Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 3.HAFTA İÇERİĞİ -Newton-Raphson Yöntemi -İkiye Bölme Yöntemi -Örnekler

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Newton Raphson Yöntemi DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Eğer kökün ilk tahmini xo ise, [xo, f(xo)] noktasındaki teğet uzatılabilir. Uzatılan teğetin x eksenini kestiği nokta genellikle kökün daha iyi bir tahminini verir. x y a b y=f(x) y= f(x) fks.nun xo değeri yo= f(x)’dır. Po noktasından çizilen teğetin eğimi tg(α) ’dır. y x y=f(x) xo x1 kök Eğim= f |(x) yo yo- 0 xo- x1 α Po Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER y x y=f(x) xo x1 kök Eğim= f |(x) yo yo- 0 xo- x1 α Po Aynı zamanda xo noktasındaki eğim bu noktadaki fonksiyonun türevine eşit olacağından : x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Buradan x1 değeri ; a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. Bir sonraki adımdaki değer: En genel şekilde: a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü iterasyona son verme SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Newton-Raphson yönteminde iterasyona iki şekilde son verilir. Bulunan x değeri için f(x) fks.nun değerinin 0’a yaklaşımına bakarak, x değerinin bir önceki hesaplanan değerine εk kadar yaklaşmasına bakarak; İterasyona son verilir. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur ÖRNEK: f(x) = x4 – 2x – 5 fks.nun bir kökünü, xo=2 alarak Newton-Raphson yöntemiyle çözünüz. εk=0.00001 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi ol.dan iterasyona devam

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ol.dan işleme devam

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x3-x-1=0 dekleminin bir kökünü bulmaya çalışalım. Bu denklemin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. x=g(x) şeklinde yazılsın a) x=x3-1  g(x)= x3-1 ve gı(x)=3x2 olur. | gı(xo) | > 1 b) f(x)=x(x2-1)-1 =0’ dan  c) x3=x+1 ’ den ol.dan yaklaşım vardır C şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. Xk+1 = g(xk) demiştik X1=g(xo) olacak g(x)= (x+1)1/3  x1= 1.3200061 (bulunan bu değer g fks.nda yerine konuldu) x2= g(x1)  x2= 1.3238223 x3= 1.3245478 x4= 1.3246856 x5= 1.3247118 x6= 1.3247168 x7= 1.3247177 x8= 1.3247179 x9= 1.3247179 9 iterasyon sonunda 0.00000001 hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | xn – xn-1 | < ε şartına bakılır (daha önce εk olarak gösterilmişti). Ε problemi çözen tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa εk ona göre seçilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ol.dan işleme devam

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek 2x4-3x-2=0 fks.nun köklerini bulunuz y x 0.5 1 1.5 -0.5 1.0 -2.0 x1 x2 Xo=1.3 ve x= -0,5 civarında bir kökün olduğu görülmektedir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Öncelikle xo= 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1) Eğer iterasyona son verme koşulu x değeri için f(x) fonksiyon değerinin sıfıra yaklaşması olsaydı iterasyona devam edilirdi. 2) 3) ol.dan iterasyona son verilir. Kök x4=1.702706 x1= 1.3 x2= 1.3105558 x3= 1.3123108 x4= 1.3126019 x5= 1.3126502 x6= 1.3126582 x7= 1.3126595 x8= 1.3126597 8 iterasyon sonucunda 0.0000001 hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | xn- xn-1|< εk şartı aranabilir. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xo=-0.5 yakınlarındaki kök için 1) x1= -0.5 x2= -0.6250 x3= -0.5649 x4= -0.5988 x5= -0.5810 x6= -0.5967 x7= -0.5855 x8= -0.5883 x9= -0.5868 x10= -0.5876 x11= -0.5872 x12= -0.5874 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(x)’in değeri 0’a gittiği için iterasyona son verilir. Kök x5=1.702706

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x)= x2-Sinx-2 dekleminin kökünü xo=2.25 için Newton-Rapshon yöntemiyle εk = 0.0001 hassasiyetle bulunuz. ÖDEV f(x) = x3-Sin4x Xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre gerçek kökü ε k =0.0000001 yaklaşımla bulunuz. (x radyan olarak dikkate alınacak) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü olduğu için işleme devam

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. k xk f(xk) fı(xk) xk+1 Et εt 2.25 2.284426 5.128173 1.804534 -0.445465 -0.246859 1 0.283535 3.840683 1.730709 -0.073824 -0.0426554 2 0.008115 3.620652 1.728466 -0.002241 -0.001296 3 0.000007 3.613395 -0.000000.. 0.000000.. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. | εt |< εk olduğu için iterasyona son verilir. Kök x4= 1.728466 y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi ÖDEV: f(x)= Sinx + 3cosx -3x fks.nun bir kökünü xo=0 için εk = 0.0001 hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. f(x)= x3 -5 fks.nun bir kökünü xo=1 alarak εk = 0.00001 hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. Sonucu basit iterasyon yöntemiyle bulunan sonuçla karşılaştırınız. x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İkiye Bölme Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Kökün bulunduğu bölgede fks.nun işaret değiştirdiği Teorem 1’ de belirtilmişti. Genel olarak xa ve xü aralığında fks sürekli ve f(xa) ile f(xü)’nün işaretleri ters ise yani f(xa).f(xü) < 0 ise bu aralıkta bir kök vardır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x y İkiye bölme yönteminde kökün bulunduğu aralık adım adım daraltılarak gerçek köke ulaşılmaya çalışılır. f(xü) c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y=f(x) y2 = (x+3)1/2 xa yakınsaktır x f(xa) kök xü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır xü y xa xo kök y=f(x) x f(x) = 0 ’ı sağlayan kökün içinde bulunduğu aralığın alt ve üst değeri biliniyorsa bu iki değerin orta noktası için değeri bulunabilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır İşlem adımları Kökün bulunduğu aralık için xa ve xü değerleri tahmin edilir ve f(xa).f(xü) < 0 şartı aranır. Üst ve alt değerlerle orta değer (xo) hesaplanır. f(xo) değeri hesaplanır Eğer f(xo) =0 ise kök xo’dır. Eğer f(xo) ≠ 0 ise işleme devam edilir 4) f(xa) hesaplanır Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER a) f(xa).f(xo) > 0 ise xa yerine xo yazılarak işleme devam edilir b) f(xa).f(xo) < 0 ise xü yerine xo yazılarak işleme devam edilir. xü y xa xo kök x f(xa) f(xü) ÖDEV 1) xe3x = 1 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. 2) f(x) = sinx + 3cosx -3x ‘ in kökünü ε= 0.0001 hassasiyetle bulunuz. 3) f(x) = x4 – x -10 = 0 kökünü bulunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü xü y xa xo kök x f(xa) f(xü)

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İşleme son verme f(xo)=0 olunca işleme son verilir Kök xo’dır. 1) Başla xo, ε 2) | εt |< εk ise işleme son verilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur ÖRNEK: xa’nın 0.5, xü’nün 1.5 olduğu tahmin edilen f(x) = x3 – 6x2 +13.5x- 9 fks.nun kökünü εk=0.001 hassasiyetle ikiye bölme yöntemiyle bulunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi y 0.5 1.5 kök x 1.0 2.0 Adım 1 : f(xa).f(xü) < 0 olduğundan işleme devam edilir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur Adım 2 : Adım 3 : f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi Adım 4 : Adım 5 : olduğu için xa=xo yazılır ve işleme devam edilir

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER II. iterasyon xa=1 ve xü= 1.5 alarak işleme devam ediyoruz Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir x = xo old. xü=xo alınarak işleme devam edilir y = f(x) E |x-y| ≤ εk olduğu için işleme devam edilir. Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER III. iterasyon xa=1 ve xü= 1.25 alarak işleme devam ediyoruz Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir x = xo old. xü=xo alınarak işleme devam edilir y = f(x) E |x-y| ≤ εk olduğu için işleme devam edilecek Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER IV. iterasyon xa=1 ve xü= 1.125 alarak işleme devam ediyoruz Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir x = xo olduğundan xa=xo alınarak işleme devam edilir y = f(x) E |x-y| ≤ εk olduğu için işleme devam edilecek Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER V. iterasyon xa=1,0625 ve xü= 1.125 alarak işleme devam ediyoruz Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir x = xo olduğu için xa=xo alınarak işleme devam edilir y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H olduğu için işleme devam edilecek y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER k Xa xü xo f(xo) f(xa) f(xo).f(xa) εt | εt | < εk 6 1.09375 1.125 1.109375 -0.042 -0.103 >0: xa=xo 0.01408 - 7 1.117187 -0.012 0.0069 8 1.121093 0.0027 <0: xü=xo 0.0034 9 1.119140 -0.0047 -0.00170 10 1,119140 1,121093 1.120117 -0,001 -0,004 0,00087 + Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk kök Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV: f(x) = x3 – 5sin2x fonksiyonunun kökünü xa=1.2, xü= 2 için εk=0.00001 hassasiyetle ikiye bölme yöntemiyle bulunuz. Başla İ Xa xü xo f(xo) f(xa) f(xo).f(xa) εt | εt | < εk xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması