Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 5 : Çok Değişkenli Fonksiyonlar Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

(x1, x2 , . . . , xn)  z = f(x1, x2, ... , xn) f : A  ℝ , A  ℝn Çok Değişkenli Fonksiyonlar. Reel sayılar kümesi ℝ ile gösterilmek üzere, ℝ2 = {(x,y) : x, y  ℝ}, ℝ3 = {(x,y,z) : x, y, z  ℝ} ve daha genel olarak, yukarıdakileri de kapsamak üzere, her n 2 için ℝn = {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn  ℝ} tanımlanır. Tanım kümesi Rn içinde olan bir fonksiyona n değişkenli fonksiyon denir. f : A  ℝ , A  ℝn (x1, x2 , . . . , xn)  z = f(x1, x2, ... , xn) Bağımlı değişken Bağımsız değişkenler

Çok değişkenli fonksiyonlar günlük yaşamın pek çok alanında karşımıza çıkar ve işlerimizi kolaylaştırırlar. Örnek 1. A türü ve B türü olmak üzere iki tür ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit gideri 5000 TL, ürün başına haftalık gideri A için 700 TL, B için 800 TL ise, bu işletmenin haftada x adet A ve y adet B üretmesi durumunda haftalık toplam gideri: M(x,y) = 5000 + 700x + 800y TL dir ki bu bir iki değişkenli fonksiyondur. Bu örnekte M(10,15) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 24 000, M(15,10) = 5000 + 700.15 + 800.10 = 23 500, M(a,b) = 5000 + 700a + 800b, M(x+h,y) = 5000 + 700(x+h) + 800y, TL dir. Örnek 2. Basit faiz için kullandığımız formül B(A,r,t) = A + Art bir üç değişkenli fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyon için B(100,0.05,4) = 100 + 100·(0.05)·4 = 120 dir.

y x A = A(x,y) = xy z V = V(x,y,z) = xyz y x r V = V(r,h) =  r2 h h Örnek 3. Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı: y x A = A(x,y) = xy bir iki değişkenli fonksiyon; Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi: x z y V = V(x,y,z) = xyz bir üç değişkenli fonksiyon; Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi: h r V = V(r,h) =  r2 h bir iki değişkenli fonksiyon örnekleridir.

Karton levha kullanılarak yandaki şekil- Örnek 4. Karton levha kullanılarak yandaki şekil- de görüldüğü gibi üstü açık, dikdörtgenler priz- ması biçiminde bir kutu yapılmak isteniyor. Kutu- nun boyutları x, y, z ile gösterilirse, bu kutunun yapımı için gereken levhanın alanı x, y ve z nin fonksiyonu olarak x y z biçiminde ifade edilir. Örnek 5. İki tür ürün üreten bir firma, haftalık talebin A ürünü için x adet, B ürünü için ise y adet olması durumunda haftalık toplam giderinin Olacağını ve A ürününün tanesini p= 150 + x -4y TL ve B ürününün tanesini q = 200 -3x + y TL ye satmasının uygun olacağını tespit ediyor. Bu firmanın a) Haftalık gelir fonksiyonu G (x,y) ve kâr fonksiyonu K (x,y) yi bulalım. b) Bir haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilip satılması durumunda firmanın o haftadaki gider, gelir ve kârını belirleyelim. Yeni bir sayfa açalım.

Örnek 5. İki tür ürün üreten bir firma, haftalık talebin A ürünü için x adet, B ürünü için ise y adet olması durumunda haftalık toplam giderinin Olacağını ve A ürününün tanesini p= 150 + x -4y TL ve B ürününün tanesini q = 200 -3x + y TL ye satmasının uygun olacağını tespit ediyor. Bu firmanın a) Haftalık gelir fonksiyonu G (x,y) ve kâr fonksiyonu K (x,y) yi bulalım. b) Bir haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilip satılması durumunda firmanın o haftadaki gider, gelir ve kârını belirleyelim. a) Haftalık gelir ve haftalık kâr b) Haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilirse, haftalık gider, gelir ve kâr, sırasıyla TL olur.

Düzlemde Kartezyen koordinatlar alarak düzlemdeki noktalar ile ℝ2 nin elemanları arasında bire-bir bir eşleme kurulduğu gibi, uzayda da Kartezyen koordinatlar tanım-lanabilir. Bunun için önce uzayda, orijinlerinde kesişen ve ikişer-ikişer birbirine dik olan üç tane koordinat ekseni seçilir. Bu koordinat eksenlerinden ikisi yazı yazdığımız düzlemde, daha önce seçildiği biçimde, biri yatay, diğeri dikey olarak seçilir; yatay olanına y-ekseni , dikey olanına z-ekseni denir. Üçüncü koordinat ekseni ise yazı yazılan düzlemden yazı yazan kişiye doğru dik olarak uzanan eksendir ki, x-ekseni olarak adlandırılır. z y x

z y x xy-düzlemi yz-düzlemi xz-düzlemi Uzayda, x ve y eksenlerini içinde bulunduran düzleme xy-düzlemi, x ve z eksenlerini içinde bulunduran düzleme xz-düzlemi, y ve z eksenlerini içinde bulunduran düzleme de yz-düzlemi denir. xz-düzlemi z yz-düzlemi xy-düzlemi y x

Uzayda bir noktanın Kartezyen koordinatları şöyle tanımlanır. Verilen noktanın xy-düzlemine izdüşümü bulunur. Elde edilen noktanın x- ve y-koordinatları verilen noktanın x- ve y-koordinatları olarak tanımlanır. Verilen noktadan z-eksenine bir dik indirilerek elde edilen noktanın karşılık geldiği reel sayı o noktanın z-koordinatıdır. z y x c P(a,b,c) (0,0,0) b a (a,b,0) Yukarıdaki işlemler tersine çevrilerek koordinatları verilen bir noktanın yerinin belirlenebileceği açıktır.

z y x (0,0,1) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) (1,1,0)

İki nokta arasındaki uzaklık y x (x, y, z) (x, y,0) d (x, y,c) z-c (a, b, c) (a, b,0)

Uzayda nokta kümeleri x, y, z değişkenlerine göre verilen her denklem üç boyutlu uzayda bir nokta kümesi verir. Bu nokta kümesine söz konusu denklemin grafiği denir. Bu bağlamda, iki değişkenli bir f fonksiyonu z = f(x, y) gibi bir denklemle belirleneceğinden, bu tür fonksiyonların da üç boyutlu uzayda grafiği düşünülebilir. Birkaç örnek verelim. z = 0 : xy-düzlemi , {(x, y, 0) : x, y  ℝ} Koordinat Düzlemleri y = 0 : xz-düzlemi , {(x, 0, z) : x, z  ℝ} x = 0 : yz-düzlemi , {(0, y, z) : y, z  ℝ} z = 3 : xy-düzlemine paralel ve onun 3 birim üstündeki düzlem: {(x, y, 3) : x, y  ℝ}. z = -3 : xy-düzlemine paralel ve onun 3 birim altındaki düzlem: {(x, y, -3) : x, y  ℝ}.

x2 + y2 + z2 =1 denkleminin grafiği için Üç değişken içeren bir denklemin grafiğini çizmek için grafiğin koordinat düzlem-leri veya koordinat düzlemlerine paralel düzlemler ile kesişimini düşünmek çok yararlı olur. x2 + y2 + z2 =1 denkleminin grafiği için xy - düzlemi ile kesişim: z = 0, x2 + y2 = 1. Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember. z y x xz - düzlemi ile kesişim: y = 0, x2 + z2 = 1. Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember. (0,0,1) yz - düzlemi ile kesişim: x = 0, y2 + z2 = 1. Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember. (-1,0,0) (0,-1,0) (0,1,0) (1,0,0) (0,0,-1)

z y z = f(x, y) x (x,y, f(x, y)) (x, y, 0) İki değişkenli bir f fonksiyonunun grafiği z = f(x, y) nin grafiği z y x (x,y, f(x, y)) z = f(x, y) (x, y, 0)

z y z = x2 + y2 x (-2,0,4) (0,-2,4) (0,2,4) (2,0,4) (0,0,0) Daha somut bir örnek. z = x2 + y2 nin grafiği xy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x2 + y2 = 0. xz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z = x2 . yz- düzlemi ile kesişim : x = 0, z = y2 . (-2,0,4) z=4 düzlemi ile kesişim : x2 + y2 = 4. z y x (0,-2,4) (0,2,4) (2,0,4) z = x2 + y2 (0,0,0)

z y z = 4 - x2 - y2 x (-2,0,0) (0,0,4) (0,-2,0) (0,2,0) (0,0,0) Örnek. z = 4 -x2 - y2 nin grafiği. xy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x2 + y2 = 4. xz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z = 4 - x2 . yz- düzlemi ile kesişim : x = 0, z = 4 - y2 . z y x (-2,0,0) (0,0,4) z = 4 - x2 - y2 (0,-2,0) (0,0,0) (0,2,0) (2,0,0)

z y x (-1,0,0) (0,0,1) (0,-1,0) (0,1,0) (0,0,0) (1,0,0) Örnek. nin grafiği. xy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x2 + y2 = 1. xz- düzlemi ile kesişim : y = 0, yz- düzlemi ile kesişim : x = 0, z y x (-1,0,0) (0,0,1) (0,-1,0) (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) Yarım Küre

Kısmi Türevler. Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımını hatırlayalım: y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonunun x = a daki türevi olarak tanımlanır. Türevin geometrik anlamını hatırlayalım: yeşil doğru değişerek y teğet durumuna gelir. f(a+h) (a+h , f(a+h)) Eğim : f(a) (a , f(a)) x a a+h h sıfıra yaklaşırken, Başka bir deyimle, f ′(a) grafiğin (a,f(a)) noktasındaki teğetinin eğimidir.

f nin (a,b) de x e göre kısmi türevi Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımından hareketle, z = f(x,y) denklemi ile verilen iki değişkenli f fonksiyonunun (a,b) noktasındaki kısmi türevleri f nin (a,b) de x e göre kısmi türevi f nin (a,b) de y ye göre kısmi türevi olarak tanımlanır. Diğer gösterimler:

z z = f(x, y) z = f(x, b) y x Eğim : (a,b, f(a, b)) (a+h,b, f(a+h, b)) Geometrik Yorum: z y x Eğim : z = f(x, b) (a,b, f(a, b)) z = f(x, y) (a+h,b, f(a+h, b)) (a, b, 0) fx(a,b) türevi, (a,b) noktası x - ekseni doğrultusunda değişirken f(a,b) nin nasıl değiştiğini gösterir. (a+h, b, 0)

z z = f(x, y) z = f(a, y) y x Eğim : (a,b, f(a, b)) (a,b+k, f(a, b+k)) fy(a,b ) türevi, (a,b) noktası y - ekseni doğrultusunda değişirken f(a,b) nin nasıl değiştiğini gösterir.

z = f(x,y) ile verilen f fonksiyonunun kısmi türevleri de yine iki değişkenli fonksiyonlar olarak düşünülebilir: fx in tanım bölgesi f nin x e göre kısmi türevinin bulunduğu (x,y) noktalarından, fy nin tanım bölgesi de f nin y ye göre kısmi türevinin bulunduğu (x,y) noktalarından oluşur. Şimdiye kadar verilen tanımlardan ve onların geometrik yorumlarından görülebileceği üzere, f nin x e göre kısmi türevi fx hesaplanırken, y sabit kabul edilerek sadece x değişkenine göre türev alınır; fy hesaplanırken de x sabit kabul edilerek y ye göre türev alınır. Bu hesaplar yapılırken daha önce bir değişkenli fonksiyonlar için elde edilmiş olan tüm türev alma kuralları geçerlidir.

Örnekler. z = f(x,y)=3x2y – 2xy2 + 6x + 1 için z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için z = f(x,y)=x3 y8 için

Örnekler.

Bu dersin başlarında bir örnekte bulduğumuz kâr fonksiyonu idi. Kx(14,16) ve Ky(14,16) yı bulalım ve yorumlayalım. Kx(14,16)=6 olması, haftada 14 adet A ve 16 adet B üretilirken A ürününün haftalık üretimi 1 birim artırılıp B ürününün üretimi sabit bırakılırsa, kârın 6 TL artacağını gösterir. Ky(14,16)=54 olması, haftada 14 adet A ve 16 adet B üretilirken B ürününün haftalık üretimi 1 birim artırılıp A ürününün haftalık üretimi sabit bırakılırsa, kârın 54 TL artacağını gösterir.

Örnek(Verimlilik). Bilgisayar üreten bir firmanın verimliliği, x birim iş gücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda yaklaşık olarak, Cobb-Douglas Verimlilik fonksiyonu diye bilinen fonksiyonuyla ifade edilmektedir. f nin x e göre kısmi türevi fx(x,y), verimliliğin kullanılan iş gücüne göre değişim oranını vermektedir ve marjinal iş gücü verimliliği olarak adlandırılır. fy (x,y) kısmi türevi de verimliliğin kullanılan sermayeye göre değişim oranını vermektedir ve marjinal sermaye verimliliği olarak adlandırılır. a) Firma şu anda 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye kullandığına göre marjinal iş gücü verimliliğini ve marjinal sermaye verimliliğini bulunuz. b) 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılırken iş gücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleyiniz. b) 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birim-lik sermaye kullanılırken sermaye sabit tutulmak kaydıyla iş gücündeki her 1 birimlik artış verimlilikte 35.56 birim-lik artış sağlayacak; iş gücü sabit tutulmak kaydıyla sermayedeki her 1 birimlik artış ise verimlilikte 12.91 birimlik artış sağlayacaktır. Bu nedenle, iş gücü artırılarak verimlilikte daha çok artış sağlanacağı görülmektedir. a)

z = f(x,y). zx = fx (x,y) , zy = fy (x,y) İkinci Mertebeden Kısmi Türevler. z = f(x,y). zx = fx (x,y) , zy = fy (x,y) Birinci mertebeden kısmi türevler İkinci mertebeden kısmi türevler Daha yüksek mertebeden kısmi türevlerin de benzer biçimde tanımlanabileceği açıktır. Örneğin, zxyyxy ifadesi, sırasıyla x e göre türevi, sonra onun y ye göre türevi, sonra elde edilenin yine y ye göre türevi, sonra elde edilenin tekrar x e göre türevi ve nihayet sonda elde edilenin y ye göre türevi alınacağını gösterir.

Örnekler. z = f(x,y)=3x2y – 2xy2 + 6x + 1 için z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için z = f(x,y)=x3 y8 için

Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türevler. Değişken sayısı ikiden çok olan fonksiyonlar için de kısmi türevler benzer biçimde tanımlanır. Bir değişkene göre kısmi türev hesaplanırken, diğer değişkenler sabit kabul edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örneğin, w = f (x,y,z) denklemi ile tanımlanan üç değişkenli f fonksiyonunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi dir. Bu durumda da daha önce olduğu gibi değişik gösterimler kullanılır:

için için Örnek. w = f (x,y,z) = Yüksek mertebeden türevler de iki değişkenli durumda tanımlandığı gibi tanımlanır ve benzer şekilde hesaplanır. için Örnek. w = f (x,y,z) =