Matematik Günleri

Matematiğin günlük hayatımızda, bizimle olmadığı alan yoktur Matematiğin günlük hayatımızda, bizimle olmadığı alan yoktur. Ancak biz bunun pek farkına varmayız. Genelde toplum tarafından matematik alışveriş , hareket, havuz problemlerini çözme yollarını öğreten bilim dalı olarak algılanmakta ve üzülerek belirtmeliyim ki, bu yanlış algılama eğitim programlarını düzenleyenlerin düşüncelerini de şekillendirmektedir. Bu nedenle:

Programlar hazırlanırken her problem bir alış veriş problemi mantığıyla sunulmaya çalışılmaktadır. Bu durum matematik öğreticilerinin her matematik problemine, günlük hayattan örnek seçme ve öğrenene kabul ettirme gibi yeni bir problemin doğmasına neden olmaktadır. Oysa bu gayrete gerek olmadığını düşünüyorum. Çünkü MATEMATİK HAYATIN KENDİSİDİR. Özel olarak matematiği günlük uygulamalarla kabul ettirme gayretine gerek yoktur.

Öğrencilerimize matematiği sevdirmenin yolunun, matematiğin insanın hayat maratonundaki problemler karşısında sürekli hazır olmasını sağlayan bir antrenman programı olduğunu kabul ettirmekten geçtiğine inanıyorum. Ancak bu sayede insan düşüncesi üretken bir hale gelir. Aksi taktirde günümüzdeki gibi formül ezberleyen, ezberledikleriyle test çözen ve yorum yapmaya gelince de tıkanan bir grup insan ortaya çıkar. Bu grup insanın eğitildiğini, yetiştirildiğini ise kimse iddia edemez.

Ben matematikçi değilim. Matematik üretmiyorum Ben matematikçi değilim. Matematik üretmiyorum. Matematik öğretmeye çalışıyorum. Bunu yaparken de zaman zaman çeşitli problemlere kendimize göre izahlar getiriyor, çeşitli çözümler üretiyoruz. Bu çözümler genel değil özel çözümler. Ancak çözüm özel de olsa mutlaka ispatı gerekir. Bu sunum fırsatından faydalanarak üzerinde çalıştığım birkaç konulardan ikisini sunmak istiyorum

İntegralsiz Limit

n, mQ+ olmak üzere yukarıdaki limit hesaplamaları genellikle [0,1] aralığında integralle yapılmaktadır. Yaptığımız çalışma bu limit değerinin hesabını integral almadan da yapabilmemize imkan vermektedir.

Hareket noktamız (n – 1)p+1 ,(pN), ifadesinin Binom açılımıdır Hareket noktamız (n – 1)p+1 ,(pN), ifadesinin Binom açılımıdır. Bilindiği üzere: Bu açılımdan faydalanarak

ifadesini hesaplayalım Görüldüğü gibi A(n) derecesi p – 1 olan bir ifadedir ve şeklinde yazılabilir..

olarak yazlan ifadede. n yerine 1 den başlayarak n ye kadar değerler verilir ve taraf tarafa toplanırsa

Olur. Burada hesaplanırsa

olarak bulunur. Buradan da anlaşılacağı gibi yukarıda elde edilen toplam baş katsayısı ve derecesi p + 1 olan bir ifadedir. T(n) ifadesi A(n) lerin toplamı olduğundan derecesi p – 1 dir. Bu durum göz önüne alınıp her iki taraf np+1 ile bölünür ve limite geçilirse

Limit sonsuz için hesaplanacağından üs olan p nin doğal sayı olması İfadesi elde edilir. Limit sonsuz için hesaplanacağından üs olan p nin doğal sayı olması yerine bir rasyonel sayı değeri de alınabileceği düşünülerek aşağıdaki sonucu yazabiliriz:

pQ+ olmak üzere sonucu elde edilir.

Buna göre genelleme yapacak olursak: Elde edilen ifadenin payının derecesi nQ+, paydasının derecesi mQ+ olmak üzere değerini alır.

Formülde dir. m=n+1 olduğundan sonuç olarak bulunur

Verilen ifadede dir. Burada m > n +1 olduğundan Limitin değeri 0 dır.

Burada n=2 ve m=3 dür. m=n+1 olduğundan sonuç olarak bulunur

Yukarıda birincide n=0, m=1, ikincide n=1, m=2 ve üçüncüde n=2, m=3 olduğundan Limitin değeri olarak bulunur. Paydada çarpan olarak yazılan 2, paydada parantez içinin limitinin değeridir.

Elips ve Hiperbol için yeni tanımlar

Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +Ey + F = 0 ikinci derece genel denkleminde; Bilinen haliyle Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +Ey + F = 0 ikinci derece genel denkleminde; A = C ve B = 0 ise denklem çember, B2 – 4AC < 0 ise denklem elips, B2 – 4AC = 0 ise denklem parabol, B2 – 4AC > 0 ise denklem hiperbol belirtir. Aşağıda yapılan çalışmayla bu denklemde B = 0 olması durumuna farklı bir boyut kazandırılmış, çember, elips ve hiperbol tanımına farklı bir bakış açısı getirilmiştir.

Düzlemde sabit iki noktadan geçen ve eğimleri çarpımı sabit olan iki doğrunun kesişme noktasının geometrik yeri bu sabit sayının değerine göre çember, elips veya hiperbol olarak karşımıza çıkar.

k=0 ise x eksenine paralel iki doğru Şöyle ki: “Q(x1, y1), Q’(x2, y2) noktaları herhangi sabit iki nokta olsun. P(x, y) olmak üzere Eğim(PQ).Eğim(PQ’)=k gibi bir sabit sayı olmak üzere P noktalarının geometrik yeri k = – 1 ise bir çember, k < 0 ve k≠ – 1 ise elips, k > 0 ise hiperbol k=0 ise x eksenine paralel iki doğru belirtir.”

İddiamızın İspatı olup çarpılır ve k sayısına eşitlenirse: Ve Bu eşitlik düzenlenirse

kx2 – y2 – k(x1 + x2)x + (y1 + y2)y + kx1x2 – y1y2 = 0 Bulunan bu ifade Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +Ey + F = 0 ikinci dereceden genel ifade ile karşılaştırılırsa olduğu görülür. Bu değerler B2 – 4AC değerinde yerine yazılırsa aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.

k = – 1 olsun: elde edilir ki bu bir çember denklemidir Bu çemberin merkezi

B2 – 4AC de yerine yazılırsa; k ≠ – 1 ve k < 0 ise Yukarıdaki değerler B2 – 4AC de yerine yazılırsa; elde edilir ki bu durumda P noktalarının geometrik yeri bir elipstir. Yani görüldüğü gibi k<0 olduğunda 𝑘≠ −1 için geometrik yer bir elipstir.

Yukarıdaki değerler B2 – 4AC de yerine yazılırsa k > 0 ise Yukarıdaki değerler B2 – 4AC de yerine yazılırsa elde edilir ki bu durumda P noktalarının geometrik yeri bir hiperboldür. Özel olarak k = 1 ise bu durumda P noktalarının geometrik yeri bir ikizkenar hiperbol olacaktır. Yani görüldüğü gibi k>0 olduğunda geometrik yer bir hiperboldür.

Verilen şartlardaki doğruların eğimleri çarpımı olan sayı 𝑘= 𝑚 𝑛 olmak üzere buradaki m sayısı standart merkezcil denklemdeki 𝑏 2 , ve n sayısı ise standart merkezcil denklemindeki 𝑎 2 değerleridir.Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

noktaları veriliyor. Düzlemin bir P noktası için PA ve PB doğrularının eğimleri çarpımı ise P noktasının geometrik yeri nedir. Çözüm: P(x,y) olsun. yazılırsa buradan olur. Bu elips denklemi

Oysa bu işlemleri yapmaya gerek yoktu. 𝑘=− 9 25 Olduğuna göre geometrik yer merkezcil elipstir. Bu elipste 𝑎 2 =25 𝑣𝑒 𝑏 2 =9 olduğundan elips denklemi 𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 Şeklindedir.

𝐴 −3,0 , 𝐵 3,0 𝑣𝑒 𝐶 𝑥,𝑦 noktaları veriliyor 𝐴 −3,0 , 𝐵 3,0 𝑣𝑒 𝐶 𝑥,𝑦 noktaları veriliyor. Bir ABC üçgeninde [AC] ve [BC] kenarlarının eğimleri çarpımı 4 9 ise C noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir. Çözüm: k>0 olduğundan geometrik yer bir hiperboldür. Bu hiperbolde 𝑎 2 =9 𝑣𝑒 𝑏 2 =4 olup hiperbol denklemi 𝑥 2 9 − 𝑦 2 4 =1 şeklindedir.

Verilen örneklerde noktalar x ekseni üzerinde alınmıştır Verilen örneklerde noktalar x ekseni üzerinde alınmıştır. Yaptığımız çalışmada düzlemin herhangi iki noktası için gerekli ispatlar yapılmıştır. Burada şunu belirtmek isteriz ki düzlemin noktaları Q 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑣𝑒 𝑄′ 𝑥 2 , 𝑦 2 olsun bu iki noktadan geçen ve kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı k olmak üzere kesişme noktalarının geometrik yeri bulunurken önce aşağıdaki hesaplamalar yapılır.

Eğimlerin çarpımından elde edilen ifade standart hale getirilirse Değerleri hesaplanır. Bu durumda geometrik yerin denklemi

k<0 için 𝑥−𝑝 2 𝑎 2 + 𝑦−𝑞 2 𝑏 2 =1 elipsi, k>0 için 𝑥−𝑝 2 𝑎 2 − 𝑦−𝑞 2 𝑏 2 =1 hiperbolüdür.

Örnek: 𝐴 −1,1 𝑣𝑒 𝐵(5,3) noktaları veriliyor. C(x,y) noktası için 𝐸ğ𝑖𝑚 𝐴𝐶 ∗𝐸ğ𝑖𝑚 𝐵𝐶 =− 1 4 olduğuna göre C noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir. Çözüm. 𝑘=− 1 4 <0 olduğundan geometrik yer bir elipstir. 𝑝=2, 𝑞=2, 𝑎 2 =13 𝑣𝑒 𝑏 2 = 13 4 olup elips denklemi 𝑥−2 2 13 + 𝑦−2 2 13 4 =1 şeklindedir.

MATEMATİK İKNA DEĞİL İSPATTIR. Son söz Unutmayalım ki MATEMATİK İKNA DEĞİL İSPATTIR. Sabır gösterip dinlediğiniz için teşekkür ederim