Hazırlayanlar: M. Hakan AKYÜZ, İ. Kuban ALTINEL ve Temel ÖNCAN Sınırlı Sığalı Çok Mallı Yerleştirme ve Atama Problemi (SÇMYAP) için Alt ve Üst Sınır Bulma Yöntemleri Hazırlayanlar: M. Hakan AKYÜZ, İ. Kuban ALTINEL ve Temel ÖNCAN 30 Haziran 2010

1. Giriş Problemin Tanımı: SÇMYAP sınırlı sığalı I adet tesisin, J adet müşterinin K tür mala olan istemlerini karşılamak üzere, tesisleri alıcılara bağlayan yollar üzerindeki taşıma kısıtlarını aşmayacak ve toplam taşıma giderini enazlayacak biçimde, yerleştirmesidir.

i Tesisi ve j Alıcısı Arasındaki Uzaklık Taşıma Giderleri SÇMYAP Gösterimi: Atamalar i Tesisi ve j Alıcısı Arasındaki Uzaklık (1) i Tesisinin Yeri (2) Alıcı İstemi (3) (4) (5) Değişkenlerden biri sabitlenirse: Çok Mallı Taşıma Problemi (ÇMTP) Tek Tesisli Weber Problemi (TTWP) Tesis Sığası (4) Kısıt kümesi kaldırıldığında ve K = 1 ise problem bilinen Sığa Sınırlı Çok Tesisli Yerleştirme ve Atama Problemine (SÇYAP) indirgenir. Taşıma Sığası

SÇMYAP için Bir Dal-Sınır (DS) Dizgi İşlemi Cooper (1972) tüm çözümleri sayma En iyi çözüm köşe noktalarından birindedir SÇYAP için Bilinen DS Dizgi İşlemler Sherali ve Tunçbilek (1992), Karesel Öklid Sherali ve diğerleri (1994), Dik-Yatay (yerleştirme değişkeni tabanlı) Sherali ve diğerleri (2002), lr uzaklık, 1 ≤ r <∞ Atama Uzayı tabanlı dallanma Köşe noktası ↔ DS uç düğümü

Örnek: 1 2 Tesis Alıcı w11 w12 w22 w21

Taşıma Çokyüzlüsü (sadece görselleştirme amaçlı) 8 w12≥1 Tek Mallı Durum Sherali ve diğerleri (2002); Sherali ve Tunçbilek (1992) 1 2 w21≥1 w21=0 5 3 w11≥1 4 w11=0 6 w22≥1 13 w22=0 7 w11≥1 14 w12≥1 17 w12=0 10 w11=0 1 2 Taşıma Çokyüzlüsü (sadece görselleştirme amaçlı) 8 w12≥1 9 w12=0 15 w11≥1 16 w11=0 1 2

Atama değişkenleri wijk üzerinde alt ve üst sınırlar oluşturulur (lijk ve uijk). Başlangıçta, lijk = 0 ve uijk = min{sik,qjk,uij} Her dalda bu sınırlar uygun biçimde güncellenir. (Mantık testi) Uç düğümlerde Taşıma Çokyüzlüsünün köşe noktalarına ulaşmaya çalışılır. (Dallanma ile) Her düğümde amaç fonksiyonu üzerinde Alt ve Üst Sınırlar belirlenir. (Sınırlandırma) olan ve/veya wijk atama değişkenleri üzerindeki lijk and uijk değerleri olurlu olmayan düğümler daha ileri dallanma yapılmadan budanır. (Budama)

2.1. Mantık Testi & Döngü Engelleme (2),(3) ve (4) kısıtları şu şekilde tekrar edilebilir: En Büyük bolluk değerleri:

2.1. Mantık Testi & Döngü Engelleme Yeni sınırlar şu şekilde elde edilebilir: Tekrarlı süreç lijk > 0 uijk = 0 veya güncelleme sırasında oluşan herhangi bir sınır değerindeki değişim Eksi olan herhangi enbüyük bolluk değeri OLURLU OLMAYAN bir çözüm. Olası döngüleri belirle ve engelle

2.1. Mantık Testi & Döngü Engelleme SÇYAP’ın bir köşe noktası en çok |I|+|J|-1 artı atama değeri İki parçalı (bipartite) çizge üzerinde bir kapsar ağaç yapısındadır Döngü yoktur Olası döngüleri oluşturacak kenarlar çizgeden silinir 1 2 3 Tesis Alıcı Çok malı durumda taşıma sığası kısıtları nedeniyle çalışmamaktadır. SÇMYAP için kullanılmamıştır.

2.2. Alt Sınır Yöntemleri Her bir DS düğümü için en iyi amaç fonksiyon değeri ZUB üzerinde aşağıdaki problemin çözümü bir alt sınır verir: Weiszfeld dizgi işlemi, tesis yeri değişkeni, Sherali ve diğerleri. (2002) (SAS) ZLB ≤ ZUB çünkü DS ağacının her düğümünde lijk ≤ wijk ≤ uijk

2.2. Alt Sınır Yöntemleri DS ağacının her düğümünde lijk ≤ wijk ≤ uijk değişken dönüşümü yapılırsa her düğümde aşağıdaki altproblem’ler ortaya çıkar, SAS doğrudan kullanılabilir,

2.2. Alt Sınır Yöntemleri Block uzaklıklar kullanılarak da her bir altproblem üzerinde altsınırlar elde edilebilir

Blok Uzaklıkların Bazı Özellikleri lr- uzaklıklara (1 ≤ r<∞) Blok uzaklıklar kullanarak yaklaşılabilir. Örneğin, Bir-Sonsuz uzaklık (One-infinity Norm), dik-yatay ve ya Tchebyceff (Sonsuz) uzaklıklarla (Ward and Wendell (1980,1985)). Eniyi çözüm, birim uzaklık fonksiyon değeri sınır köşe noktalarının, sıfır noktasıyla arasında oluşan yönde çizilen doğruların kesişim noktalarından birindedir (Thisse ve diğerleri, 1984). Dik-Yatay: Dik ve Yatay doğrular Tchebycheff (Sonsuz): 45o ve 135o açılı doğrular Akyüz ve diğerleri (2010), Karma Tamsayılı Doğrusal Programlama (KTDP) gösterimleri, en iyiye çözülür.

2.2. Alt Sınır Yöntemleri Block uzaklıklar kullanılarak da her bir altproblem üzerinde altsınırlar elde edilebilir SÇMYAP’ın değişken dönüşümü yapılmış haldeki KTDP gösterimi (BBMDAP) altproblemleri eniyiye çözer (block uzaklıklar için). Bu amaçla Dik-Yatay ve Tchebycheff uzaklıkları kullanılmıştır Böylece toplam beş alt sınır bulma yöntemi kullanılmıştır: SAS (Sherali ve diğerleri, 2002) BB1 & BB∞ (BBMDAP, l1 & l∞-uzaklıkları ile) RBB1 & RBB∞ (BBMDAP için LG, l1 & l∞-uzaklıkları ile) Büyük boyutlu deney problemlerinde Lagrange Gevşetmesi (LG) kullanılır

2.3. Üst Sınır Bulma Yöntemi Başlangıçta, SÇMYAP’ın KTDP gösterimleri üzerinde geliştirilen Kesikli Yaklaşıklık (KY) sezgiseli (alıcı yerleri kullanılarak, Aras ve diğerleri, 2007) veya LG ile üst sınırlar elde edilebilir. Bir parçalı çözüm verildiğinde: Tesis yerleri SAS altsınır yöntemiyle bulunur. Dönüşümlü Yerleştirme ve Atama Sezgiseli uygulanır (Ç/DYA) Alttan sınırlayan bir çözüm bulunur (BB1, RBB1, vs.) Ç/DYA sezgiseli uygulanır. Uç düğümlerde olurlu bir çözüm zaten bulunmuş olur (köşe noktası) Gerekliyse güncellenir

2.4. Dallanma ve & Tarama Yöntemleri Çizgedeki kenarlar (akışlar) üç ayrık kümeye ayrılır, SERBEST (eksi olmayan), SIFIR ve ARTI kenar kümeleri (WF, W0, W+). Dallanma için bir dalda ve diğerinde olarak belirlenir öyleki Sherali ve diğerleri (2002) tarafından (SÇYAP için) önerilen aşağıdaki dallanma kuralı kullanılmıştır Tarama Yöntemi: Önce Derine tarama (LIFO) Geoffrion (1967) tarafından geliştirilen Parçalı Çözüm listesi (PS) +(i,j,k), -(i,j,k), +(i,j,k) ve -(i,j,k)

17 w12=0 1 w21=0 5 2 w21≥1 6 w22≥1 13 w22=0 4 w11=0 7 w11≥1 8 w12≥1 9 14 15 16 3 10 PS1 PS2 PS3 PS4 PS5 +(2,1) +(2,1) -(2,1) -(2,1) -(2,1) +(1,1) -(1,1) +(2,2) +(2,2) -(2,2) +(1,1) +(1,1) +(1,2) +(1,2) -(1,2) +(1,1)

3. Bilgisayısal Deneylar ve Sonuçlar 3.1. Deneyler Bilinen SÇYAP deney problemleri (Sherali ve diğerleri, 2002) & SÇMYAP deney problemleri. SAS, BB1, BB∞, RBB1 ve RBB∞ alt sınırlandırma için kullanılmıştır Alt sınırlandırma yöntemlerinin karşılaştırılabilmesi amacıyla SÇYAP deney problemleri 4 saat koşum zamanı kısıtı ve başlangıç üst sınırı sonsuz, 4 saat koşum zamanı kısıtı ve başlangıç üst sınırı alıcı yerleri üzerinde çalışan KY sezgiseli ile belirlenmistir. SÇMYAP 5 saat koşum zamanı kısıtı ve başlangıç üst sınırı alıcı yerleri üzerinde çalışan KY sezgiseli ile belirlenmistir. CPU zamanı, Dallanma Sayısı ve Sınırlandırma Sayısı başarım ölçütleri olarak sunulmuştur.

3.2 Sonuçlar Sonsuz İlk Üst Sınırlı SÇYAP KY İlk Üst Sınırlı SÇYAP   SAS BB1 RBB1 BB∞ RBB∞ Bilinen Eniyi UB(%) CPU 4348.36 3.41 6114.67 0.03 6464.70 0.04 6481.03 0.14 5213.60 0.19 6479.37 SAS BB1 RBB1 BB∞ RBB∞ #Dallanma #Sınırlandırma 1610633.30 2598918.17 16779.81 29857.20 7373.77 13365.57 14100.19 25437.33 7212.41 13426.83 KY İlk Üst Sınırlı SÇYAP   SAS BB1 RBB1 BB∞ RBB∞ Bilinen Eniyi UB(%) CPU 4348.36 0.00 6017.96 6466.55 6479.97 5182.83 0.01 6482.16 SAS BB1 RBB1 BB∞ RBB∞ #Dallanma #Sınırlandırma 2857191.02 4620829.49 26101.74 46062.93 11452.01 20290.32 20040.24 36164.65 10543.61 19619.79 KY İlk Üst Sınırlı SÇMYAP   SAS BB1 RBB1 BB∞ RBB∞ Bilinen Eniyi UB(%) CPU 9746.77 0.00 16653.54 13399.07 14361.54 13523.62 14822.14 SAS BB1 RBB1 BB∞ RBB∞ #Dallanma #Sınırlandırma 9492885.11 19111867.67 109831.67 219275.56 11699.64 23197.69 103858.94 207190.59 11319.51 22499.54

4. Sonuçlar ve Gelecek Çalışmalar Elde Edilenler: lr- uzaklıklı, 1 ≤ r < ∞, SÇMYAP için bir DS Dizgi İşlemi geliştirilmiş ve bazı deney problemleri üzerinde denenmiştir. Daha önce geliştirilen alt sınır bulma yöntemlerinin başarımı DS üzerinde deney problemleri aracılığıyla test edilmiştir. Bilinen SÇYAP deney problemlerinden 4 tanesinin daha eniyi olduğu gösterilmiştir. Gelecek Çalışmalar: Başka alt sınır yöntemlerinin denenmesi. Alt sınırların bir karmasının kullanılması (ucuz-zayıf, pahalı-iyi) Farklı tarama yöntemleri örneğin, Önce Eniyi tarama (best-first serch). Farklı dallanma kurallarının kullanılması.