GENELLEŞTİRİLMİŞ GEZGİN SATICI POBLEMİ İÇİN YENİ TAMSAYILI KARAR MODELLERİ İmdat KARA Emrah DEMİR Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü / ANKARA YA/EM 2006 Kocaeli Üniversitesi, 3-5 Temmuz 2006

SUNUŞ PLANI PROBLEMİN TANIMI (GGSP) GGSP’nin UYGULAMA YERLERİ GGSP’nin ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI CEVAP ARANAN SORULAR GGSP için AKIŞ TABANLI KARAR MODELLERİ SAYISAL ANALİZLER SONUÇ ve ÖNERİLER YA/EM 2006

PROBLEMİN TANIMI GGSP, Laporte ve Nobert (1983)’e göre: Henry-Lapordere (1969) Srivastava ve diğerleri (1969) Saksena (1970) tarafından tanımlanmış ve Dinamik Programlama ile çözüm önerilmiştir. YA/EM 2006

PROBLEMİN TANIMI YA/EM 2006

PROBLEMİN TANIMI Bir gezgin satıcı, k tane salkımlı n düğümlü bir serimde bir başlangıç noktasından başlayıp, her salkımdan bir düğüme sadece bir defa uğrayıp, başladığı yere dönmek durumunda uğrayacağı yerlerin sıralarını belirlerken, kat edeceği toplam mesafenin veya yapacağı harcamanın en küçük olmasını ister. Bu tür problemlere Genelleştirilmiş Gezgin Satıcı Problemi denir. YA/EM 2006

UYGULAMA YERLERİ GSM operatörlerinin baz istasyonlarının yerleşim yerlerinin belirlenmesi problemi GSP bir alt problem olarak birçok ulaşım ve lojistik uygulamalarında Malzeme akış sistem tasarımında Posta kutusuna dağıtım problemlerinde Araç Rotalama Problemlerinde Depolardaki vinç güzergahlarının programlamasında Stok alanındaki malzeme toplama problemlerinde Uçaklar için havaalanı rotalamasında Elektronik devre tasarımında ………… YA/EM 2006

GGSP çözüm yaklaşımları 1. Karar modeline dayalı özel algoritmalar Laporte ve Nobert (1983) Laporte, Mercure ve Nobert (1987) Noon ve Bean (1991) Fishetti, Gonzales ve Toth (1995, 1997, 2002) Kara, Derya, Demir ve Bektaş (2005) 2. GSP’ye dönüştürerek çözen yaklaşımlar Lien-Ma-Wah (1993) Dimitrijevic ve Saric(1997) Laporte ve Semet (1997) 3. Sezgisel Yöntemler Fishetti, Gonzales ve Toth (1997) Noon (1998) Renaud ve Boctor (1998) Snyder ve Daskin (2004) YA/EM 2006

ARAŞTIRMADA CEVAP ARANAN SORULAR 2005 yılında geliştirilen karar modeli, düğüm tabanlı bir modeldi. Bu problem için akış tabanlı modeller de geliştirilebilir mi? Düğüm ve Akış tabanlı modellerinin birbirlerine karşı olan üstünlükleri var mı? YA/EM 2006

TEK ÜRÜN AKIŞLI KARAR MODELİ Küme ve Parametreler G = (V, A) yönlü serimi V = {1, 2, ..., n} düğüm kümesi A = {(i, j): i, j  V, i ≠ j} V kümesi V1, V2, ... Vk şeklinde karşılıklı ayrık ve boş olmayan k tane alt kümeye ayrılmış olsun cij, (i, j)  A ayrıtının maliyeti YA/EM 2006

TEK ÜRÜN AKIŞLI KARAR MODELİ Karar Değişkenleri xij, (i, j)  A ayrıtı turdaysa 1, değilse 0 değerini alan tamsayılı karar değişkeni (i  Vq, j  Vp, q ≠ p, q, p = 1,...,k) yij,i. inci düğümden j. düğüme geçilmesi halinde, j ye gelene kadar turda oluşan ayrıt sayısı. YA/EM 2006

TEK ÜRÜN AKIŞLI KARAR MODELİ YA/EM 2006

TEK ÜRÜN AKIŞLI KARAR MODELİ kısıtları altında YA/EM 2006

y6-5=2 1 2 6 10 8 9 5 4 7 3 y2-6=1 y5-10=3 y10-2=4 YA/EM 2006

İKİ ÜRÜN AKIŞLI KARAR MODELİ sij, i. düğümden j. düğüme gidilmesi halinde, j’den sonra tura eklenecek ayrıt sayısı YA/EM 2006

İKİ ÜRÜN AKIŞLI KARAR MODELİ kısıtları altında YA/EM 2006

y6-5=2 s6_5=2 1 2 6 10 8 9 5 4 7 3 y2-6=1 s2_6=3 y5-10=3 s5_10=1 y10-2=4 s10_2=0 YA/EM 2006

SAYISAL ANALİZLER ASİMETRİK PROBLEMLER SİMETRİK PROBLEMLER RASSAL PROBLEMLER CPLEX 8.1 (Kullanılan Program) Bilgisayar Sistemi: 2 adet P.3 işlemci 1 GB RAM 4 Adet 76 GB’lık hardiskler YA/EM 2006

ASİMETRİK PROBLEMLER-CPU(sn) Literatür ASİMETRİK   Literatür Düğüm Tabanlı Model Tek Ürün Akışlı Model İki Ürün Akışlı Model SONUÇ SÜRE(sn) 1 4br17 31 0,01 0,15 2 7ftv33 476 0,54 10,62 9,38 3 8ftv35 525 0,76 15,08 10,29 4 8ftv38 511 2,52 37,23 32,85 5 9p43 5563 3000* 5564 6 9ftv44 510 18,71 398,78 854,07 7 10ftv47 569 21,43 451,9 1090,8 8 10ry48p 6284 1687,27 6324 6549 9 11ft53 2648 7,69 178,89 434,03 10 12ftv55 689 134,9 691 11 13ftv64 708 798 764 12 14ft70 7707 18 7745 13 15ftv70 594 37,13 656,19 1017 14 20kro124p 11203 12229 X 17429 15 35ftv170 1205 1314

ASİMETRİK PROBLEMLER-LR Literatür  Düğüm Tabanlı Model Tek ürün Akışlı Model İki Ürün Akışlı Model SONUÇ LR 1 4br17 31 26,5 2 7ftv33 476 391,5 366 3 8ftv35 525 456 430 4 8ftv38 511 390 356,2 5 9p43 5563 219 4351,7 6 9ftv44 510 298 302,2 7 10ftv47 569 416,5 382 8 10ry48p 6284 4089 3681,6 9 11ft53 2648 2393,3 2288,2 10 12ftv55 689 543 487,9 11 13ftv64 708 578,3 538,3 12 14ft70 7707 7273,5 7267,7 13 15ftv70 594 492,6 14 20kro124p 11203 8512,1 8327,1 15 35ftv170 1205 1036,8 1003,1

SİMETRİK PROBLEMLER Düğüm Tabanlı Model Tek ürün Akışlı Model Literatür SİMETRİK   Düğüm Tabanlı Model Tek ürün Akışlı Model İki Ürün Akışlı Model SONUÇ SÜRE(sn) LR 3burma14 16 0,02 13,00 0,04 0,03 4gr17 1309 1067,00 0,38 935,50 0,31 5gr24 334 0,1 273,00 1,16 245,40 1,28 9swiss42 630 689,74 378,00 3000* 377,50 10att48 10770 6,63 6684,30 2648,14 3839,60 1318,47 10hk48 6386 2145,88 3461,00 6397 3394,20 6595 24gr120 3255 1682,00 13316 1549,90 9733

RASSAL PROBLEMLER Problem Düğüm Tabanlı Model Tek Ürün Akışlı İki Ürün Cij~[50,99] Problem Göstergeler Düğüm Tabanlı Model Tek Ürün Akışlı İki Ürün Problem sayısı=30 Düğüm sayısı=25 Salkım sayısı=5 Ortalama süre(sn) 0,05 0,31 0,46 Std Sapma 0,33 0,44 Düğüm sayısı=50 Salkım sayısı=10 Ortalama süre (sn) 1,05 28,90 69,25 1,12 19,36 58,83 Düğüm sayısı=100 13,11 687,21 1136,37 10,77 570,97 832,43

SONUÇ VE ÖNERİLER Tek Ürün Akışlı ve İki Ürün Akışlı modellerin birbirleri üzerinde kayda değer bir üstünlükleri yoktur. Sadece problem boyutu arttıkça, Tek Ürün Akışlı model daha iyi sonuçlar vermektedir. Ancak düğüm tabanlı model her iki modelden de daha iyidir. Rassal olarak üretilen problemlerde düğüm tabanlı model daha kısa zamanda çözüm veriyor olmakla birlikte, ürün akış modelleri de çok kısa sürede çözüm verebilmektedir. İki ürün akışlı model esas alınarak, sezgisel bir çalışma yapılabilir. YA/EM 2006

KAYNAKLAR Kara, Derya, Demir ve Bektaş, Genelleştirilmiş Gezgin Satıcı Probleminin Tamsayılı Karar Modeli, YA/EM 2005, Koç Üniversitesi Noon, C.E., Bean, J.C. An efficient transformation of the generalized traveling salesman problem, INFOR, 31(1), 39-44, 1993. Dimitrijevic, V., Saric, Z. An efficient of the generalized traveling salesman problem into the traveling salesman problem on digraphs, Informatics and Computer Science, 102, 105-110, 1997. Laporte, G., Asef-Vaziri, A., Sriskandarajah, C. Some applications of the generalized traveling salesman problem, Journal of the Operational Research Society, 47, 1461-1467, 1996. Ben-Arieh, D., Gutin, G., Penn, M., Yeo, A., Zverovitch, A. Transformations of generalized ATSP into ATSP, Operations Research Letters, 31, 357-365, 2003. Desrochers, M., Laporte, G. Improvements and extensions to the Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints, Operations Research Letters, 10, 27-36, 1991. GTSPLIB: http://www.cs.rhul.ac.uk/home/zvero/GTSPLIB YA/EM 2006

TEŞEKKÜR EDERİZ YA/EM 2006