POLİNOMLAR

[ ] [ ] [ ] [P5(Q3(x))] = [P(Q(x))] = [P(Q(x))] = = -2 DİKKAT: BİLGİLER DİKKAT: ÖRNEKLER: EŞİTLİK: ÇARPMA: TOPLAMA-ÇIKARMA: SORU: (x + 3).(5x + 2) – x.(x2 + 3x – 4) işleminin sonucu kaçtır. SORU: P(x) = (a – 4).x2 + (b + 2).x + 5 Polinomu sabit polinom ise a.b çarpımı kaçtır? ÖRNEK: ÖRNEK: P(x – 3) = x2 + 3x – 5 ise P(1) = ? SORU: P(x) = x7 – 2x + 5 Q(x) = x2 + 3x + 5 ise aşağıdaki ifadeleri sonuçlandırınız. ÖRNEK: ÖRNEK: SORU: P(x) = (a + 1).x2 + (b + 3).x + 2-c Polinomu sıfır polinomu ise a + b + c toplamı kaçtır? 1) P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f x değişkenine bağlı İki polinomun birbirine eşit olması demek; P(2x + 5) = x3 – 6x2 + 5x + 9 3x – 1 x2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 Normal dağılma özellikleri kullanılır. Ve; Aşağıdakilerden hangileri polinomdur. 3x3 + 2x2 – 4x + 1 x +2 P(x) = x8 ve Q(x) = x3 olsun. d[P(x)] = 0 üsleri doğal sayı Sadece aynı dereceli olan x ler toplanabilir yada çıkarılabilir. 3x3 x En büyük üslünün 1 -4x2 x 1 4x x 1 1 Üstlere 4 yazmalıyım 3x5 + 5x3 – 7x2 + 9 P(0) = gibi bir polinom alalım. 4 4 f xm+n katsayıları reel sayı katsayısına xm.xn = olan ifadelere – 4x olarak alalım. a + b + c + d+ e + f + 4 3x2 Üsler doğal sayıdır P(1) = - P(1) + P(-1) 3x3 aynı dereceli olan x’lerin + 6x2 (P(x)) 4 (x8) 4 olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? P(x) + Q(x) = P(x) = 7 P4(x) = P(7) = – 1 – 6 + 5 + 9 d[P(x)] = 7 terimlerin derecesi Baş katsayı = 7.x0 x8 + x3 = = x32 reel katsayılı polinom denir. Bu x in yerine 1 yazmak istiyorum. Örneğin; = b + d + f denir. ÇÖZÜM: a) d[P(x) + Q(x)] = 2x4 + 6x3 P(1) = kuralı hatırlanır. katsayılarının 42 + 3.4 – 5 Katsayılar toplamıdır. 2 7 POLİNOMDUR. Çünkü; bu x i 4 alırsam içerisi 1 olur. 1 – x – x2 – x3 – x7 Sabit terimdir. -4x2 – 4x + 1 P(x) , Q(x) , B(x) … lerle gösterilirler. P(7) = 9 DERECESİ = 5 f) d[P4(x).Q5(x)] = Tek şartla yazabilirim. ÇÖZÜM: 6x3 + 4x2 – 7x + 5 + 3x2 + 10x – 9 ÇÖZÜM: bir birlerine eşit olması denir. POLİNOM DEĞİL Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. (x + 3).(5x + 2) – x.(x2 + 3x – 4) Örneğin; 4.7 + 5.2 = 38 Burayı + yapın. Polinomun katsayıları denir. Bölüm ÇÖZÜM: Herhangi bir polinomda x yerlerine 1 yazınca katsayılarının toplamı bulunur. – 4x2 toplamın derecesi – 8x Herhangi bir polinomda x yerlerine 0 yazınca sabit terimi bulunur. Bunun işaretlerini değiştirin. P(1) = üstel polinomların derecesi 23 demektir. Yani; 2) d[P(x) + Q(x)] = Bütün x lere de 1 yazmak şartıyla. BAŞKATSAYI = 3 3x – 1 x2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 ŞART NEYDİ? DİĞERLERİNE DE YAZMAK. 7 Büyük olanıdır. bu tek başına Katsayılar reel sayıdır. hangisinin derecesi büyük ise 7 2 P(x) = (a + 1).x2 + (b + 3).x + 2-c Şimdi toplayın. P(x) = (a – 4).x2 + (b + 2).x + 5 istenendir. üs ile polinomun derecesinin 2 BAŞ KATSAYI = 7 Örneğin; 4x + 1 BAŞ KATSAYI = -1 Herhangi bir polinomdaki Sağdaki örneği dikkatle inceleyelim. d[P(x).Q(x)] = …= b) d[P(x).Q(x)] = (2x + 3).(5x – 4) = 5x2 + 2x + 15x 4x + 6 odur. 10x2 – x3 – 8x = 9 – 3x2 + 15x 1 – 12 d[P(x)] d[Q(x)] P(x) = 3x4 – 8x3 + 9x2 + x + 1 Öncelikle bir örnek üzerinde polinom bölmesinin nasıl yapıldığını görelim. Üs doğal sayı Dağal sayı değil. 7 + 2 + 8 + 4x .x0 + (x-2) (x-1) SABİT TERİM ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 + 5x2 – 6x + 9 (a – b)x2 + 4x + c = 8x2 + (a + b)x – 3 (a – 1)x2 – bx + 3 = 4x – c + 1 çarpımıdır. 5 herhangi bir x in yerine = 5.x0 -1 ÖRNEK: SABİT TERİM -2 POLİNOMDUR. P(x) Q(x) ] [ d = P6(x) Q3(x) ] [ d = g) 7 -7 b = -2 d[P(x)] d[Q(x)] a = -1 d[P(x)] = 5 a = 4 b = -3 c = 2 …. = 6x3 P(x).Q(x) = P(x2 + 1) = 3x2 + 13 ise P(x) = ? 7 her şey yazılabilir. 2 + 7x2 Örneğin; x8.x3 6.7 – 3.2 + 3x A.(x – 2) + B.(x – 1) – 4 x8+3 = 36 – …= -x3 3x – 1 + 2x2 + 21x Örneğin; + 6 = = x11 Katsayı reel sayı. a – b = 8 P(Q(x)) = = 6 – b = 8 (x3) 8 P(1) – P(-1) sadece sabit terim kalmalı P(x) Katsayılar toplamı ……………….. = 1 P(x3) 10x2 + 7x – 12 x24 d = 9 a = 2 a – 1 = 0 (x – 1).(x – 2) P(x) sabit terimi TEK ŞARTI VAR. 2 b = 5 -b = 4 = (x – 1).(x – 2) c = -6 3 = -c + 1 = = -2 P(x) Q(x) ] [ d = c) 7 İSTENEN = a + b + c olmalılar En büyük dereceliyi en büyük dereceliye kafadan bölün. = a + c + e P(1) dir. a + b = 4 P(x2 + 1) = Üsler doğal sayıdır 2 3. En büyük üsse (x2 + 1) -2 = b + 10 P(0) c = -3 dır. d[Pn(x)] = d[P(x)] gibi. n. + x3 -1 = 5 -3 2 a = 1 O YAZDIĞINIZ ŞEY NE İSE b = -4 çarpımın derecesi 7 – 2 gibi. c = -2 Çıkarma yaparken şu yöntemi kullanın. = 1 0.x1 ….. Bunu yazalım. x Polinomun derecesi = 0.x2 Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. = olur. [P5(Q3(x))] = d h) gibi. POLİNOM DEĞİL Kalan P(x) = 0 2a = 12 = 0.x2 = 0.x3 = ... x ler kaybolmalı [P(Q(x))] = d 2 3x – 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1) derecelerinin toplamıdır. P(2x+3) Katsayılar toplamı 1 içeriye gelenin 8. kuvvetini alıyor. = 210 P(5x+3) sabit terimi P makinesi yani polinomu İŞTE O ŞEYİ TÜM X LERE DE YAZMAK ŞARTIYLA. gibi. 5.7.3.2 P.Q P(x) = 3x + 10 2 denir. POLİNOMDUR. P(5) dir. 7 a = 6 2 o halde; P(3) dür. ŞİMDİ BÖLME İLE İLGİLİ ÖNEMLİ 3 KURAL VERELİM. alırsak x = 1 için 10 eklersek üstteki elde edilir. d[P5(x)] = d) içine aldığı şeyi P(x) Q(x) = Katsayı reel sayı. Bu bölme işlemini yapıp bölüm ve kalan bulalım. x8 2 = -A + 0 Niye sıfır? Doğal sayı değildir. = 35 A = -2 5.7 gibi. 3) 2.x-1 elde edilir. Derece yok = d[P(x)] = 4 x8-3 = x5 Eşit Muamele Mantığı. Bütün katsayılar 0 olmalı. Sabit terim de 0 olmalı. = -8 İSTENEN = a.b = dışarıya çıkarırken ne yapıyor? x3 4.(-2) olur. derecesi = P derecesi = Q ise 1 Çünkü; sağda x2 li terim yok. YADA gibi. eder. P(x – 3) Katsayılar toplamı BAŞ KATSAYI = 0 4) P(x – 4) sabit terimi P(x) = 0 x = 2 için 7 Bileşke polinomun derecesi 5 = 0 + B SIFIR POLİNOMUDUR. yada B = 5 Eşitlik, Toplama, Çıkarma, Çarpma. [P(Q(x))] = d e) 3 ile çarpıp 10 ekliyor. P(-2) dir. P(-4) dür. bölümün derecesi Gelen örneğe dikkat ediniz. polinom derecelerinin = 14 2.7 o halde; derP(x) = 4 5) Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim. Bölmeyi tek başına işleyeceğiz. P(x) = a SABİT POLİNOMDUR. derecelerinin farkıdır. = -10 İstenen = A.B çarpımıdır. Reel sayı değil. olur. P(x) = 3x + 10 şeklinde ifade edilir. 6) Bölme. 7 2 -2 5 payın derecesi büyük iken Reel sayı 3 ile çarpıp 10 ekleyecek. POLİNOM DEĞİL

P(x) Q(x) B(x) K(x) P(x) = Q(x). B(x) + K(x) K(x) < Q(x) BÖLME: Doğal sayılarda geçerli olan normal bölme kuralları aynen polinom bölmeleri için de geçerlidir. Yani; P(x) Q(x) B(x) K(x) KURAL:1 P(x) = Q(x). B(x) + K(x) dir. KURAL:2 K(x) < Q(x) dir. Kalanın derecesi kesinlikle bölenden küçüktür. olursa KURAL:3 Kalan sıfır olursa tam bölünme vardır. P(x) = Q(x). B(x) olur. Yani; çarpanlarına ayrılan bir polinom kendi çarpanlarına tam bölünür. Mesela; P(x) in çarpanlarından biri x – 2 ise P(x) x – 2 ile tam bölünür.

ŞİMDİ 2 ÖZEL SORU GELECEK PRATİK YÖNTEMLER SÖYLENECEK SORU: Herhangi bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? P(x) x – a P(x) = (x – a). B(x) + Kalan B(x) a ŞİMDİ 2 ÖZEL SORU GELECEK VE BUNLAR SAYESİNDE ÇOK KULLANILACAK OLAN PRATİK YÖNTEMLER SÖYLENECEK Kalan P(a) = 0. B(x) + Kalan Kalan SORU: Herhangi bir P(3x + 7) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? P(3x+7) x – a P(3x+7) = (x – a). B(x) + Kalan B(x) a Kalan P(3a+7) = 0. B(x) + Kalan Kalan

BAŞKA BİLGİ YOK. KALAN BULMA PRATİK YOLLARI P( ) P( ) P( ) YANİ; Yani; 1) P( -b a ) P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan dır. ÖRNEKLER: P( -b a ) m. + n 2) P(mx + n) polinomunun P(2x + 5) polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan ax + b ile bölümünden kalan P(2.7 + 5) ax + b = 0 = P(19) dir. dur. Bunun yerine yaz. 7 ax = -b Bölenin kökünü P( -3 2 ) 3) P(x) polinomunun 2x + 3 ile bölümünden kalan Şu örneğe bakalım. P(x) polinomunun P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan xn + a ile bölümünden kalan x = -b a P(3) P(-2) ÖRNEKLER -3 2 Bölenin kökü olan 7 sayısını 3 -2 Bu x in yerine yazın. Bölenin kökünü P(x) = 5x4 + 7 polinomunun x4 + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? xn + a = 0 Buradaki x yerine yaz. P(3x+7) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(3a+7) xn = -a a P(x) x4 + 1 B(x) Kalan P(x) = (x4 + 1).B(x) + Kalan Polinomdaki xn yerlerine -a yazarak elde edilen şeydir. Son yazdığımız mantık yine geçerlidir. YANİ; ÖRNEKLER Burayı sıfır yapmalıyız. Bunu bulmak için P(2x+5) polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan P(x – 9) polinomunun x + 4 ile bölümünden kalan P(x) polinomunun BAŞKA BİLGİ YOK. = ? x3 + 2 ile bölümünden kalan 5x4 + 7 = (x4 + 1).B(x) + Kalan P(19) P(-13) 7 -4 -1 -1 x3 yerlerine -2 yazarak elde edilen şeydir. 5.(-1) + 7 = 0 + Kalan Yani; 2 = Kalan Tüm x4 yerlerine de -1 yazmalıyız o halde P(x) i yerine yazdık. x4 yerine -1 yazarsak sıfır olur burası P(x) polinomunun x10 – 1 ile bölümünden kalan olur. Bu yaptıklarımızın pratik yolunu mutlaka anlayın. Yoksa çok çekeceksiniz. x10 yerlerine 1 yazarak elde edilen şeydir.

SORU: a) P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan P(-1) dir. -1 P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 -1 -1 -1 -1 P(-1) = (-1)9 + 3(-1)7 + 5(-1) + 8 -1 -3 -5 P(-1) = -1 – 3 – 5 + 8 P(-1) = -1 Kalan

b) P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5 polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 11 ise a = ? P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan P(1) dir. 1 Kalan = P(1) = 11 imiş. 15 + 2.(1)4 + a.(1) + 5 = 11 1 + 2 + a + 5 = 11 a + 8 = 11 a = 3 P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5

c) P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 olarak veriliyor c) P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan P(2) dir. 2 P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 3 3x – 7 = 2 3x = 9 P(2) = 33 + 2.32 – 3.3 + 9 x = 3 P(2) = 27 + 18 – 9 + 9 P(2) = 45

d) P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 olarak veriliyor d) P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan P(5) dir. 1 P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 5 P(5) = 125 – 125 – 20 + 1 P(5) = -19

e) P(2x – 5) = 2x3 + 5x2 – 3x + 10 olarak veriliyor e) P(2x – 5) = 2x3 + 5x2 – 3x + 10 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x - 5) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2x – 5) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan P(-1) dir. 2 P(2x – 5) = 2x3 + 5x2 – 3x + 10 2 2x – 5 = -1 2x = 4 P(-1) = 16 + 20 – 6 + 10 x = 2 P(-1) = 40

olması için x yerlerine -1 yazılmalıdır. f) P(5x + 3) = 3x2 – 3x + a olarak veriliyor. P(x - 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 10 ise a = ? P(x - 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 10 5 Kalan = P(-2) = 10 imiş. -1 6 + a = 10 P(5x + 3) = 3x2 – 3x + a a = 4 -2 olması için x yerlerine -1 yazılmalıdır. P(-2) = 3(-1)2 – 3(-1) + a P(-2) = 3 + 3 + a P(-2) = 6 + a

g) P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 ve Q(x – 3) = 5x + 7 olarak veriliyorlar g) P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 ve Q(x – 3) = 5x + 7 olarak veriliyorlar. Buna göre; 2.P(x) + 3.Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 2.P(x) + 3.Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 Kalan = 2.P(1) + 3.Q(1) 2 Q(x – 3) = 5x + 7 4 Kalan = 2.15 + 3.27 P(1) = 16 – 6 + 5 Kalan = 111 Q(1) = 27 P(1) = 15

Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre; SORU:18 a) olarak veriliyor. Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre; P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 6 Q(8) = 2 Kalan = P(3) = ? 5

P(x) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 2, Q(x + 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 5, Q(9) = 5 olarak veriliyor. R(x – 1) = P(x + 1) . Q(x + 5) + 3x + 2 4 olduğuna göre; R(x + 2) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 R(3) = ? R(3) = P(5) . Q(9) + 14 2 5 R(3) = 24

c) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 5) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 Kalan = P(7) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a 1 (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – 4 (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a 7 0 = 4 – a Yazımından faydalanarak P(7) yi bulabilmek için öncelikle a bulunmalıdır. a = 4 6.P(7) = 49 + 21 – 4 6.P(7) = 66 P(7) = 11

SORU: a) P(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x3 – 1 = 0 x3 = 1 x3 yerine 1 yazacağız. 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 = 2.x3.x2 – 3.x3.x + 2.x3 + 6x2 + 3x + 1 2.x3.x2 3.x3.x 1 1 1 Çünkü buralardan x3 lü terim gelmez. KALAN = 2x2 – 3x + 2 + 6x2 + 3x + 1 Aynen yazabiliriz. KALAN = 8x2 + 3

Yani; x9 yerlerine -2 yazarsak kalanı bulmuş oluruz. b) P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 polinomunun x9 + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? Yani; x9 yerlerine -2 yazarsak kalanı bulmuş oluruz. x9 + 2 = 0 ise x9 = -2 P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 -2 Kalan = (-2)4 – 2. (-2)2 + 3.(-2) + 10 Kalan = 16 – 8 – 6 + 10 Kalan = 12

Yani; x10 yerlerine yazılırsa kalan bulunmuş olur. c) P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? Yani; x10 yerlerine yazılırsa kalan bulunmuş olur. P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 P(x) = (x10)2 – x10 + 4x5 + 7 Kalan = + 4x5 + 7 Kalan = 2 + 4x5 + 7 Kalan = 4x5 + 9

d) P(x) = x3 + 3x2 + ax + b polinomunun x2 + 1 ile tam bölünmesi için a ve b ne olmalıdır? B(x) P(x) = (x2 + 1).B(x) + 0 x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + 1).B(x) + 0 x2.x + 3x2 + ax + b = (x2 + 1).B(x) + 0 -1 a = 1 -x + 3 + ax + b = 0 + 0 b = -3 x(1 – a) + b + 3 = 0

P(x) = (x2 – 3x + 2 ).B(x) + ax + b SORU: P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 1 polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? x3 + 3x2 + 5x + 1 1.YOL: 2. YOL: P(x) x2 – 3x + 2 x2 – 3x + 2 = 0 B(x) x3 + 3x2 + 5x + 1 -2 -1 x2 = 3x – 2 7x–6 3x–2 ax + b x2 yerlerine 3x – 2 yazınca kalan bulunur. P(x) = (x2 – 3x + 2 ).B(x) + ax + b Bunu ayrı bir yerde yapalım. Kalan = 7x–6 + 3.(3x – 2) + 5x + 1 P(x) = (x – 2).(x – 1) .B(x) + ax + b Kalan = 21x – 11 2 1 P(2) = 2a + b 2a + b = 31 a + b = 10 P(1) = a + b a = 21 b = -11 x3 = x2.x = (3x – 2).x = 3x2 – 2x = 3.(3x – 2) – 2x = 7x – 6 3x–2 3x–2 P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 1 P(1) = 13 + 3.12 + 5.1 + 1 P(2) = 23 + 3.22 + 5.2 + 1 P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 1 Kalan = ax + b = 21x - 11 = = 10 8 + 12 + 10 + 1 = 31

SORU: P(x) polinomunun; x – 1 ile bölümünden kalan 5, x + 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? P(1) = 5 P(-2) = 8 P(x) (x – 1).(x + 2) P(x) = (x – 1).(x + 2).B(x) + ax + b ax + b P(x) = (x – 1).(x + 2).B(x) + Kalan B(x) P(-2) = -2a + b P(1) = a + b -2 1 Kalan = 5 -1 + b = 5 b = 6 Kalan = ax + b = -x + 6 = 8 3a = -3 a = -1

Şimdi aynı soruyu daha kısa yoldan çözelim.

SORU: P(x) polinomunun; x – 1 ile bölümünden kalan 5, x + 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2x + 3 B) x + 5 C) –x + 6 D) 3x + 2 E) -2x – 5 P(1) = 5 P(-2) = 8 P(1) = 5 ve P(-2) = 8 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. –x + 6 P(1) = -1 + 6 = 5 P(-2) = -(-2) + 6 = 8 olduğundan C) şıkkı doğru cevaptır.

SORU: P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 5, x – 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2x + 5 B) 3x – 5 C) 5x + 1 D) 2x + 3 E) 3x + 2 P(1) = 5 P(2) = 8 P(1) = 5 ve P(2) = 8 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. 3x + 2 P(1) = 3 + 2 = 5 P(-2) = 6 + 2 = 8 olduğundan E) şıkkı doğru cevaptır.

olduğundan D) şıkkı doğru cevaptır. SORU: P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 5, x – 3 ile bölümünden kalan 10 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x2 – x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3x + 11 B) x – 5 C) x + 5 D) x + 7 E) 3x + 1 P(-2) = 5 P(3) = 10 (x – 3). (x + 2) P(-2) = 5 ve P(3) = 10 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. x + 7 P(-2) = -2 + 7 = 5 P(3) = 3 + 7 = 8 olduğundan D) şıkkı doğru cevaptır. x2 – x – 6 = (x – 3). (x + 2) -3 2

Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. SORU: P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1, x – 1 ile bölümünden kalan 3, x – 3 ile bölümünden kalan 13 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x.(x – 1).(x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır? A) x2 + 3x + 11 B) x2 + x + 2 C) x2 + x + 1 D) 2x + 1 E) 3x2 – 4x + 1 P(0) = 1 P(1) = 3 P(3) = 13 P(0) = 1 P(1) = 3 P(3) = 13 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. C) x2 + x + 1 sağlar.

SORU: a) P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun katsayılarının toplamı kaçtır? P(x) polinomunun katsayılarının toplamı P(1) dir. P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 3x – 5 = 1 2 3x = 6 x = 2 P(1) = 2.23 – 3.2 + 5 P(1) = 16 – 6 + 5 P(1) = 15 istenendir.

b) P(3x + 2) = x3 – 3x2 + 5x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 9) polinomunun katsayılarının toplamı kaçtır? P(2x + 9) polinomunun katsayılarının toplamı P(11) dir. P(3x + 2) = x3 – 3x2 + 5x + 1 3 P(11) = 33 – 3.32 + 5.3 + 1 P(11) = 27 – 27 + 15 + 1 P(11) = 16 istenendir.

c) P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır. P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 2 P(0) = 8.22 – 3.2 + 6 P(0) = 32 – 6 + 6 P(0) = 32 istenendir.

d) P(x – 5) = x5 – 7x – 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(5x – 6) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(5x – 6) polinomunun sabit terimi P(-6) dır. P(x – 5) = x5 – 7x – 5 -1 P(-6) = -1 + 7 – 5 P(-6) = 1 istenendir.

POLİNOMLAR TESTİ-1

1) ifadesinin bir polinom olması için m nin alabileceği değerler A) 22 B) 18 C) 16 D) 11 E) 7 ifadesinin bir polinom olması için m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: x lerin üsleri doğal sayı olmalı. m – 4 ≥ 0 7 – m ≥ 0 m ≥ 4 7 ≥ m m ≤ 7 Bu aralıklardaki doğal sayılar. {4 , 5 , 6 , 7} olup toplamları 22 dir.

x li terimlerin katsayılarını sıfır alarak halledebiliriz. 2) A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 P(x) = ax2 + 2x2 + (4 – b)x + a + b polinomu sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = ax2 + 2x2 + (4 – b)x + a + b P(x) = (a + 2)x2 + (4 – b)x + a + b sabit polinom ise x li terimler olmamalı x li terimlerin katsayılarını sıfır alarak halledebiliriz. a = -2 b = 4 olmalılar. 2 İstenen = a + b = olur. İki tane x2 olmaz. Teke indirmeliyiz. -2 4

3) A) -4 B) -3 C) -2 D) 1 E) 5 P(x) = (a + 2)x2 + (2b – 6)x + 3c + 12 polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: sıfır polinom ise P(x) = (a + 2)x2 + (2b – 6)x + 3c + 12 x lerde olmayacak sabitte olmayacak a = -2 b = 3 c = -4 olmalılar. Bütün katsayıları ve sabit terimi sıfır alarak halledebiliriz. -3 İstenen = a + b + c = olur. -2 3 -4

3 4) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(x) = ax2 + 6x + bx + 8 Q(x) = 2x2 + ax – 3x + c P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = Q(x) ax2 + 6x + bx + 8 = 2x2 + ax – 3x + c ax2 + (6 + b)x + 8 = 2x2 + (a – 3)x + c İki tane x var.Teke indirmeliyiz. İki tane x var.Teke indirmeliyiz. a = 2 6 + b = a – 3 c = 8 6 + b = 2 – 3 6 + b = -1 3 İstenen = a + b + c = olur. b = -7 2 -7 8

4 5) A) 9 B) 5 C) 4 D) 2 E) 0 Her x gerçel sayısı için, 2x2 + ax – 9 = (2x – 3).(bx + 3) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: 2x2 + ax – 9 = (2x – 3).(bx + 3) 2x2 + ax – 9 = 2bx2 + 6x – 3bx – 9 2x2 + ax – 9 = 2bx2 + (6 – 3b)x – 9 2 = 2b a = 6 – 3b -9 = -9 1 b = 1 a = 3 4 İstenen = a + b = olur. 1 3

6) Hangisi daha kolay? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 olduğuna göre, B – A kaçtır? ÇÖZÜM: 1.YOL: 2.YOL: 1 A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 -3 A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 x = 1 için; 0 + B.4 = 16 Ax – A + Bx + 3B = 2x + 14 4B = 16 B = 4 (A + B)x + 3B – A = 2x + 14 x = -3 için; -4A + 0 = 8 A + B = 2 A + 4 = 2 -4A = 8 3B – A = 14 A = -2 + A = -2 4B = 16 = 6 B = 4 İstenen = B – A Bu değerler rasgele değil. olur. 4 -2 = 6 İstenen = B – A A ve B nin katsayılarını sıfır yapan değerlerdir. olur. Hangisi daha kolay? 4 -2

7) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5x – 2 x2 – 2x – 8 = A x – 4 + B x + 2 olduğuna göre, A + B kaçtır? ÇÖZÜM: 5x – 2 x2 – 2x – 8 = A x – 4 + B x + 2 (x+2) (x-4) -4 2 5x – 2 A.(x + 2) + B.(x – 4) = (x – 4).(x + 2) (x – 4).(x + 2) -2 4 5x – 2 = A.(x + 2) + B.(x – 4) x = -2 için -12 = 0 – 6B 2 = B x = 4 için 18 = 6A + 0 3 = A = 5 İstenen = A + B olur. 3 2

8) A) 24 B) 20 C) 16 D) 12 E) 10 P(x) = 2x2 + 5x + 3 Q(x) = 4x3 – 2x2 + 1 olduğuna göre, P(x).Q(x) çarpım polinomundaki x4 lü terimin katsayısı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x).Q(x) = (2x2 + 5x + 3). (4x3 – 2x2 + 1) -4x4 + 20x4 16x4 Katsayısı 16 olur. Başka yerden gelmez. Hangi terimlerin çarpımından x4 gelir? Bunları bulmalıyız.

9) A) x2 + 3x + 14 x3 + 5x + 42 x + 3 ifadesinin en sade şekli nedir? B) x2 – 3x + 14 C) x2 – x + 14 D) x2 + 5x + 14 E) x2 – 5x + 14 ÇÖZÜM: 0.x2 var aslında burda Demek ki tam bölünme oluyor ki şıklar polinom şeklindedir. x3 x = x2 x3 + 5x + 42 x + 3 O zaman normal bölme yaparak sonucu bulabiliriz. x3 + 3x2 x2 –3x + 14 -3x2 x = -3x -3x2 + 5x + 42 cevaptır. -3x2 – 9x 14x x = 14 0.x2 – 3x2 = -3x2 14x + 42 14x + 42 5x – (-9x) = 14x

10) A) -20 B) -18 C) -16 D) -14 E) -10 P(x) = x3 + 4x2 – 5x + m polinomunun çarpanlarından biri x + 2 ise, m kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (x + 2).Q(x) imiş. x + 2 bir çarpanı imiş. x3 + 4x2 – 5x + m = (x + 2).Q(x) -2 -2 Diğer çarpanın ne olduğu belli değil. -2 -2 alırsak sağ taraf sıfır olur ve bilinmeyen Q(x) den kurtuluruz. Diğer x lerede -2 yazmalıyız. -8 + 16 + 10 + m = 18 + m = 0 m = -18 olur.

11) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 P(x) = x3 – 5x + a polinomunun bir çarpanı x + 2 ise, P(-1) kaçtır? -2 ÇÖZÜM: P(x) = (x + 2). Q(x) imiş. x3 – 5x + a = (x + 2). Q(x) P(x) = x3 – 5x + a – 2 -1 -1 -1 -2 -2 -2 İstenen = P(-1) = (-1)3 – 5(-1) – 2 -8 + 10 + a = P(-1) = -1 + 5 – 2 2 + a = 0 P(-1) = 2 a = -2 olur.

12) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 P(x – 2) = x2 + 3x + 4 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan = P(-3) dür. -3 -1 -1 -1 P(x – 2) = x2 + 3x + 4 bunu sıfır yapan x değeri burası -3 olur. x – 2 = -3 = 2 P(-3) = (-1)2 + 3.(-1) + 4 = 1 – 3 + 4 = kalandır x = -3 + 2 x = -1 x yerlerine ne yazarsak yazarsak bulunur. Bundan faydalanarak P(-3) ü bulalım.

13) A) -169 B) -156 C) -132 D) -91 E) -65 P(3x) = 12x – 13 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 13 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun x + 13 ile bölümünden kalan = P(-13) dür. -13 -13 3 -13 3 3x = -13 P(3x) = 12x – 13 -13 3 Burayı sıfır yapan x değeri x = -13 4 -13 3 = -65 P(-13) = 12. – 13 = -52 – 13 = kalandır olması için x ne olmalıdır? Bundan faydalanarak P(-13) ü bulalım.

14) A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 5 olduğuna göre, P(x – 1) = 4x2 – 10x + 7 P(x + 2) polinomunun sabit terimi kaçtır? ÇÖZÜM: P(x + 2) polinomunun sabit terimi = P(2) dir. 3 P(x – 1) = 4x2 – 10x + 7 3 3 2 P(2) = 36 – 30 + 7 İçerdeki x yerine 0 yazınca sabit terim bulunmuş olur. P(2) = 13 Bundan faydalanarak P(2) yi bulalım. istenendir. olması için x değeri 3 seçilmelidir.

15) A) -9 B) -7 C) -2 D) 5 E) 10 P(x) = x3 – 6x2 – 7x + 9 olduğuna göre, P(x – 3) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x – 3) polinomunun sabit terimi = P(-2) dir. 1 P(x) = x3 – 6x2 – 7x + 9 -2 -2 -2 -2 P(-2) = -8 – 24 + 14 + 9 İçerdeki x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunmuş olur. P(-2) = -9 istenendir. Bundan faydalanarak P(-2) yi bulalım.

16) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı 7, P(x + 2) polinomunun sabit terimi 2a – 3 olduğuna göre, a kaçtır? ÇÖZÜM: P(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı = P(2) = 7 imiş. Bunlar eşit Bunlar da eşittir 1 P(x + 2) polinomunun sabit terimi = P(2) = 2a – 3 imiş. 2a – 3 = 7 2a = 10 a = 5 olur.

17) A) -18 B) -12 C) -6 D) 6 E) 18 P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -3, Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, P2(x – 1).Q(x + 1) çarpım polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -1 P(-1) = -3 Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 Q(1) = 2 ÇÖZÜM: = 18 P2(x – 1).Q(x + 1) in x ile bölümünden kalan = P2(-1).Q(1) = (-3)2 . 2 olur. Burayı sıfır yapan değer 0 dır.

2 18) A) 0,5 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3 ve -2 dir. Buna göre, a nın hangi değeri için x.P(x) + a.Q(x) toplam polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 5 tir? ÇÖZÜM: P(2) = 3 Q(2) = -2 imişler. x.P(x) + a.Q(x) in x – 2 ile bölümünden kalan = 2.P(2) + a.Q(2) = 5 imiş. 2 3 -2 6 – 2a = 5 1 = 2a a = 0,5 olur.

19) A) x2 + x B) x3 + x2 C) x4 + 3x3 – 4x2 D) x2 + 1 E) x3 + 1 olduğuna göre, P(x) = x4 – 3x3 – 4x2 Q(x) = x4 + x P(x) ve Q(x) polinomlarının en büyük ortak böleni nedir? ÇÖZÜM: P(x) = x4 – 3x3 – 4x2 (x + 1) İkisi de aynı. Küçük olanı kendisidir. = x2.( x2 x x2 – 3x – 4) = x2. (x – 4).(x + 1) -4 1 Q(x) = x4 + x = x.( x3 + 1) = x. x (x + 1).(x2 – x + 1) Küpler toplamı açılımı var. Her iki polinomda artık çarpanlara ayrılamaz hale geldi. OBEB = x .(x + 1) Yani her ikisi de asal çarpanlarına ayrıldılar. OBEB = x2 + x Bize OBEB soruluyor. Başka ortak olan çarpan yok. Küçüğünü alcaz ya onun için x alındı. olur. İkisinde de ortak olan çarpanların küçükleri OBEB idi. Kimler bunlar. Bulalım.

20) A) x + 4 B) x + 2 C) 2 – x D) 3 – x E) 4 – x P(x).Q(x) = 3x2 – 7x – 20 olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir? ÇÖZÜM: P(x).Q(x) = 3x2 – 7x – 20 = (3x + 5). (x – 4) = (3x + 5). (-1).(4 – x) Bu üç terimliyi çarpanlara ayırmalıyız. orta ile aynı 3 1 x 5 -4 x x P(x).Q(x) = (-3x – 5). (4 – x) olarak yazılabilir. P(x) bu olabilir. -12 + 5 = -7 Artık çarpanlarına ayırma şartları hazır. Çarpımları -20 olan iki sayı seçtik. Çarpımları 3 olan iki sayı aldık. 1 üstte 3 altta da yazılabilirdi. Bunu sağlayan bir çok durum var. Niye bu ikisini seçtik. Çünkü, bunların çapraz çarpımlarının toplamı ortadaki terimim katsayısını verir.

POLİNOMLAR TESTİ-2

1) A) 12 B) 24 C) 29 D) 34 E) 41 olduğuna göre, P(x – 2) = x3 – 9x + 6 kalan kaçtır? P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden ÇÖZÜM: P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = 1 P(2) = ? 1 P(x – 2) = x3 – 9x + 6 4 4 4 P(2) = 64 – 36 + 6 P(2) = 34 Çünkü 4 yazınca P(2) bulunur. olur.

2) A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 2x2 – 2x + 1 ..... x + 3 Kalan Yukarıdaki polinom bölmesine göre, kalan kaçtır? Q(x) diyelim. ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; 2x2 – 2x + 1 = Q(x).(x + 3) + Kalan -3 -3 -3 Kalan 18 + 6 + 1 = 0 + Kalan 25 = Kalan Madem ki bunu arıyoruz. Burasını sıfır yapmalıyız. olur. Bunun için x yerlerine -3 yazmamız yeterlidir.

3) A) 6 B) 2 C) -1 D) -3 E) -4 P(3x + 1) Q(x – 2) = 4x2 – 3x – 13 P(x – 2) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 36 olduğuna göre, Q(x + 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: 6 P(x – 2) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan = P(4) = 36 ise, 6 -3 Q(x + 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan = Q(-1) = ? diyor. -3 1 P(3x + 1) Q(x – 2) = 4x2 – 3x – 13 1 1 1 36 P(4) -12 = 4 – 3 – 13 x = 1 seçersem aradığım Q(-1) i bulmuş olurum. Bundan faydalanarak istediğimizi bulalım. Q(-1) Q(-1) = -3 olur.

4) A) -6 B) -4 C) -3 D) -2 E) -1 P(x – 2) + x Q(x + 1) + 4 = x – 2 Q(x – 1) polinomunun sabit terimi -2 olduğuna göre, P(x – 4) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Q(x – 1) polinomunun sabit terimi = Q(-1) = -2 ise, P(x – 4) polinomunun x ile bölümünden kalan = P(-4) Burayı sıfır yapan değer 0 dır. = ? diyor. İçerdeki x yerine sıfır yazınca sabit terim bulunmuş olur. -2 -2 P(x – 2) + x Q(x + 1) + 4 = x – 2 -2 -2 P(-4) – 2 -8 = Çünkü x = -2 alınca P(-4) bulunmuş olur. -4 P(-4) – 2 = 2.(-4) -2 Q(-1) + 4 Bundan faydalanarak isteneni bulalım. -6 P(-4) = -8 + 2 istenendir.

5) A) -10 B) -8 C) -6 D) 2 E) 4 P(x + 2) = (x2 – 3x).Q(x) + 2x2 Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 6 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 Q(1) = 6 3 3 Kalan = P(3) = ? ÇÖZÜM: P(x + 2) = (x2 – 3x).Q(x) + 2x2 içerdeki x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunur. 1 1 1 1 1 P(3) = (1 – 3).Q(1) + 2 6 P(3) = -2.6 + 2 Çünkü x yerine 1 yazarsak istenen P(3) bulunmuş olur. P(3) = -12 + 2 -10 istenendir.

6) A) -3 B) -1 C) 2 D) 3 E) 4 olduğuna göre, (x – 2).P(x) = x3 + x2 – 7x + m P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 1 ÇÖZÜM: Kalan = P(1) = ? (x – 2).P(x) = x3 + x2 – 7x + m 1 1 1 1 1 -1.P(1) = 1 + 1 – 7 + m (x – 2).P(x) = x3 + x2 – 7x + m 2 2 2 2 -1.P(1) = -5 + m 0 = 8 + 4 – 14 + m P(1) = Bundan faydalanarak isteneni bulalım. 5 – m Çünkü P(1) i arıyoruz. Çünkü 2 yazınca P(x) kaybolur. Ve m yalnız kalır. 0 = -2 + m P(1) = 5 – 2 m = 2 Şimdi de m değerini bulmalıyız. P(1) = 3 İstenen kalan ifadesidir. Şimdi yapacağım şeye dikkat edin.

7) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 (x + 2).P(x) = x2 + 3x + m olduğuna göre, P(-2) kaçtır? ÇÖZÜM: Önce m değerini bulalım. (x + 2).P(x) = x2 + 3x + m (x + 2).P(x) = x2 + 3x + m 2 -2 -2 -2 2 1 0 = 4 – 6 + m x2 + 3x + 2 x + 2 0 = -2 + m P(x) = 2 = m Çünkü -2 alınca P(x) kaybolur. Ve m yalnız kalır. (x + 2).(x + 1) P(x) = x + 2 P(x) = x + 1 -2 -2 P(-2) = -1 Çünkü; P(-2) soruluyor. istenendir

8) A) -4 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 olduğuna göre, P(x) polinomdur. (x + a).P(x) = x2 – 4x – 5 a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? -5 1 ÇÖZÜM: x2 – 4x – 5 x + a (x + a).P(x) = x2 – 4x – 5 P(x) = (x – 5).(x + 1) P(x) = x + a Polinom olması için sadeleşme gerçekleşmeli. O halde; a = -5 veya a = 1 olabilir. Toplamları = -4 olur.

9) A) -3 B) -1 C) 6 D) 10 E) 14 P(x + 2) = x2 – 3x + m P(x – 1) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan 12 ise m kaçtır? ÇÖZÜM: 4 P(x – 1) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan = P(3) = 12 imiş. 4 P(x + 2) = x2 – 3x + m 1 1 1 P(3) = 1 – 3 + m Niye 1 aldık? 12 = -2 + m Çünkü; P(3) ü biliyoruz. 14 = m olur.

10) A) 5 B) 4 C) 3 D) -1 E) -5 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 1)3 ile bölümünden kalan x2 – 3x + 5 P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun (x – 1)3 ile bölümünden kalan x2 – 3x + 5 ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x) (x – 1)3 B(x) diyelim P(x) = (x – 1)3 .B(x) + x2 – 3x + 5 olur. x2 – 3x + 5 1 1 1 1 P(1) = + 1 – 3 + 5 imiş. P(1) = 3 istenendir 1 1 P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = P(1) = ? diyor.

11) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 P(x) = ax3 + x – 1 polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan 3x + b ise a + b kaçtır? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; ax3 + x – 1 x2 – 1 3x + b B(x) a.x2.x 1 ax3 + x – 1 = (x2 – 1). 1 B(x) + 3x + b olur. Bu nasıl yok olur? a.x2.x imiş. ax + x – 1 = 0 + 3x + b Bütün x2 leri 1 alarak kaybedebiliriz. (a + 1)x – 1 = 3x + b Bölüme B(x) diyelim. a + 1 = 3 b = -1 a = 2 = 1 İstenen = a + b olur. 2 -1

12) A) -10 B) -8 C) -6 D) -4 E) -2 P(x) = 2x9 – x6 + ax3 polinomunun bir çarpanı x3 + 2 olduğuna göre, a kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = (x3 + 2). Q(x) imiş. 2x9 – x6 + ax3 = 2x9 x6 (x3 + 2). Q(x) -2 Bu da diğer çarpan. Ne olduğunu bilmiyoruz. Çünkü bu P(x) in çarpanı imiş. 2(x3) 3 (x3) 2 alarak kurtulabiliriz. – Bu bilinmeyen şeyden nasıl kurtulcaz dersiniz. + ax3 -2 = (x3 + 2). Q(x) -2 -2 -2 O zaman her yerdeki x3 leri -2 almalıyız. 2.(-2)3 – (-2)2 + a.(-2) = -16 – 4 – 2a = 0 -20 = 2a a = -10 olur.

( ) 13) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 olduğuna göre, P(x + 1) = x3 + 3x2 + 3x + 5 P(x) polinomunun x – 3 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) polinomunun 3 2 x – ile bölümünden kalan = P( 3 2 ) dir. 3 2 P(x + 1) = x3 + 3x2 + 3x + 5 P(x + 1) = x3 + 3x2 + 3x + 1 + 4 P(x + 1) = (x + 1)3 + 4 P , aldığı ifadenin küpünü alıp 4 ekliyor. P(x) = x3 + 4 O halde; P(x) = x3 + 4 3 2 ( ) + 4 = 6 P( 3 2 ) = = 2 + 4 olur. küpünü alıp 4 ekleyecek

14) A) -2x B) -2x + 2 C) 2x D) 2x + 2 E) 4x P(x) = (x2 + x – 1)2 + 2x – 1 polinomunun x2 + 2x ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x) x2 + 2x Kalan (x2 + x – 1)2 + 2x – 1 -2x alırsak yok olur. B(x) -2x P(x) = (x2 + 2x).B(x) + Kalan Bu nasıl yok edilir. = ? Yalnız bu değeri tüm x2 lere de yazmalıyız. (x + 1)2 diyor. (-2x + x – 1)2 + 2x – 1 = 0 + Kalan Kalan -x – 1 -2x x2 + 2x + 1 + 2x – 1 = Kalan Bölüme B(x) diyelim. 2x = Kalan (-x – 1)2 = (x + 1)2 istenendir. Rasladığımız her x2 yi -2x almalıyız.

15) A) -3 B) -2 C) 0 D) 6 E) 9 P(x + 1) = (2x + 1).Q(x – 2) + x2 + 2 Q(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: Q(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan = -1 Q(-1) = 2 imiş. -1 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan = 2 P(2) = ? 2 P(x + 1) = (2x + 1).Q(x – 2) + x2 + 2 1 1 1 1 P(2) = 3.Q(-1) + 3 Bundan faydalanarak isteneni bulalım. Çünkü x yerine 1 yazarsak, istenen P(2) yakalanmış olur. P(2) = 3. 2 + 3 P(2) = 9 istenendir.

16) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 P(x) = x3 – x2 – ax + b polinomu x2 – 3x + 2 ile tam bölündüğüne göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; Bölmenin sağlaması gereği; 2.YOL: 1.YOL: Böyle bir soru iki yoldan çözülebilir. P(x) x2 – 3x + 2 P(x) = P(x) = (x2 – 3x + 2).B(x) + 0 (x2 – 3x + 2).B(x) + 0 P(x) x2 – 3x + 2 B(x) İkisini de kullanacağız hangisini beğenirseniz onu devamlı kullanırsınız. -1 -2 B(x) x3 – x2 – ax + b = 3x – 2 3x – 2 (x2 – 3x + 2).B(x) 7x – 6 x3 – x2 – ax + b = Burayı sıfır yaparak (x – 1).(x – 2).B(x) Bundan nasıl kurtuluruz? 1 2 imiş. Bu çarpanları sıfır yapan x değerlerini yazarak kurtuluruz. Bundan nasıl kurtuluruz. (7x – 6) – (3x – 2) – ax + b = 0 1. yolda çarpanlarına ayırmış da yapmıştık. x = 1 için -a + b = 0 b = a Bölüme B(x) diyelim. x2 – 3x + 2 = 0 Burası 1. YOL ‘ daki ile aynı. Fakat bu ifadenin bazen çarpanlara ayrılmadığı durumlarda gelebiliyor. 8 – 4 – 2a + b = 0 7x – 6 – 3x + 2 – ax + b = 0 x = 2 için Her yerde ki x2 yerine 3x – 2 yazarsak B(x) den kurtuluruz. Şimdi napcaz? x2 = 3x – 2 Biraz uzun sürdü ama polinomlar konusunda üslü işlemleri hızla yapabiliyor olmalıyız zaten. 4 = 2a – b x3 = 3x – 2 x2.x = Bunun yerine ne yazcaz. (3x – 2).x = 3x – 2 3x2 – 2x = 3.(3x – 2) – 2x b = 9x – 6 – 2x O zaman şimdi yapacağımız yoldan başka yol kalmaz. Bu kısmı ayrı bir yerde yapmalıyız. 4 = 2b – b 4x – 4 – ax + b = 0 = 7x – 6 4x – 4 = ax – b a = 4 4 = b = 8 İstenen = a + b a = 4 b = 4 olur. Zaten b ile a eşit olduğundan; 4 4 a + b = 8 olur.

17) A) -6 B) -2 C) 3 D) 10 E) 12 P(x) = x3 + 3x2 – x + b polinomunun x2 – 2x ile bölümünden kalan ax + 3 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; x3 + 3x2 – x + b x2 – 2x ax + 3 B(x) 2x x2 yerlerine 2x yazmamız yeterli olur. 4x x3 + 3x2 – x + b = 2x (x2 – 2x). B(x) + ax + 3 4x + 3.(2x) – x + b = ax + 3 0 + ax + 3 Bölüme B(x) diyelim. Burasını ayrıca yapalım. 9x + b = ax + 3 Bundan kurtulmak için; x3 = 2x x2.x = 2x 2x2 = 4x a = 9 b = 3 sorudaki anlatılan olay budur. = 12 İstenen = a + b olur. 9 3

18) A) x – 2 B) x + 2 C) 3x + 4 D) 4x – 2 E) 4x – 6 P(x) = x3 – 2x2 + 3x polinomunun x2 – x – 2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: 1.YOL: 2.YOL: Bölmenin sağlaması gereği; Bölmenin sağlaması gereği; P(x) x2 – x – 2 Kalan = ? P(x) x2 – x – 2 Kalan = ? P(x) = P(x) = (x2 – x – 2).B(x) + Kalan (x2 – x – 2).B(x) + ax + b -2 1 B(x) B(x) 3x + 2 x3 – 2x2 + 3x = x + 2 (x2 – x – 2).B(x) + Kalan x + 2 x3 – 2x2 + 3x = (x – 2).(x + 1) .B(x) + ax + b Burayı 0 yaparak Bundan nasıl kurtulcaz ax + b gibi olur. -1 2 x2 – x – 2 = 0 4 -2 çarpanlarını sıfırlayan sayıları yazacağız. Bundan kurtulmak için (3x + 2) – 2.(x + 2) + 3x = 8 – 8 + 6 = 0 + 2a + b 0 + Kalan x = 2 için x2 = x + 2 6 = 2a + b 3x + 2 – 2x – 4 + 3x = x = -1 için -1 – 2 – 3 = 0 – a + b Kalan -6 = -a + b x3 = x2.x x + 2 = (x + 2).x = x + 2 x2 + 2x = x + 2 + 2x = 3x + 2 4x – 2 = Kalan x2 yerlerine x + 2 yazmalıyız. Burayı ayrıca yapalım. 12 = 3a olur. Kalan = 4x – 2 4 = a Hangi yol daha kısa sizce? -6 = -4 + b anlatılan olay budur. -2 = b Bana 2. YOL daha kullanışlı geliyor. Bölüme B(x) diyelim. Çünkü; kalan bölenden bir derece düşük olur. (En fazla)

19) A) -2x + 2 B) -2x – 2 C) -2x – 3 D) -x – 3 E) 2x – 3 P(x) polinomunun katsayıları toplamı -4 , P(x – 2) polinomunun sabit terimi 2 dir. Buna göre, P(x) polinomunun x2 + x – 2 ile bölümünden kalan nedir? 1 verilenleri kullanalım. P(1) = -4 P(-2) = 2 P(x) polinomunun x2 + x – 2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x) x2 + x – 2 ax + b = ? P(x) = (x2 + x – 2).B(x) + ax + b B(x) -2 1 P(1) = a + b 0.B(x) + a + b = -4 -2 + b = -4 -2 -2 b = -2 P(-2) = -2a + b 0.B(x) – 2a + b = 2 Bölüme B(x) diyelim. 3a = -6 a = -2 Kalan = -2x – 2 olur. x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunur. x yerine sıfır yazınca sabit terim bulunur.

20) A) t + 1 B) t – 1 C) –t – 1 D) t E) 2t olduğuna göre, t2 – t + 1 = 0 aşağıdakilerden hangisidir? t3 + t + 1 toplamının t cinsinden değeri ÇÖZÜM: t3 + t + 1 = -1 + t + 1 = t t2 – t + 1 = 0 olur. -1 t2 = t – 1 t3 = t – 1 t2.t Öncelikle bunu t cinsinden bulmalıyız. t3 = (t – 1).t Verilenden faydalanalım. t3 = t – 1 t2 – t t3 = t – 1 – t t3 = -1

POLİNOMLAR TESTİ-3

1) Aşağıdakilerden hangisi polinom değildir? üs doğal sayı değil. Bu şık polinom olmaz. x lerin üstleri doğal sayı olmalı.

2) A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 n pozitif tamsayı olmak üzere, polinomunun derecesi en az kaçtır? ÇÖZÜM: Olması halinde ikisininde pozitif tamsayı ve en az olacağı gözüküyor. n = 12 Buraların pozitif tamsayı olacağı kesin 1 4 n = 0 olsa yine polinom olur. Ama soruda n = pozitif tamsayı şartı verilmiş. P(x) = (x3 + 2) + (x2 – 1) + 5x – 4 P(x) = x3 + 2 + (x8 + ......) + 5x – 4 Polinomun derecesi en az 8 olur.

3) A) -19 B) -17 C) -16 D) -15 E) -14 olduğuna göre, P(x) = (a – 2)x2 + 2x + b – 1 Q(x – 3) = dx2 – 4x – 18 P(x) = Q(x) a + b + d toplamı kaçtır? Önce Q(x) i bulalım. ÇÖZÜM: P(x) = Q(x) Q(x – 3) = dx2 – 4x – 18 (a – 2)x2 + 2x + b – 1 = dx2 + (6d – 4)x + 9d – 30 x + 3 x + 3 x + 3 1 a – 2 = d a = 3 Q(x) = d.(x + 3)2 – 4(x + 3) – 18 2 = 6d – 4 d = 1 Q(x) = d.(x2 + 6x + 9) – 4(x + 3) – 18 b – 1 = 9d – 30 b = -20 1 Q(x) = dx2 + 6dx + 9d – 4x – 12 – 18 = -16 Q(x) = dx2 + (6d – 4)x + 9d – 30 İstenen = a + b + d 3 -20 1 olur.

4) A) -12 B) -10 C) -8 D) -6 E) -4 3x – 1 x2 – 3x + 2 = A x – 1 + B olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM: 3x – 1 x2 – 3x + 2 = A x – 1 + B x – 2 (x-2) (x-1) -1 -2 3x – 1 A.(x – 2) + B.(x – 1) = (x – 1).(x – 2) (x – 1).(x – 2) 1 2 3x – 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1) x = 1 için 2 = -A + 0 A = -2 5 = 0 + B x = 2 için B = 5 = -10 İstenen = A.B olur. -2 5

5) A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 P(x) = (x + 2)2 – (x + 1)3 + 2 polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: -3 P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan = -3 P(-3) = ? P(x) = (x + 2)2 – (x + 1)3 + 2 -3 -3 -3 P(-3) = (-1)2 – (-2)3 + 2 P(-3) = 1 + 8 + 2 Çünkü; P(-3) ü arıyoruz. P(-3) = 11 olur.

6) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 P(x) 3.dereceden, Q(x) ise 4.dereceden bir polinomdur. P(x).Q2(x) P(x) – Q(x) ifadesi polinom olduğuna göre, bu polinomun derecesi kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = x3 Q(x) = x4 olarak alabiliriz. 7. derecedir. verilen şartlara uyuyorlar. P(x).Q2(x) P(x) – Q(x) = x3 . (x4)2 x3.x8 x11 = = = x11-4 = x7 Payda 4. derecedir. Bu yüzden paydayı x4 olarak alabiliriz. x3 – x4 x4 x4

7) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ax3 + bx2 + cx + d 2x2 + x – 2 x + 2 x + 1 Yukarıdaki bölme işlemine göre, c kaçtır? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; ax3 + bx2 + cx + d = (2x2 + x – 2). (x + 2) + x + 1 c sayısına eşittir. Bu çarpımın sonucunda illa ki 2x + (-2x) + x = x x li bir terim vardır. İşte bu x li terimin katsayısı Başka bir yerden gelmez. Katsayısı 1 olup c = 1 dir. Nerelerin çarpımından x li terimler gelir belirleyelim.

8) 4 – 4 – 2 = 0 + Kalan -2 = Kalan A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 P(x) = x16 – 2x8 – 2 polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: 2.YOL: P(x) Kalan Bölmenin sağlaması gereği; P polinomunda x4 yerlerine B(x) yazarsak kalan bulunmuş olur. = ? - 2 x4 yerine yazarak kurtuluruz. x16 – 2x8 – 2 = P(x) = x16 – 2x8 – 2 = (x4)4 – 2(x4)2 – 2 = = 4 – 4 – 2 = -2 Buradaki x4 lerin yerine de yazmalıyız. Bundan nasıl kurtuluruz? (x4)4 2.(x4)2 4 4 Bölüme B(x) diyelim. - 2 ( ) 4 - 2 ( ) 2. Kalandır. 4 – 4 – 2 = 0 + Kalan -2 = Kalan

9) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 P(x) = 3x2 + ax + c P(x) polinomunun sabit terimi 2 ve katsayılar toplamı 7 olduğuna göre, a – c farkı kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = 3x2 + ax + c 3 a c Katsayılar toplamı = 3 + a + c = 7 5 + a = 7 2 a = 2 Sabit terim = c = 2 = 0 İstenen = a – c olur. 2 2 Katsayılar ve sabit terim şabalak gibi sırıttığı için böyle bir yol kullandık.

10) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(2x – 1) = x3 – 2x2 – x + a polinomu veriliyor. P(x) polinomu x – 3 ile tam bölündüğüne göre, a kaçtır? P(x) polinomu x – 3 ile tam bölündüğüne göre ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x) x – 3 B(x) P(x) = (x – 3).B(x) + 0 3 3 demektir. Yani; P(3) = 0 Bunu kullanalım. P(2x – 1) = x3 – 2x2 – x + a 2 2 2 2 Kalan sıfır demektir. P(3) = 8 – 8 – 2 + a Çünkü 2 yazınca P(3) gelmiş olur. 0 = -2 + a 2 = a olur.

11) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 olduğuna göre, P(x) = 2x3 – 3x2 – 1 polinomunun x + 1 ile bölümden elde edilen bölüm Q(x) polinomu Q(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? -1 P(-1) = -2 – 3 – 1 = -6 -1 -1 ÇÖZÜM: -1 P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan = -1 P(-1) = -6 P(x) x + 1 Q(x) Bölmenin sağlaması gereği; P(x) = (x + 1).Q(x) + (-6) Kalan -6 Bunun ne olduğunu bilmiyoruz. 2x3 – 3x2 – 1 = (x + 1).Q(x) – 6 olarak veriliyor. 1 1 1 1 2 – 3 – 1 = 2.Q(1) – 6 Neden 1 yazdık? -2 = 2.Q(1) – 6 Çünkü Q(1) soruluyor. 4 = 2.Q(1) Çünkü Q(x) in katsayıları toplamı = Q(1) dir. 1 2 = Q(1) istenendir.

12) A) x + 1 B) x – 1 C) x + 4 D) x – 4 E) –x – 1 P(x) = 3x3 – x2 + 1 polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x) x2 – x + 1 Kalan Bölmenin sağlaması gereği; B(x) x – 1 x2 yerlerine x – 1 yazarsak kalan bulunur. P(x) = (x2 – x + 1).B(x) + Kalan = ? Bu çarpanı sıfırlayarak. Bundan nasıl kurtuluruz? 3x3 – x2 + 1 = -1 x – 1 x2 – x + 1 = 0 x – 1 (x2 – x + 1).B(x) + Kalan Bunu ayrıca yapalım. x2 = x – 1 -3 – (x – 1) + 1 = 0 + Kalan Bölüme B(x) diyelim. -3 – x + 1 + 1 = Kalan x – 1 -x – 1 = Kalan x3 = x2.x = (x – 1).x = x – 1 x2 – x = x – 1 – x = -1 olur.

13) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 P(x) polinomunun x2 – 5x + 6 ile bölümünden kalan 2x – 1 dir. Buna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x2 – 5x + 6 ile bölümünden kalan 2x – 1 dir P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır ÇÖZÜM: P(x) x2 – 5x + 6 2x – 1 Bölmenin sağlaması gereği; B(x) P(x) = (x2 – 5x + 6).B(x) + 2x – 1 olur. 3 3 3 3 P(3) = 0 + 2.3 - 1 P(3) = 5 istenen kalandır. 3 3 P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan = P(3) dür.

14) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 3 ve Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, x.P(x) – Q(x – 1) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 3 P(2) = 3 Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 Q(1) = 2 ÇÖZÜM: 2 2 x.P(x) – Q(x – 1) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan = 2.P(2) – Q(1) 3 2 ............. = 4 6 – 2 Artık bunu yapabilecek kadar seviyeye gelmiş olmalısınız.

15) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(2x – 1) Q(x + 1) = x2 + x – 1 Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, P(x + 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? Q(2) = 2 Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 ÇÖZÜM: P(x + 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan = -1 P(1) = ? -1 Bunu bulmak için verilenden faydalanalım. 1 P(2x – 1) Q(x + 1) = x2 + x – 1 1 1 1 2x – 1 = 1 P(1) 1 = 1 + 1 – 1 2x = 2 Q(2) 2 x = 1 x yerlerine ne yazarsak P(1) gelir? P(1) = 2 istenendir.

16) A) 31x + 31 B) 31x – 31 C) 32x – 1 D) 32x – 32 E) 32x + 32 P(x) = 3x3 – x2 – 3x + 1 polinomunun x2 – 4x + 3 ile bölümünden kalan nedir? x2 – 4x + 3 ÇÖZÜM: x2 – 4x + 3 = 0 x2 = 4x – 3 x2 yerlerine 4x – 3 yazınca kalan bulunur. Artık eskisi gibi uzatmaya gerek yok. 13x–12 P(x) = 3x3 – x2 – 3x + 1 4x – 3 Kalan = 3.(13x – 12) – (4x – 3) – 3x + 1 Bunu ayrıca yapalım. Kalan = 39x – 36 – 4x + 3 – 3x + 1 Kalan = 32x – 32 olur. x3 = 4x – 3 x2.x = (4x – 3).x = 4x2 – 3x 4x – 3 = 4.(4x – 3) – 3x = 16x – 12 – 3x = 13x – 12

17) 8 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 P(x) = (x2 + 1).(ax2 + 2x + 3) – 4 polinomunun bir çarpanı x + 1 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun bir çarpanı x + 1 ise P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan ÇÖZÜM: P(x) = (x + 1).Q(x) gibidir. İstenen = P(1) (x2 + 1).(ax2 + 2x + 3) – 4 = (x + 1).Q(x) -1 -1 -1 -1 2.(-a – 2 + 3) = 0 2.(-a + 1) = 0 -a + 1 = 0 a = 1 -a = -1 Çünkü; -1 yazınca Q(x) den kurtuluruz. 1 P(x) = (x2 + 1).(ax2 + 2x + 3) – 4 1 1 1 1 P(1) = (1 + 1).(1 + 2 + 3) – 4 8 P(1) = istenendir.

18) A) x B) x2 + 1 C) x3 D) x2 – 1 E) x4 olduğuna göre, P(2x – 1) = 4x2 – 4x + 1 P(x2) polinomu aşağıdakilerden hangisine eşittir? ÇÖZÜM: P(2x – 1) = 4x2 – 4x + 1 P(2x – 1) = 2x – 1 (2x – 1)2 Çarpanlara ayırma konusundan tam kareli ifadeleri biliyor olmalıyız. İstenen = P(x2) = x2 (x2)2 = x4 P polinomu içine aldığı şeye sadece karesini alma işlemi yapıyor demektir. olur. bununda sadece karesini alacak demektir.

19) A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 P(x) = 2x2 – 3x + 1 olduğuna göre, P(x2) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: -2 P(x2) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan = P(4) = ? -2 P(x) = 2x2 – 3x + 1 4 4 4 P(4) = 32 – 12 + 1 Çünkü P(4) ü arıyoruz. P(4) = 21 olur.

20) P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2, P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2).(x + 1) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? verilenlerin çarpımıdır. P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 tür istenen şey. olmaz. olmaz. olmaz. olmaz. olur. ÇÖZÜM: P(2) = 2 P(-1) = 3 Kullanmaya gerek kalmadı bile. x yerine 2 yazdığımızda sonucu 2 olan şıklar doğru cevaptır. Şıklarda; Konu anlatımında bu durumlar için kolay yol vardı. Kullanalım.

POLİNOMLAR TESTİ-4

1) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 P(x) = xn+4 + 2.x-n + 2 polinomunun derecesi en fazla kaçtır? ÇÖZÜM: n ≥ -4 Burası doğal sayı olmaz. n + 4 ≥ 0 P(x) = xn+4 + 2.x-n + 2 n yi pozitif tamsayı alırsak En fazla 4 olur. 1 n = -4 için polinom = P(x) = x0 + 2.x4 + 4 = 2.x4 + 5 n = -3 için polinom = P(x) = x1 + 2.x3 + 2 Gittikçe derece azalıyor.

2) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (2x4 – 3x2 + 8x + 11).(x3 – 2x2 + 6x – 3) çarpımında x4 lü terimin katsayısı kaçtır? ÇÖZÜM: (2x4 – 3x2 + 8x + 11).(x3 – 2x2 + 6x – 3) -6x4 + 6x4 + 8x4 = 8x4 x4 lü terimin katsayısı 8 olur. x4 lü terimler nerelerin çarpımından gelir? Belirleyelim. Başka yerlerden gelmez.

3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 P(x) = 2x3 – x + a x + 1 P(x) bir polinom olduğuna göre, P(-1) kaçtır? ÇÖZÜM: P(x) = 2x2 – 2x + 1 -1 -1 -1 P(x) = 2x3 – x + a x + 1 2x3 – x + 1 = = 2x2 – 2x + 1 P(-1) = 5 x + 1 olur. 2x3 x = 2x2 Demek ki tam bölünme oluyor ki P(x) polinom oluyor. 2x3 – x + 1 x + 1 Yani; 2x2 2x3 + 2x2 – 2x + 1 Pay kısmını çarpanlara ayırmak zor gözüküyor. O halde normal bölme yaparak sonuca gidelim. -2x2 x = -2x x + 1 ifadesi 2x3 – x + a nın bir çarpanı demektir. -2x2 – x + 1 Yani; -2x2 – 2x 2x3 – x + a = (x + 1).Q(x) -1 x + 1 -1 -1 x + 1 -2 + 1 + a = 0 a = 1 olur.

4) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) polinomunun (x – 1).(x + 3) ile bölümünden kalan 2x – 3 tür. Buna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun (x – 1).(x + 3) ile bölümünden kalan 2x – 3 tür. ÇÖZÜM: P(x) (x – 1).(x + 3) 2x – 3 B(x) P(x) = (x – 1).(x + 3).B(x) + 2x – 3 olur. 1 1 1 1 1 P(1) = 0 + 2.1 – 3 P(1) = -1 istenendir 1 İstenen = P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = P(1) = ? 1

5) P(x – 1) = x2 – x + 1 olduğuna göre, A) x + 1 B) 1 C) x – 1 D) -x E) –x + 1 olduğuna göre, P(x – 1) = x2 – x + 1 P(x2) polimomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan nedir? P(x – 1) = x2 – x + 1 Bundan faydalanalım. P(x2) polimomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan nedir ÇÖZÜM: x x P(x2) polimomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan nedir? demek; -1 = P(x) polimomunun x + 1 ile bölümünden kalan nedir? P(-1) = ? demektir. -1 Bunu bulmak için P(x – 1) = x2 – x + 1 P(-1) = 1 istenendir Çünkü 0 yazınca istenen P(-1) bulunur.

6) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan 3x – 4 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan 3x – 4 olduğuna göre, ÇÖZÜM: P(x) x2 – x 3x – 4 B(x) P(x) = (x2 – x).B(x) + 3x – 4 1 1 1 1 1 P(1) = 0 + 3.1 – 4 P(1) = -1 istenendir 1 İstenen = P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan = P(1) = ? 1

7) olduğuna göre, (x + 2).P(x) = x3 + ax + 2 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2) = ? ÇÖZÜM: Bunu arıyorduk dimi? (x + 2).P(x) = x3 + ax + 2 -2 -2 -2 Öncelikle a bulunmalıdır. 0 = -8 – 2a + 2 0 = -6 – 2a 2a = -6 a = -3 Çünkü x = -2 olunca P(x) kaybolur ve a bulunabilir. (x + 2).P(x) = x3 + ax + 2 – 3x 2 2 2 2 4.P(2) = 8 – 6 + 2 Niye 2 yazdık? 4.P(2) = 4 P(2) = 1 istenendir

8) A) -3x + 1 B) x – 1 C) -3x + 4 D) 2x + 4 E) -3x – 1 P(x) polinomunun x – 3 bölümünden kalan 1, P(x) polinomunun x – 4 bölümünden kalan -2 dir. Buna göre, P(x + 2) polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan nedir? P(3) = 1 P(4) = -2 P(x + 2) polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan nedir ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x + 2) x2 – 3x + 2 Kalan (x – 1).(x – 2) P(x + 2) = (x2 – 3x + 2) . B(x) + ax + b B(x) 1 2 Burayı sıfır yapan 1 ve 2 değerlerini yazalım. -1 -2 Bundan kurtulmak için ax + b = ? a + b P(3) = 0 + a + b = 1 -3 + b = 1 -3 4 b = 4 Kalan = -3x + 4 P(4) = 0 + 2a + b 2a + b = -2 Bölüme B(x) diyelim. -a = 3 a = -3 istenendir.

9) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) = x5 – 2x3 – ax + b polinomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan 2x – 1 olduğuna göre, a – b farkı kaçtır? P(x) = x5 – 2x3 – ax + b polinomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan 2x – 1 ÇÖZÜM: x5 – 2x3 – ax + b x2 + 1 2x – 1 B(x) Bölmenin sağlaması gereği; diyelim. x -x -1 yazarız. x5 – 2x3 – ax + b = (x2 + 1).B(x) + 2x – 1 Bunu bulalım. Bunu bulalım. Bundan kurtulmak için; şeklinde imiş. x – 2.(-x) – ax + b = 0 + 2x – 1 x3 = x2.x -1 = -x 3x – ax + b = 2x – 1 -1 -1 x5 = x2.x2.x = x Fakat tüm x2 yerlerine -1 yazmalıyız. -ax + b = -x – 1 = 2 İstenen = a – b olur. 1 -1 a = 1 b = -1 -a = -1

10) A) 3x2 – 5x + 1 P(x) polinomunun x2 + x ile bölümünden kalan 2x – 1, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre, P(x) polinomunun x3 – x ile bölümünden kalan nedir? B) 3x2 + 5x – 1 C) 3x2 – 5x – 1 D) x2 – 5x + 1 E) x2 – 5x – 1 (x2 + x).(x – 1) = x(x + 1).(x – 1) = x.(x2 – 1) = x3 – x P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7 Bu ifade verilenlerin çarpımı mı? ÇÖZÜM: P(1) = 7 Doğru cevap şıkkında x yerine 1 yazıldığında sonucun 7 çıkması gerekir. Bu durum sadece B) şıkkında vardır. Bu durumu başka şık da sağlasa idi diğer bilgiyi kullanacaktık. Evet. Ama gerek kalmadı. O halde; Çünkü bu bir test sorusu ve yukarıdaki espiriyi bilen kazanacak.

11) A) -20 B) -19 C) -18 D) -17 E) -16 olduğuna göre, P(x) polinomunun x2 + 2x – 15 ile bölümünden kalan 4x + 3 P(x) polinomunun x + 5 bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x2 + 2x – 15 ile bölümünden kalan 4x + 3 ÇÖZÜM: P(x) x2 + 2x – 15 B(x) Bölmenin sağlaması gereği; diyelim. 4x + 3 P(x) = (x2 + 2x – 15).B(x) + 4x + 3 -5 -5 -5 -5 -5 imiş. P(-5) = 0 + (-20) + 3 P(-5) = -17 istenendir -5 İstenen = P(x) polinomunun x + 5 ile bölümünden kalan = P(5) = ? -5

12) A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4 P(x + 3) = x3 + 2x2 + x + m P(3 – x) polinomunun bir çarpanı 2 – x olduğuna göre, m kaçtır? P(3 – x) polinomunun bir çarpanı 2 – x olduğuna göre ÇÖZÜM: P(3 – x) = (2 – x).Q(x) 2 2 P(1) = 0 gibi bir şey bu. demektir. P(x + 3) = x3 + 2x2 + x + m -2 -2 -2 -2 P(1) = -8 + 8 – 2 + m 0 = -2 + m Çünkü -2 yazınca P(1) gelmiş olur. 2 = m istenendir

13) A) -5x + 2 B) 5x – 2 C) 5x + 2 D) 2x + 5 E) 2x – 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan 2x2 – 3x + 4 P(x) polinomunun x2 + x + 1 ile bölümünden kalan nedir? P(x) polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan 2x2 – 3x + 4 P(x) polinomunun x2 + x + 1 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x) x3 – 1 P(x) = (x3 – 1). B(x) + 2x2 – 3x + 4 olur. B(x) 2x2 – 3x + 4 P(x) = (x2 + x + 1).M(x) + Kalan P(x) x2 + x + 1 Kalan = ? M(x) imiş. (x – 1).(x2 + x + 1) -x – 1 (x3 – 1). B(x) + 2x2 – 3x + 4 = -x – 1 -x – 1 (x2 + x + 1).M(x) + Kalan -2x – 2 – 3x + 4 = Kalan 0 + Kalan Yazınca M(x) kaybolur ve Kalan bulunur. -5x + 2 = Kalan istenendir

14) A) -6 B) -2 C) 2 D) 3 E) 6 olduğuna göre, (x – 1).P(x + 1) = x4 + 2x2 + 3x + a P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? Önce a bulunmalı. ÇÖZÜM: (x – 1).P(x + 1) = x4 + 2x2 + 3x + a – 6 1 1 1 1 1 0 = 1 + 2 + 3 + a (x – 1).P(x + 1) = x4 + 2x2 + 3x – 6 -6 = a -1.P(1) = -6 P(1) = 6 istenendir 3 İstenen = P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan = P(1) 3

15) A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 olduğuna göre, P(x) + P(2x) = 5x2 – 9x + 2 P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan = P(-2) = ? -1 -1 ax2 + bx + c + a(2x)2 + b.(2x) + c = 5x2 – 9x + 2 Eli mahkum P(x) polinomunun ne olduğunu bulmak zorundayız. P(x) polinomunun II. dereceden olduğu kesin. (a + 4a)x2 + (b + 2b)x + 2c = 5x2 – 9x + 2 istenendir P(x) = ax2 + bx + c P(-2) = 11 5a = 5 3b = -9 2c = 2 olarak kabul edelim. P(-2) = (-2)2 – 3(-2) + 1 a = 1 b = -3 c = 1 P(x) = x2 – 3x + 1 1 -3 1 P(x) = ax2 + bx + c 2x 2x 2x

16) A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x + 2)2 ile bölümünden kalan -2x + 3 P(x) polinomunun 2x + 4 bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun (x + 2)2 ile bölümünden kalan -2x + 3 ÇÖZÜM: Bölmenin sağlaması gereği; P(x) (x + 2)2 B(x) P(x) = (x + 2)2.B(x) – 2x + 3 -2 -2 -2 -2 -2x + 3 P(-2) = 0 + 4 + 3 imiş. P(-2) = 7 istenendir -2 İstenen = P(x) polinomunun 2x + 4 ile bölümünden kalan = P(-2) -2

17) A) 2x – 4 B) 2x + 6 C) 6x – 2 D) 6x + 2 E) 2x + 2 P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm x2 + 3 ve kalan 2 dir. Buna göre, P(x) polinomunun (x – 1)2 bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm x2 + 3 ve kalan 2 dir P(x) polinomunun (x – 1)2 bölümünden kalan kaçtır ÇÖZÜM: P(x) = (x – 1)2 . B(x) + Kalan P(x) (x – 1)2 Kalan B(x) 2x – 1 yazmamız gerekir. (x – 2).(x2 + 3) + 2 = 2x – 1 (x2 – 2x + 1) . B(x) + Kalan Bundan kurtulmak için; (x – 2).(2x – 1 + 3) + 2 = 0 + Kalan Kalan P(x) x – 2 Biraz zordu dimi? (x – 2).(2x +2 ) + 2 = Kalan x2 + 3 2 2x2 + 2x – 4x – 4 + 2 = Kalan 2x – 1 2x2 – 2x – 2 = Kalan P(x) = (x – 2).(x2 + 3) + 2 olur. 2.(2x – 1) – 2x – 2 = Kalan 2x – 4 4x – 2 – 2x – 2 = Kalan

Bu soru Türev kullanarak da çözülmektedir. 18) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 P(x) = x3 + ax + b polinomu (x – 1)2 ile tam bölündüğüne göre, b kaçtır? P(x) polinomu (x – 1)2 ile tam bölündüğüne göre ÇÖZÜM: (x – 1)2 P(x) Bölmenin sağlaması gereği; B(x) P(x) = (x – 1)2 . B(x) x3 + ax + b = (x – 1)2 . B(x) 1 1 1 Bundan kurtulcaz. 3x – 2 demektir. x3 + ax + b = 2x – 1 (x2 – 2x + 1).B(x) 1 + a + b = 0 a + b = -1 3x – 2 + ax + b = 0 Bu şekilde sıfır yaparsanız b bulunamaz. Fakat tüm x2 yerlerine 2x – 1 yazmalıyız. ax + b = -3x + 2 Bu soru Türev kullanarak da çözülmektedir. Ama bu yeterli bence. 2x – 1 Peki ne yapcaz. x2.x = (2x – 1).x yazarsak sağ taraf sıfır olur. = 2x – 1 2x2 – x = 4x – 2 – x = 3x – 2 İzleyin canlarım. b = 2 olur.

19) A) 2x – 3 B) 2x – 1 C) 2x + 1 D) x – 2 E) x + 1 P(x + 2) + P(x) = 4x + 6 olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? ÇÖZÜM: P(x) = ax + b P(x + 2) = a(x + 2) + b a(x + 2) + b + ax + b = 4x + 6 P(x) polinomunun I. dereceden olması gerekir. P(x) = ax + b ax + 2a + ax + 2b = 4x + 6 olarak alalım. P(x) = ax + b 2ax + 2a + 2b = 4x + 6 2 1 P(x) = 2x + 1 2 olur. 2a + 2b = 6 2a = 4 a = 2 4 + 2b = 6 2b = 2 b = 1

20) a4 + 4 a2 + 2a + 2 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) a2 – a + 2 B) a2 + a + 1 C) a2 – 1 D) a2 – 2a + 2 E) a2 + 2a + 2 = 2 = 3 = 0 = 1 1 1 1 1 1 1 1 Bu doğru şık. ÇÖZÜM: 1 a4 + 4 a2 + 2a + 2 5 a = 1 için = = 1 olur. 5 1 1 Bunun sade şekli olan şıklarda da x = 1 için sonuç 1 çıkan şık doğrudur.