Ders: Çekirdek Fiziği II Konu: Nükleer Modeller – 2 http://www Tutay Ders: 7 08.05.2006

KABUK MODELİ Atomdaki gibi kabuklara tekabül eder. (Z ve N=2,8,20,50,82 ve 126) sihirli sayılar burada da görülmektedir. Sihirli sayılar ana kabukların dolu etkisini temsil eder. Yani p ve n sayıları bu sayılara eşit olduğunda tabakalar dolu demektir. Bir nükleonun potansiyeli tüm nükleonların oluşturduğu potansiyelle belirlenir. Belirli yörüngelerin varlığı Pauli ilkesine bağlıdır. Kabuk potansiyeli: Nükleonlar birbirinden bağımsız hareket ediyorlar. Potansiyel diğer nükleonlar tarafından ortak üretiliyor. Harmonik osilatör (hafif çekirdeklerde) problemi ortaya çıkıyor. Çözümü Schrödinger denklemidir.

Atom: n,L 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p Çekirdek: n`,L 1s 1p 2s 1d 1f 2p 1g 2d 3s 1h 2f 3p nl 1 s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p n`l 2s 1p 3s 2p 4s 1d 3p =2(2l+1) 2 2 6 2 6 2 10 6  4 10 12 18 20 30 36 He Ne Ar Kr

Sonsuz kuyuda 1d ve 2d var. Atom fizikte ise 1d ve 2d yok. Her düzeyin alabileceği toplam nükleon sayısını göstermektedir. Nötron ve proton özdeş olmadıklarından ayrı ayrı sayılırlar. 1s düzeyi 2p ve 2n alabilir. 2, 8 ve 20 var. Ama daha ağır çekirdeklerde bu özellik bozulur.

Ağır çekirdekler için sonsuz kuyu potansiyeli geçerli değildir Ağır çekirdekler için sonsuz kuyu potansiyeli geçerli değildir. Bunun yerine, Fermi dağılımı ve Woods-Saxon-Potansiyeli kullanılır. Formüldeki; a:yüzey kalınlığını gösterir ve a=0,524 fm dir. R=1,25A1/3 V0 kuyu derinliği=50MeV

Schrödinger denklemi Osilatör potansiyeli için çözüm: Denklemin radyal çözümü EL,n değerlerini verir. EL,n : L ve n ye bağlı E0=3/2ħw 2p : n=2 ve L=1 demek m=(2L+1) öz fonksiyon Pauli :=2(2L +1) Spin=1/2

n=1, L=3 ve n=2, L=1 için  =3 olur. Osilatör Kuyu Potansiyeli Potansiyeli Burada şeklin orta kısmında n ve L ye bağlı  alabileceği nükleon sayısı yani =2(2L+1) vardır. Şeklin sol tarafında Osilatör potansiyeline göre, sağında ise Kuyu potansiyeline göre enerji seviyeleri vardır. Osilatör da n=1, L=3 ve n=2, L=1 için  =3 olur. =2(n-1)+L dir. Kuyu potansiyelinde bu durum değişiyor. Ortada ve sağda enerji, n ye ve L’ye bağlıdır.

Woods-Saxon potansiyeli 20 den yukarı olan sihirli sayıları vermez. Açısal momentum (L) ve spin (S) bağıntısı Woods-Saxon potansiyeli 20 den yukarı olan sihirli sayıları vermez. 1963 Nobel ödülü alan Meier ve Jenssen’in önerdiği spin açısal momentum (S,L) etkileşmesi sihirli sayıları açıklamıştır. Atomda da S, L bağıntısı vardır. E aralığı küçük ve elektromanyetik alan etkisi var. Çekirdekte bu özeliğin (S,L) bulunması çekirdek fizikçileri için sürpriz olmuştur. Burada E aralığı büyük ve L ile bağıntılıdır.

Örnek: Bir n + 4He çekirdeğinde sapması ile elde edilen 5He açısal momentum seviyeleri; n+4He 5He* ; n saçılması L=3/2 ve L=1/2 bk. şekil Deneylerde elde edilen L ve S bağıntısının enerji seviyesine etkisi, kabuk modelinin ispatıdır. 4He deki p ve n 1s (L=0) dolu olduğu için bir sonraki (L=1) enerji seviyesine gider. Yani s ve L bağlı olarak J=L+s dir.

L,S bağıntısından dolayı V(r) ekleme yapmak lazım: J=L+S burada L=1 ve S=1/2 J=1+1/2=3/2 ya da J=1-1/2=1/2 L,S bağıntısından dolayı V(r) ekleme yapmak lazım: Vi=V(r)+Vls(r) (L.s) (*) (L.S) hesaplanır. Bunun için L ve S nin karesi lazım: J=L+S J=L+1/2 için (L.S)=1/2L J=L-1/2 için (L.S)=-1/2(L+1)

Potansiyel enerji denklemi (*) göre: J=L+1/2 için V(r)+1/2VlsL Eğer Vls(r) , V(r) gibi eksi(-) ise J=L-1/2 değeri J=L+1/2 den daha yukarıda (J=L-1/2 > J=L+1/2) Burada sonuç: E~ L dir. nlj 1s1/2 1 p3/2 1p1/2 1d5/2 2s1/2 1d3/2 1 f7/2 =2j+1 2 4 2 6 2 4 8  6 8 14 16 20 28 4He (Z=2, N=2) 16O (Z=8, N=8) 40Ca (Z=20, N=20) 56Ni ( Z=28, N=28)

L,S bağıntısı şekil de p ve n için farklı değerler var. Protonlar için Coulomb kuvveti etki eder.( hcsor) Solda yine ayrılmamış seviyeler. Burada şekilde ise J değerleri yazılmış.(hcsor) 2p3/2 anlamı: n=2 L=1 J=L+S=1+1/2=3/2 Verilen J değeri için 2J+1 kadar tanecik bulunur.

Sihirli sayılarda E büyüktür. Nedeni: Açısal momentum 20 den sonra yeni açısal momentuma (f,g,h,i) gelince ve L bağlı olarak seviye aralığı (L+1/2) ve (L-1/2) için E büyür. Sol tarafta osilatör seviyelerine bakılırsa çift ve tek L değerleri için gruplaşma görülüyor. Çift (+) parite =+1 çift L Tek (-) parite =-1 tek L Vi=V(r)+Vls(r) (l.s) ortalama nükleer potansiyel Kabuk modeli sihirli sayılar.

Kabuk modelinin önceden söylenmesi: Buraya kadar nükleonlar arasındaki etkileşmeyi gözardı ettik ve ortak potansiyelden söz ettik. Nükleonlar Fermiyon tanecikleri olduğundan  anti simetriktir. Pauli prensibi geçerli o zaman. n,L,s,mJ temsil edilen her enerji seviyesi ancak bir tanecik alır (eğer çekirdeğin istikameti bilinmiyorsa). Bilinen J ile mJ bağlı olarak (2J+1) kez seviyelere ayrılır.

p ve n lerin kuvantum sayıları aynı olmasına rağmen farklı enerji seviyeleri var. Coulomb enerjisinden kaynaklanan VColmb(r) dan dolayı p enerjileri nötrona göre daha yukarıdadır. Çekirdekte kabuk modeline göre nükleonların yerleştirilmesi, elektronlarınkinden farklıdır. Atomdaki n burada n’ dür. Atomda seviyenin alabileceği maksimum elektron kapasitesi =2(2L+1) Çekirdekte ise =2J+1 (alt seviyeler) dir.

Şekilde iki kez sihirli sayılar görülüyor Şekilde iki kez sihirli sayılar görülüyor. Sihirli sayılar Z ve N nin keşiştikleri yerdir. Ama burada bu çekirdeklerin bazıları beklendiği gibi kararlı değildirler. Örnek: 56Ni (Z=28 ve N=28) kararlı değil. ( =6.1 d) Kararlı iki kez sihirli çekirdek 208Pb (Z=82, N=126) şekilde tekrar görülüyor.

Ağır iyonlar fiziğinde yapılan deneylerde 48Ni ve 78Ni iki kez sihirli çekirdek olduğu bulunmuştur. Nükleonların serbest tanecikler olduğunu Fermi-gaz modelinde görmüştük. Şimdi L ve S bağıntısına göre nükleonları yerleştirirsek: Örneğin N=80 ve Z=58 olan 138Ce çekirdeğinin potansiyeline bakalım: Burada Schrödinger denklemi yardımı ile enerji seviyeleri (potansiyeli) hesaplanmıştır.

Kabuk modeline göre N=80 için nötronların enerji seviyesi R ve a , Wood-Saxon Potansiyelinin parametreleridir.

Buraya kadar sihirli sayılardaki sıçramaları anladık. Eklenmesi gereken sonuçlar: J-seviyesi mJ tamamen doluysa L=0 olmalıdır. Bir seviye p ve n ile doluysa L=0 dır.Yani Küresel simetrik bir yapıdır. Eğer dolu seviyenin bir sonraki seviyesinde bir tane nükleon varsa S, temel seviyedir ve pariteyi bu nükleon belirler.

Örnek:15O (Z=8, N=7) L=(1/2)- (1p1/2 bir boşluk var) 17O (Z=8, N=9) L=(5/2) (1d5/2 bir boşluk var)

Eğer f7/2 tam dolu değilse durum karmaşıklaşır. L=0,2,4 geçişleri yasak geçişlerdir.(Pauli den dolayı) Bütün çift sayılı çekirdeklerde L=0 olur gg (çift-çift) çekirdeklerin S=0 dır. 5. gu (çift-tek) ve ug (tek-çift) çekirdeklerin J yörüngesinde ki tek sayılı nükleonlar için,toplam açısal momentum (I) I=J dir.Bazen I=J-1olur. 6. uu (çift-çift) çekirdekleri için triplet seviyesi; a) Tek sayılı nükleonlardan birisinin I si ve S si, paralel diğerinin antiparalel ise jp= Ip+1/2; Jn=In-1/2 (Strake-Nordheim kuralı) I=l jp-jnl

b) Eğer tek sayılı iki nükleonun L si ve S si antiparalel olursa I=Jp+Jn olur. Temel sonuç: Şimdiye kadar tanıdığımız modelleri, şiddetli deforme olmuş çekirdekler için kullanamayız. Bunun için deforme potansiyelini tanımak lazım.

DEFORME POTANSİYELİ Z yönünde deforme varsa (x ve y deki deforme simetrik) Yani z yönünde +m ve –m bağlı olarak enerji seviyelerinin oluşması varsa örneğin J=5/2 üç değere ayrılır. lml=5/2, 3/2, 1/2 ye ayrılır. Burada gerekli potansiyel fonksiyonu: Küresel simetrik potansiyel nasıl deforme olur? Osilatör potansiyelden deforme potansiyeline geçiş var.

Deforme potansiyelinde bir tanecik için enerji seviyeleri. Nilson şekli Sol taraf: mercek görünümü Sağ taraf puro görünümü deforme. Burada kuvantum sayıları: [N,nz,Lz] N:Osilator sayısı nz: düğüm sayısı Lz:z istikametindeki açısal momentum =(b-a)/Ro ve Ro=(a+b)/2

Elektronların sapması ile elde edilen yük dağılımı görülmektedir. 206Pb, 207Tı komşu element arasındaki fark. S-dalga fonksiyonu için. 3S1/2 seviyesi.

Kuvvetli olarak deforme olan çekirdekler. Yuvarlak içine alınan çekirdekler  1dk. Taranan bölgeler rotasyon görülen bölge.

Örnek: 4 nükleonun seviyelere göre yerleşme olasılığı.

a)Tek tanecik uyarılması 207Pb n=126 olan ve bir n uyarılması ile oluşan boşluk. b) Çalkalanma c) Rotasyon a) b) c)