Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 5 : Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Bileşik Faiz Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Üstel fonksiyonun tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (0 ,  ) dur. Üstel Fonksiyonlar(Exponential Functions). b > 0 , b  1 olmak üzere denklemi ile tanımlanan fonksiyona b tabanında üstel fonksiyon (exponential function with base b) denir. Üstel fonksiyonun tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (0 ,  ) dur. x y (0,0) x y (0,0) 1 1 x y (0,0) x y (0,0) 1 1

Üstel fonksiyonun bazı özellikleri. x y (0,0) x y (0,0) 1 1 Üstel fonksiyonun bazı özellikleri. y-kesişimi (0 , 1) dir. x-ekseni yatay asimptottur. b > 1 ise, x artarken bx de artar; 0 < b < 1 ise, x artarken bx azalır. bx by = bx+y , bx = by  x = y. x  0 ise, ax = bx  a = b. Üstel fonksiyon (-∞,∞) aralığında süreklidir.

Aşağıdaki temel dönüşümü düşünelim: Üstel fonksiyon içeren ifadelerle tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çizerken ikinci derste gördüğümüz temel dönüşümlerden yararlanabiliriz. Örnek. nin grafiğini çizelim. Aşağıdaki temel dönüşümü düşünelim: Buradan görüyoruz ki nin grafiği, in grafiğinin 2 birim sağa kaydırılmasıyla elde edilir. x y (0,0) 1 x y (0,0) (2,1) Aynı grafiğin temel dönüşümünden yararlanılarak y=2x in grafiğinin büzülmesiyle de elde edilebilece-ğine dikkat ediniz.

in grafiğini çizelim. Bu fonksiyonun grafiğinin in grafi- Örnek. in grafiğini çizelim. Bu fonksiyonun grafiğinin in grafi- ğinin 1 birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edileceği açıktır. x y (0,0) (1,0) 1 x y (0,0) x y (0,0) (1,3) 2 1 in grafiği elde edilirken, önceki grafiğin y-kesişiminin 1 birim yukarıya kaydırılarak 2 ye geldiğine ve yatay asimptot olan y = 0 doğrusunun da 1 birim yukarıya kayarak y = 1 doğrusuna dönüştüğüne dikkat ediniz. Örnek. in grafiğini çizelim. Aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek bu grafiği elde etmek için y=2x in grafiğini önce 1 birim sağa kaydırıp elde edilen grafiği x-ekseni etrafında yansıtmak ve sonra da elde edilen grafiği 1 birim yukarıya kaydırmanın yeterli olduğu görülür. Grafiği yukarıda sağda göreceksiniz.

in [-1,1] aralığı üzerinde in grafiğini çizelim. Örnek. in [-1,1] aralığı üzerinde in grafiğini çizelim. Önceki slaytta grafiğini çizmiştik. x y x y (0,0) (1,0) 1 1 (-1,3/4) (1,0) (0,0) Şimdi yapılacak iş bu grafiğin [-1,1] aralığı üzerindeki kısmını, yani -1 ≤ x ≤ 1 olan kısmını almaktır. O zaman, yukarıda sağdaki grafik elde edilir.

e sayısı. e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. x y (0,0) 1

Faiz Hesapları . A birim para r faiz oranı ile, t yıl faizde bekletilirse elde edilecek faiz miktarı yatırılan meblağın ulaştığı değer de formülü ile hesaplanır. Burada, yatırılan para A ya anapara, kapital veya sermaye, t yıl sonunda ulaştığı değere de birikimli değer denir. Faiz oranı r, ondalık kesir olarak ifade edilir. A : Yatırılan para, anapara, sermaye, kapital (Principal). r : faiz oranı (interest rate). Ondalık kesir olarak ifade edilir. t : zaman. B : dönem sonu miktar, birikimli değer (final amount). Örnek . 1000 TL, %10 faiz oranı ile 3 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer TL olur.

Basit faiz hesabında anapara uzun yıllar faizde kalsa dahi her yıl elde edilen faiz ayrıca hesaplanıp anaparaya katılmaz; faiz en sonunda hesaplanır. Her yıl, hatta daha kısa dönemlerde, elde edilen faiz anaparaya katılarak hesaplanan faiz türleri de vardır. Yani belirlenen dönem sonunda kazanılan faiz anaparaya ilave edilir ve o andan itibaren bu ilaveli miktar anapara olarak işlem görür. Bu tür faiz hesabına bileşik faiz denir. Bileşik faiz hesabında bir yıl, belli sayıda, m sayıda diyelim, eşit döneme bölünür; birinci dönem sonunda birikimli değer hesaplanır : ve ikinci dönemin sonunda birikimli değer hesaplanırken anapara olarak bu değer kullanılır: Bu işlem sürdürülerek, bir yıl sonundaki birikimli değer

iki yıl sonundaki birikimli değer ve t yıl sonundaki birikimli değer m : dönem sayısı. Yılda kaç kez birleştirildiği. olarak elde edilir. Örnek. 1 000 TL, %10 faiz oranı ile her ay birleştirilerek 3 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer ne olur? Her ay birleştirildiğinden, m =12. Ayrıca, A= 1000, r=0.1 ve t = 3. Böylece TL olur. yaklaşık

Örnek. 1 000 TL, %10 faiz oranı ile her üç ayda bir birleştirilerek 3 yıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne olur? Her üç ayda bir birleştirildiğinden, m = 4 tür. A= 1000, r= 0.1, t = 3. Böylece, TL olur. Bileşik faiz formülünde, : dönemsel faiz oranı (rate per compounding period), mt = n : toplam dönem sayısı (toal number of compounding periods) alınarak bu formül biçiminde ifade edilebilir. Örnek. 1 000 TL, %10 faiz oranı ile her altı ayda bir birleştirilerek 3 yıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne olur? Her altı ayda bir birleştirildiğinden, m = 2, i = (0.1)/2 = 0.05. Ayrıca, n= mt = 2 . 3 = 6. Böylece, TL olur.

Bileşik faiz formülünde, her an birleştirme yapıldığı düşünülürse, sürekli bileşik faiz dediğimiz faiz türü elde edilir. Bu durumda m   olacaktır. m   için B nin limit değerini belirlemeğe çalışalım. m   iken olduğu; böylece ve buradan m   iken B  Aert olduğu görülür ve sürekli bileşik faiz formülü elde edilir: B = Aert .

Sürekli Bileşik Faiz(ContiniousCompound Interest) Sürekli Bileşik Faiz(ContiniousCompound Interest). Faizde bulunan anaparanın faizi ile her an (anlık) birleştirildiği faizlerdir. A : Yatırılan para, anapara, sermaye, kapital (Principal). r : faiz oranı (interest rate). Ondalık kesir olarak ifade edilir. t : zaman. B : dönem sonu miktar, birikimli değer (final amount). Örnek. 1 000 TL, sürekli bileşik faiz ve %10 faiz oranı ile 3 yıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne olur? TL olur.

Basit Faiz Bileşik Faiz Sürekli Bileşik Faiz

Logaritmik Fonksiyonlar (Logarithmic Functions) Logaritmik Fonksiyonlar (Logarithmic Functions). Üstel fonksiyonların tanımına veya grafiklerine baktığımız takdirde, tanım kümesinin tüm reel sayılar kümesi ℝ, görüntü kümesinin de (0 ,  ) olduğu ve her y  (0 ,  ) reel sayısının da bir ve yalnız bir x  ℝ nin görüntüsü olduğunu görürüz. Başka bir deyimle, her y  (0 ,  ) için y = bx olan bir ve yalnız bir x  ℝ vardır. Verilen bir y  (0 ,  ) için y = bx olan x  ℝ sayısına y nin b tabanında logaritması (logarithm of y to the base b) denir ve yazılır. Böylece denklemi ile tanımlanan fonksiyonuna b tabanında logaritma fonksiyonu (logarithmic function to the base b) denir. Bu fonksiyonun tanım kümesi (0 ,  ), görüntü kümesi ℝ dir.

logb fonksiyonunun tanımını özetleyen ifadesi, logaritmik ve üstel fonksiyonları birbirine bağlayan en temel bağıntıdır. Logaritmik ve üstel fonksiyonlarla ilgili hesaplarda çoğu zaman bu temel bağıntı kullanılır. Örneğin, bu bağıntıdan, b > 0 ve b  1 olan her b için logb1 = 0 olduğu görülür. Çünkü,

Logaritmik fonksiyonun tanımına tekrar bakalım: Bu tanımdan görülür ki, eğer (u , v) noktası b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerindedir; ve karşıt olarak, eğer (u , v) noktası b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği üzerindedir. x y (0,0) (v ,u) Diğer yandan, (u , v) ve (v , u) noktaları y = x doğrusuna göre simetrik olduğundan, üstel ve lo-garitmik fonksiyonun grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. (u , v)

x y (0,0) y = x x y (0,0) 1 y = x 1 1 1

in grafiğini çizelim. Üstel fonksiyonlarla ilgili benzer örneklerden Logaritmik fonksiyon içeren ifadelerle tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çizerken ikinci derste gördüğümüz elemanter dönüşümlerden yararlanabiliriz. Örnek. in grafiğini çizelim. Üstel fonksiyonlarla ilgili benzer örneklerden de görülebileceği üzere bu fonksiyonun grafiği, y=log2 x in grafiğinin 1 birim sağa kaydırılmasıyla elde edilir. . x y (0,0) 1 2

in grafiğini çizelim. Üstel fonksiyonlarla ilgili benzer örneklerden de görülebileceği üzere bu fonksiyonun grafiği, y=log2 x in grafiğinin 3 birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edilir. . x y (0,0) (1,3) 1 2 Eğer aynı fonksiyonun bir aralık üzerinde, örneğin [1,2] aralığı üzerinde grafiğini çizmek istersek, grafiğin o aralık üzerindeki kısmı; örneğimizde 1 ≤ x ≤ 2 olan kısmı, alınır. Şekil üzerinde bu grafiği kalın mavi çizgi ile gösteriyoruz.

in grafiği ile başlayıp önce bu Örnek. in grafiğini çizelim. in grafiği ile başlayıp önce bu grafiği 1 birim sola kaydırıp sonra da elde edilen grafiği 3 birim yukarıya kaydırırsak in grafiğini elde ederiz. x y (0,0) -1 (0,3) 1

Logaritma fonksiyonunun bazı özellikleri.  x-kesişimi (1,0) dır.  Grafik, b >1 için artan ; 0 < b < 1 için azalandır.  b >1 ise, x  0+ iken logb x  - ve x   iken logb x   dur.  b <1 ise, x  0+ iken logb x   ve x   iken logb x  -  dur.

Önceki slaytta ifade edilen özelliklerden her biri üstel ve logaritma fonksiyonlarının tanım-larından hemen görülür. Örneğin, baştan üçüncü özellik olan özelliği biçiminde, dördüncü özellik biçiminde ve çarpımın logaritması ile ilgili beşinci özellik biçiminde kanıtlanır. Logaritma ile ilgili hesaplar yapılırken yukarıda listelenen özelliklerden yararlanılabilir. Örnek. Çarpımın ve bölümün logaritması ile ilgili olarak

e tabanında logaritmik fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu (natural logarithmik function) denir ve yazılır. Böylece, Doğal logaritmanın temel özelliklerinden birkaçını yeni gösterimle ifade edelim: 10 tabanında logaritma da çok kullanılan bir logaritma olduğundan onun için de özel bir gösterim kullanılır: log10 x yerine sadece log x yazılır. Böylece, 10 tabanında logaritmanın temel özelliklerinden birkaçını yeni gösterimle ifade edelim:

Logaritmik ve üstel fonksiyonların özelliklerine aşağıdaki taban değişimi formüllerini de ilave edelim:  Her a, b, x  ℝ, a, b > 0, b ≠1 için bx = ex ln b , dir. Bu formüller aşağıdaki gibi kanıtlanabilir: bx = y  x ln b = ln y  y = e x ln b  bx = e x ln b . logb a = y  a = by = ey ln b  y ln b = ln a Taban değişimi formülleri daha genel olarak şöyle ifade edilebilir:  Her a, b, c, x  ℝ, a, b, c > 0, b ≠1, c ≠1 için Örnekler.

Logaritmik Denklemler. Örnek. Örnek. tanımsız

Örnek. x ≠ 1 kabul edebiliriz. Ya da Örnek.

Üstel Denklemler. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek.

Faiz Hesabında Bugünkü Değer Kavramı Faiz Hesabında Bugünkü Değer Kavramı. Belli bir faiz oranı ile belli bir zaman sonunda ulaşacağı değer, yani gelecekteki değeri bilinen paranın bugünkü değeri. Basit Faiz : B = A(1+rt)  A = B(1 + rt)-1 Bileşik Faiz : Sürekli Bileşik Faiz : Örnek. Basit faizle, yıllık faiz oranı %6 ise, 10 yıl sonunda hesabınızda 1000 TL olabilmesi için bugün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. Verilen değerler (B = 1000, t = 10 , r =0.06) basit faiz formülünde yerine konursa elde edilir. Örnek. Yıllık birleştirilen bileşik faizle, faiz oranı %6 ise 10 yıl sonunda hesabınızda 1000 TL olabilmesi için bugün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. B = 1000, t =10, m = 1, r = 0.06 değerleri formüle yerleştirilirse

Örnek. Faiz oranı %6 ise, sürekli bileşik faizle 10 yıl sonunda hesabınızda 1000 TL olabilmesi için bugün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. Verilen değerler (B = 1000 , t = 1 , r =0.06) formülde yerine konursa Örnek(İkiye Katlanma Zamanı). Faiz oranı %7 olan bir yatırım sürekli bileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır? Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülünde B = 2A , r =0.07 alınırsa  9.9 yıl

Örnek. Faiz oranı %7 olan bir yatırım yıllık birleştirilerek bileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır? Çözüm. Bileşik faiz formülünde B = 2A , m = 1, r =0.07 alınırsa  10.24 yıl. Örnek. 10 000 TL parası bulunan bir kişi 8 yıl sonunda, 20 000 TL lik bir ev satın alabilmek amacıyla bu parayı sürekli bileşik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı ne olursa bu kişinin isteği gerçekleşir? Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülü ile

Örnek. 10 000 TL parası bulunan bir kişi, 15 000 TL lik bir ev satın alabilmek amacıyla bu parayı sürekli bileşik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı %8 olursa bu kişinin isteği kaç yıl sonra gerçekleşir? Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülü ile yıl. Anüite(Annuity). Belli bir zaman aralığının belirli dönemlerinde eşit taksitlerle yapılan ödemeler dizisi. Sonlu geometrik dizilerin toplamı ile yakından ilişkilidir: a, c ϵ ℝ ; n ϵ ℕ. a, ac, ac2 , . . . , acn-1 geometrik dizi T=a+ac+ac2 + . . . + acn-1  cT=ac+ac2 + . . . + acn-1+acn  cT-T=acn- a  (c - 1)T= a(cn-1)

Anüitenin Gelecekteki Değeri. Dönemlik faiz oranı i olmak üzere n dönem boyunca her dönemin sonunda A TL taksit ödenmişse, bu anüitenin n dönem sonunda ulaştığı değer (yekun), Bds ile gösterilsin. Bu takdirde, a+ac+ac2 + . . . + acn-1 Örnek. Yıllık faiz oranı %6 ve altı ayda bir birleştirilen bileşik faizle işlem görmek üzere 3 yıl boyunca her ay sonunda bankaya 1000 TL yatırılıyor. 3’üncü yılın sonunda bu yatı-rımın değeri ne olur? TL Taksitler dönem başında ödenmişse, anüitenin n dönem sonundaki değerini Bdb ile gösterelim. Bu takdirde,

Örnek. Yıllık faiz oranı %6 ve altı ayda bir birleştirilen bileşik faizle işlem görmek üzere 3 yıl boyunca her ay başında bankaya 1000 TL yatırılıyor. 3’üncü yılın sonunda bu yatı-rımın değeri ne olur? TL Anüitenin Bugünkü Değeri. Dönemlik faiz oranı i olmak üzere n dönem boyunca her dönemin sonunda B TL çekilmek suretiyle n’inci dönemin sonunda sıfırlanacak biçimde baştan yapılmış yatırım Ads ile gösterilsin. Bu takdirde, a+ac+ac2 + . . . + acn-1 Eğer çekimler dönem başında yapılırsa, yukarıdakine benzer hesaplamalarla

Örnek. Yıllık faiz oranı %6 ve aylık birleştirilen bileşik faizle işlem görmek üzere 5 yıl boyunca her ay sonu 200 TL çekilebilmesini sağlayan anüitenin bugünkü değeri TL Çekimler ay başında yapılmışsa, anüitenin bugünkü değeri TL Amortisman. Bir borcu belli sayıda dönemde eşit taksitler halinde faizi ile birlikte ödeme sürecine o borcun amortismanı ya da amortize edilmesi denir. B TL borç alındıysa ve bu borç n dönemde i dönemlik faiz oranı ile eşit taksitler halin-de (faizi ile birlikte) ödenecekse, ödenecek taksit tutarı T, ödemelerin dönem sonunda yapılacağı varsayılarak anüitenin bugünkü değeri düşüncesiyle şöyle belirlenebilir:

Örnek. 4200 TL ye satın alınan bir televizyon seti her ay ödenecek eşit taksitlerle 18 ayda ödenecektir. Aylık faiz oranı %1 ve aylık birleştirilen bileşik faiz uygulanacağına göre, her ay ödenmesi gereken taksit tutarını bulunuz. Ödenmiş olan toplam faiz miktarını belirleyiniz. TL Ödenmiş olan toplam faiz 18(256.12) - 4200) = 46010.16 – 4200 = 410.16 TL.