POLİNOMLAR TANIM: P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0 biçimindeki ifadelere reel katsayılı bir bilinmeyenli polinom denir. anxn, an-1xn-1, ... , a1x+a0 Polinomun terimleri an , an-1 , ... , a1 ,a0 Terimlerin katsayıları an başkatsayı a0 sabit terimdir.

ÖRNEK1: reel katsayılı 3. dereceden bir polinomdur. Başkatsayısı Sabit terimi 4 tür.

ÖRNEK2: ifadesi Çünkü; bir polinom değildir.

SABİT POLİNOM Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

ÖRNEK1: sabit polinom ise a,b ve c değerleri ile P(x) polinomunu bulunuz.

ÇÖZÜM: a-2=0 ise a=2 2b-3=0 ise b=3/2 (c-1)/3=0 ise c=1 dir. Sabit polinomlarda x içeren terimlerin katsayıları sıfır olacağından, a-2=0 ise a=2 2b-3=0 ise b=3/2 (c-1)/3=0 ise c=1 dir. Bu değerler P(x) polinomunda yerlerine konursa, P(x)=-4.(3/2)x+5=-1 bulunur.

SIFIR POLİNOMU ÖRNEK1: ÇÖZÜM: an=an-1=...=a1=a0 ise P(x) polinomuna sıfır polinomu denir ve P(x)=0 olarak gösterilir. Bütün katsayılar sıfır olduğundan (P(x)=0xn+0xn-1+...+0x+0=0) sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. ÖRNEK1: P(x)=(3-a)x4+(2b-4)x2+(c-1)x+2a-b+d polinomu sıfır polinomu ise a+b+c+d=? ÇÖZÜM: P(x)=0 ise tüm terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Buna göre; 3-a=0 ise a=3 2b-4=0 ise b=2 ve a+b+c+d=10 bulunur c-1=0 ise c=1 2a-b+d=0 ise d=4 tür

ÖRNEK: ÇÖZÜM: POLİNOM OLMA KOŞULU P(x)=3x2-4xm-2+5x6-m+3 ifadesinin bir polinom belirtmesi için m’in alabileceği değerler kümesini bulunuz. ÇÖZÜM: P(x) bir polinom ise m-2 N ve (6-m) N olmalıdır. m-2 N ise m-2 0, m ve m 2 N 6-m N ise 6-m 0, m 6 ve m N 2,3,4,5,6 bulunur

POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ TANIM: Dereceleri eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları karşılıklı olarak birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir. ÖRNEK1: P(x)=2x4-ax2+2x+3b-1 ve Q(x)=(c-1)xn+(d-2)x3+3x2+2ex-4 polinomları eşit polinomlar ise n,a,b,c,d,e sayılarını bulunuz. ÇÖZÜM: P(X)=Q(x) ise der(p(x))=der(Q(x)) olacağından n=4 tür Eşit polinomlarda aynı dereceli terimlerin katsyıları eşit olacağından; c-1=2 ise c=3 , d-2=0 ise d=2 (P(x) te x3lü terimin katsayısı sıfırdır.) -a=3 ise a=-3 , 2=2e ise e=1 3b-1=-4 ise b=-1 bulunur.

ÖRNEK1: POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. TOPLAMA VE ÇIKARMA: İki polinomu toplar veya çıkarırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. ÖRNEK1: P(x)=5x4-2x3+3x+4 ve Q(x)=4x3+6x2-2x-7 ise A. P(x)+Q(x)=5x4+(-2+4)x3+6x2+(3-2)x+(4-7) =5x4+2x3+6x2+x-3 B. 2.P(x)-3Q(x)=(10x4-4x3+6x+8)-(12x3+18x2-6x-21) =10x4+(-4-12)x3-18x2+(6+6)x+8+21 =10x4-16x3-18x2+12x+29

UYARI:1 UYARI2: olmak üzere; Der(P(x))=n Der(Q(x))=m olmak üzere; Der(P(x))=n Der(Q(x))=m ise der(a.P(x)+b.Q(x))=n dir. UYARI2: P(x) ve Q(x) n. dereceden iki polinom ise, Der(a.P(x)+b.Q(x)) en çok n olabilir.

ÖRNEK1: 2. POLİNOMLARDA ÇARPMA: İki polinomu çarparken birinci polinomun her bir terimini ikinci polinomun her bir terimi ile çarpar ve aynı dereceli terimleri toplarız. ÖRNEK1: P(x)=x2-3 ve Q(x)=2x3-4x+1 P(x).Q(x)=( x2-3).( 2x3-4x+1) =x2(2x3-4x+1)-3(2x3-4x+1) =2x5-4x3+x2-6x3+12x-3 =2x5-10x3+x2+12x-3

ÖRNEK: ÇÖZÜM: UYARI: Der(P(x))=n Der(Q(x))=m ise der(P(x).Q(x))=m+n dir. ÖRNEK: P(x)=xn+5 ve Q(x)=x6/n-3 polinomları veriliyor. A(x)=P(x).Q(x) olduğuna göre A(x) polinomunun derecesi kaç farklı değer alabilir? ÇÖZÜM: der(A(x))=der(P(x)+derQ(x)=n+6/n dir. olacak şekilde n değerleri alınırsa, n=1 için der(A(x))=1+6/1=7 n=2 için der(A(x))=2+6/2=5 n=3 için der(A(x))=3+6/3=5 n=6 için der(A(x))=6+6/6=7 olmak üzere A(x) polinomunun derecesi iki farklı değer alır.

POLİNOMLARDA BÖLME: P(x) Q(x) Bölme işleminde ; . B(x) P(x)= Q(x).B(x)+K(x) Bölünen =bölen.bölüm+kalan - 1. der(P(x)) der(Q(x)) K(x) 2. der(K(x)) < der(Q(x)) 3. der(K(x)) < der(B(x)) ise Q(x) ile B(x)’ in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez. 4.K(x)=0 ise P(x) polinomu Q(x)’ e tam bölünür.

ÖRNEK: P(x)= x4-2x3+3x-5 polinomunu Q(x)=2x2-4 polinomuna bölelim. +1 Bölüm=B(x)= -2x3+2x2+3x-5 Kalan=K(x)=-x-1 dir. -2x3+4x 2x2-x-5 2x2-4 -x-1

ÖRNEK: UYARI: der(P(x))=m, der(Q(x))=n ve m > n olmak üzere der(P(x):Q(x))=m-n , der(pk(x))=k.m dir. ÖRNEK: P(x)=(x2-x+2)3 ve der(Q(x))= 4 olduğuna göre ; a) der(P(x))= 2.3 = 6 dır. b) der(P(x)-Q(x))= der(P(x)= 6 dır. c) (der( x3.Q2(x)) = 3+2.4 = 11 dir.

2. P(x) in x=k için değeri: P(x) = anxn +an-1xn-1 +...+a1x+a0 polinomunun x=k için değeri ; P(k) = ankn +an-1kn-1+...+a1k+a0 dır. a. P( 1 ) = an + an-1 + . . . +a1 + a0 P(x) polinomunun katsayılar toplamıdır. b. P( 0 ) = a0 P(x) polinomunun sabit terimidir. x’ in çift kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamıdır. c. x’ in tek kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamıdır. d.

ÖRNEK: P(x)=(2x2+x-5)3 polinomunun ; a. Katsayılar toplamı: P(1)=(2+1-5)3 = (-2)3 = -8 dir. b. Sabit terimi : P(0) = (-5)3 = - 125 tir. c. Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı : d. Tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı :

P(x) polinomunun ax+b ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için; ax+b=0 denkleminin kökü olan x=-b/a için P(x)polinomunun değeri olan P(-b/a) hesaplanır. Çünkü P(x)=(ax+b).B(x)+K ise P(-b/a)=K dır. ÖRNEK: P(x) = x4-x2+2x+5 polinomunun x+2’ ye bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: x+2=0 ise x=-2 dir. Buna göre kalan P(-2) dir. K=P(-2)= (-2)4-(-2)2+2(-2)+5= 16-4-4+5= 13 bulunur.

ÖRNEK: P(x)= x3+(k-1)x2+kx-13 polinomunun x-2 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre x+2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(2)=3 olduğundan; 8+4k-4+2k-13=3 ise k=2 dir. Yani ; P(x)= x3+x2+2x-13 tür. P(x) in x+2 ile bölümünden kalan P(-2) olduğundan ; P(-2) = -8+4-4-13=-21 olur.

Bir polinomun herhangi bir polinom ile bölümünden kalanı bulmak: 1. axn+b ile bölümünden kalanı bulmak için (axn+b=0 ise xn=-b/a) ; polinomda xn yerine –b/a yazılır. ÖRNEK1: P(x) = 3x3-2x2-1 polinomunun x2-4 polinomuna bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: x2-4=0 ise x2 = 4 (polinomda x2yerine 4 yazılacak) P(x) =3x2.x-2x2-1 Kalan=3(4)x-2(4)-1 Kalan= 12x-9 olur.

ÖRNEK2: P(x) = x3-x2+mx+n polinomunun x2+x-2 ye bölümünden kalan 2x-5 ise m-n=? ÇÖZÜM: x2+x-2=0 ise x2=2-x P(x)=x2.x-x2+mx+n K(x)=(2-x).x-(2-x)+mx+n = 2x-5 K(x)=2x –x2-2+x+mx+n = 2x-5 K(x)=3x –(2-x)-2+mx+n = 2x-5 K(x)=(4+m)x+n-4 = 2x-5 (polinom eşitliğinden) 4+m=2 ise m=-2 ve n-4=-5 ise n=-1 bulunur. m-n=-2-(-1)=-1 elde edilir.

ÖRNEK3: P(x) bir polinom olmak üzere , (x+1).P(x)+3=x3+mx2-5x-2 dir. P(x)’ in x-3 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: Önce m’yi bulmak için x=-1 alırsak; (-1+1).P(-1)+3=-1+m+5-2 0+3=-1+m+5-2’ den m=1 bulunur. Buna göre; (x+1).P(x)+3=x3+x2-5x-2 dir. Kalan P(3) olacağından; x= 3 alırsak; 4.P(3)+3=27+9-15-2 4P(3)=16 P(3)=4 bulunur.

P(x) polinomu (x-a).(x-b).(x-c)... KURAL: P(x) polinomu (x-a).(x-b).(x-c)... ile tam olarak bölünebiliyorsa x-a,x-b,x-c... ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür. ÖRNEK4: P(x)=x3+mx2+nx+2 polinomu Q(x)=x2-3x+2polinomuna tam bölünebildiğine göre m.n=? ÇÖZÜM: x2-3x+2=(x-2)(x-1) olduğundan P(x) polinomu x-2 ve x-1’e tam bölünür. P(2)=0 ise 8+4m+2n+2=0 P(1)=0 ise 1+m+n+2=0 2m+n=-5 m+n=-3 m=-2 ve n=-1 bulunur. m.n =2 dir.

ÖRNEK5: P(4x-2)= x3+2x+m polinomu veriliyor. P( x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre P( x+1) polinomunun x+11 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan ; P(5-3)=P(2)=8 P(x+1) polinomunun x+11 ile bölümünden kalan ; P(-11+1)=P(-10) dur. O halde; P(2)=P(4.1-2)=13+2.1+m=8 ise m=5 tir. P(-10)=P(4.(-2)-2)=-8-4+5=-7 dir.

ÖRNEK6: ÇÖZÜM: Bir P(x) polinomunun x-2 ilebölümünden kalan 7,x+1 ile bölümünden kalan 1 ise P(x) in x2-x-2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x)=(x2-x-2).Q(x)+ ax+b şeklindedir. ( Bölen 2. dereceden olduğundan kalan 1. dereceden olacaktır.) P(2) = 7 ve P(-1) = 1 olduğundan ; 2a+b=7 ve -a+b=1 2a+b=7 -a+b=1 a=2 , b=3 , Kalan= K(x)= 2x+3 tür.

ÖRNEK7: ÇÖZÜM: P(x) polinomu x-3 ile bölündüğünde bölüm Q(x) kalan 4’tür.Q(x) polinomunun x+2 ile bölümünden kalan 3 ise P(x)’in x2-x-6 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x)= (x-3). Q(x) +4 Q(x) 1. eşitlikte yerine konursa, Q(x)= (x+2). B(x) +3 P(x)= (x-3). +4 P(x)= (x-3). (x+2)B(x) +3(x-3) +4 P(x)= (x2-x-6) B(x) +3x-5 P(x)’in x2-x-6 ile bölümünden kalan; K(x)= 3x-5 tir.