ÜÇGENLER

ÜÇGEN ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ PİSAGOR BAĞINTISI ÖKLİD BAĞINTISI

Üçgen: Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ A B C Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.

|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır. İç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.

Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180°; dış açılarının toplamı 360°'dir. Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile diş açının toplamı 180°’dir. Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

ÜÇGENDE ALAN Genel Alan Bağıntısı ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]=h ve BC kenar uzunluğu a olsun. Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir. Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. Alan =axhx(1/2) h H

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç bölgeye ayırır.

Üçgen Çeşitleri 1.Kenarlarına Göre Üçgenler 2.Açılarına Göre Üçgenler ÇEŞİTKENAR ÜÇGEN İKİZKENAR ÜÇGEN EŞKENAR ÜÇGEN 2.Açılarına Göre Üçgenler DAR AÇILI ÜÇGEN DİK AÇILI ÜÇGEN GENİŞ AÇILI ÜÇGEN

Kenarlarına Göre Üçgenler a. Çeşitkenar üçgen Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir. A c b B C a

b. İkizkenar Üçgen Herhangi iki kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere denir.

1.İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

2.Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. lBDl=lDCl m(B)=m(C) lABl=lACl

3.Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. lAB=lACl m(B)=m(C)

4.Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. lABl=lACl m(BAH)=m(HAC) m(B)=m(C)

5.İkizkenar üçgende, eşit kenarlara ait kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.

6. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir 6.İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalar eşit olur.

7.İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

8. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir 8.İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

9. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir. lABl=ACl lLCl=lHPl+lKPl

10.İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir. ABl=lACl lEDl//lACl lFDl=lABl lABl=lACl=lED+lEFl

c. Eşkenar Üçgen Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün iç açıları 60 derece olan üçgenlere ‘eşkenar üçgen’ denir.

1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.

2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik  Bu durumda eşkenar üçgenin alanı  h

3.Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir. Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde;

Açılarına Göre Üçgenler a. Dar açılı üçgen Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

b. Dik açılı üçgen Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. Dik üçgen olarak adlandırılır.

Dik Üçgende Alan Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. Alan=lABlxlAClx(1/2)

c. Geniş açılı üçgen Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir. Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

PİSAGOR BAĞINTISI Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde m(A) = 90° a2=b2+c2

ÖKLİT BAĞINTILARI Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan Öklid Bağıntıları kullanılır.

1.Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir. h2 = p.k

3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde a 3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde a.h =b.c Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir. Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

ZAMAN AYIRDIĞINIZ İÇİN TEŞEKKÜRLER  HAZIRLAYAN SALİM ÖZATA 110403005 İKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 2/A GÜNDÜZ ZAMAN AYIRDIĞINIZ İÇİN TEŞEKKÜRLER 