Jacobi Iteration Method x0=0.0; y0=0.0 E=1.0E-4; % %---writing out headers to the file 'jacobimethod.dat' fid=fopen('jacobi.dat','w'); fprintf(fid,'Roots of Equations x-5+exp(-xy)=0 \n\n') fprintf(fid,'Roots of Equations y-1+exp(-0.5x)cos(xy)=0 \n\n') fprintf(fid,'Using Jacobi Method \n') fprintf(fid,'iter x y ErrorX ErrorY \n'); fprintf(fid,'------------------------------------------\n'); %---entering the loop to determine the root

Jacobi Metodu için MATLAB Programı(devam) for i=1:100 x1=5-exp(-x0*y0); y1=1-exp(-0.5*x0)*cos(x0*y0); errorx=abs(x1-x0); errory=abs(y1-y0); %---writing out results to the file 'jacobi method.dat' % fprintf(fid,'%4.1f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n',i,x1,y1,errorx,errory); if abs(x1-x0)<E&abs(y1-y0)<E break; end x0=x1; y0=y1; fclose(fid) disp('Roots approximation=') x1,y1

Jacobi Metodu İçin Çözüm

Gauss-Seidel İterasyon Metodu Jacobi iterasyon metoduna benzer. Hesaplamalar için güncelleştirilmiş x ve y değerlerini (yani yaklaşık kökleri) kullanması açısından farklılaşır

Newton Metodu (I) İki doğrusal olmayan denklem içersin; F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 Taylor serisi genişlemesi bir fonksiyon olan F(x, y) için burada ( )x ve ( )xx, x yoluyla birinci ve ikinci kısmi türevleri göstermektedir, ve ( )y , ( )yy ve ( )xy için de benzer şekildedir.

Newton Metodu (II) Sağdaki alandaki ilk üç terimi içermektedir Alanları doldurduktan sonra x ve y için bu denklemler çözülür Burada J Jacobian’dır ve şu şekilde tanımlanır J = (FxGy - GxFy)

Newton Metodu (III) Sadece iki terimi tutarız ve böylece denklemleri basitleştiririz,

Underrelaxation ve Overrelaxation Tekniği Köklerin yeni tahmininde 'güven' ifade edilir. Underrelaxation 0 < < 1 Overrelaxation - 1 < < 2 Newton metodu şöyle uygulanabilir;

Durum Çalışması: C2.2: İki Çemberin Kesişimi Çeşitli mühendislik uygulamalarında, Lazer Doppler Anamometresi (LDA) kullanılarak sıvı hız ölçümleri yapılır. Bu, birbirini kesen yarıçapları verilen iki çemberin merkezi konum koordinatlarını belirlemek için gereklidir. Bu durumda genelliği kaybetmeden, biri çemberin merkezindeki koordinat sisteminin orjinine koyulabilir, bunun sonucunda denklemler; (xc,yc) ikinci çemberin merkezinin koordinatlarıdır. Örneğin xc =1, yc =1, r1=1, r2=1, bu iki çemberin kesişim noktalarını bulabilirsiniz.

Durum Çalışması: C2.2: İki Çemberin Kesişimi(Devam) Çözüm: İki denklem için türetilmiş Newton-Raphson iterasyon metodu, yukarıda verilen denklemin köklerini kolaylıkla bulmada kullanılabilir. Kısmi türevler Fx = 2x ; Fy = 2y ; Gx = 2(x-1) ; Gy = 2(y-1) Ve Jacobian şu şekilde verilir:   J = (FxGy - GxFy) ( )x x'e göre kısmi türevi ifade eder ve y için de aynıdır. Yukarıdaki denklemlerin tam kökleri denklemin (1,0) ve (0,1) kontrolü ile bulunabilir. İlk kök için bir başlangıç tahmini x=0.5 , y=0.1dir ve ikinci kök için x=0.1, y=0.5'dir. Kökler şu şekilde bulunmuştur: (i) xr = 1.000013, yr =-1.310190e-05; (ii) xr = -1.310190e-05, yr = 1.000013

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi bir nesnenin sönümlü salınımı Newton'un ikinci yasası tarafından yönetilir. Şekil C.2.3a sönümlü kütle-yay sistemi (kütle) (ivme) = (cisme etki eden net kuvvet) Bu problem için denklem şu şekilde yazılabilir;  m a = - cv - kx m kütle (kg olarak), a bir hızlanma, c yay sabiti sönüm katsayısı (kg/s), k (kg/s) yaylanma katsayısı ve x bir denge konumundan yer değiştirme mesafesidir. Yukarıdaki denklem şu şekilde de yazılabilir: x = x0 ; v = 0. at t =0.

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Bu sorunun analitik çözümü bunun bir salınım hareketi olduğu gerçeğini bilerek bulunabilir ve bu viskoz bir sıvı ile sönümlüdür, böylece yer değiştirme uzun bir süre için sıfıra gitmelidir, örneğin t nin sonsuza gitmesi gibi. Formun bir çözümü x =x0 exp(-bt) [ ACos(t) + BSin(t) ] Başlangıç koşulları ile yetinmek yerine şunu elde etmeliyiz A = 1 ; B = b/   Önerilen çözüm, Cos(t) ve Sin(t) ‘in sıfıra doğru katsayılarının eşitlenmesi diferansiyel denklem için önerilen yedekleme çözümüdür (diferansiyel eşitleme bir süre için sıfır olmalıdır) iki bilinmeyen için aşağıdaki ilişki verilir; b = c/(2m) ;  = [ (k/m) - (c2/4m2)]1/2 Anlamlı bir çözüm için şu olmalıdır c2 < 4mk c= 100 kg/s, k = 10,000 kg/s2, ve m=50 kg verilmiştir. Nesnenin salınımının %10'dan az olması durumunda bu ilk yer değiştirme olur ve sonra zamanı belirleyin. Nesnenin denge noktasını geçmesi durumunda ilki zamanı belirleyin. x=0. c ve k'nın yukarıdaki değerlerini göz önüne alarak nesne ilk defa t=0.20 saniyede iken sıfır pinti geçen m yi belirleyin

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Çözüm (i): Önce b ve  parametrelerini hesaplarız : b =1. sec-1 ;  =14.11 sec-1   Problem (i) yi çözmek için herhangi bir sayısal metot kullanmak gerekli değildir. Ancak bunun genel davranışını elde etmek için zamanın bir fonksiyonu olarak bu fonksiyonu çizeriz. Şekil C2.3b nesnelerin genlik bozulması ile periyodik bir şekilde salınımını gösterir. Alan bilgileri şu şekildedir: Sin(t) = 0. veya Cos(t) = 1 Fonkisyonun yerel bir maksimum ve minimumu vardır. Böylece; 0.1 = exp(-bt) [1.0 +0.0] ilk kısım için cevap, t = 2.3 saniye olarak bulunur.

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Çözüm (ii): Bölüm (ii) şu çözümü gerektirir; 0 = exp(-bt) [ Cos(t) + c/(2m)Sin(t) ] exp(-bt) hiçbir zaman sıfır olmadığında, şu denklem ile iki bölüme ayırırız;   F(t) =Cos(t) + c/(2m)Sin(t) ] = 0. Parametrelerin verilen değerleri ile ve alt ve üst değerleri olan tlower = 0., tupper=0.2 ile Bisection metodu kullanılır, Bölüm (ii)’nin cevabını aşağıdaki şekilde buluruz;  t = 0.11636 seconds Bu problem ayrıca Newton-Raphson metodu ile de çözülebilir.

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı)

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Bölüm (iii) Çözümü: Bu durumda bağımlı değişken zaman değil, kütle olan m'dir. Bu nedenle şekillerde görüldüğü gibi bağımsız değişken m fonksiyonunu çizeriz. İlk şekil 0.5 kg aralığındaki fonksiyonu tarama ile oluşturulur. Daha önce belirtildiği gibi bazı analitik analizleri kullanmadan ve bazı mühendislik yargılarını kullanmadan bu denklemin yaklaşık köklerinin ne olacağını tahmin etmek zordur. Bu problem sabit bir süre için iyi bir örnektir, bu durumda, sadece bir kütle, m olduğunda t=0.2 s olduğu görülmektedir. Grafiklerden bunun durum olmadığı görülmektedir. Grafik dikatlice incelendiğinde şu aralıkta kökleriin olduğu görülmektedir: (0.5, 1.0) ; (1.5, 2.0) ; (2.5, 3.0) ; (5.5, 6.0) ; (16.5, 17.0) ; (153.5, 154)   Bununla birlikte ilk şekilden bütün bu noktaları bulmak zordur. Bunun için, grafiğin bu kısmı ikinci şekilde genişletilir ve yeniden çizilir . Bu fonksiyon için m<0.5 doğrultusunda tablodaki değerler irdelenir. Bu yüzden , bölüm (iii)ün uygun bir açıklaması için çözüm aralığını belirtmek gerekir. Örneğin şu şekilde olabilir; “Nesne, denge noktası olan (x=0) dan t=0.2 saniyede geçer gibi (10,20) aralığında m'nin muhtemel değerlerini belirleyin..” Bu problemi çözmek için aşağı ve yukarı 10 ve 20 sınırı ile Bisection metodunu uygularız. Bu aralıktaki kökler; 1.E-04’e bağlı bir hata ile m = 16.861 kg

Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı)

Bölüm 2b Sonu

Referanslar Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001