BETONARME YAPI TASARIMI DEPREME DAYANIKLI BETONARME YAPI TASARIMI DERS BİLGİLERİ (6. hafta – 1. Kısım) Kütle Merkezi, Rijitlik Merkezi Burulma Momenti Hesabı

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 01 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi F deprem kuvveti, kütlesi m olan yapıya kütle merkezinde tesir etmektedir.   Çok katlı bir yapıda depremden oluşan taban kesme kuvvetini kat hizalarında tesir eden kat kesme kuvvetlerine ayrılacağı belirtilmişti. İşte bu kat kesme kuvvetleri o katta o katın kütle merkezine tesir etmektedir.

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 02 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Kütle merkezi Hesabı: Bir katın kütle merkezinin hesabı için aşağıdaki yol izlenebilir. Bilindiği gibi kütle, ağırlığın yer çekimi ivmesine bölünmesi ile bulunmaktadır. Dolayısıyla kütle merkezi hesabı aynı zamanda ağırlık merkezi hesabıdır. Bir kattaki ağırlıklar; döşeme, kiriş, duvar ile kolon ağırlıklarının toplamıdır.   Her kattaki kolonların yükleri Kolon boyut tahmini hesabındaki gibi hesaplanabilir. Kolon yükleri hesaplanırken; Kolon kendi ağırlıkları, Kolona oturan kirişler, kirişlere oturan döşemeler ve varsa kirişlerin üzerindeki duvar ağırlıkları alınmalıdır.

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 03 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Seçilen bir eksen takımına göre her kolonun koordinatları belirlenmelidir. Daha sonra aşağıdaki tablo düzenlenerek Kütle merkezinin koordinatları verilen formül yardımıyla hesaplanacaktır.

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 04 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 05 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Rijitlik Merkezi Hesabı: Binanın herhangi bir katına gelen kat kesme kuvveti o katın kütle merkezine tesir edecektir. Bu kuvvet, o katta bulunan kolonlar tarafından bu kolonların depremin tesir ettiği doğrultudaki Yatay Ötelenme rijitlikleri ile ( Di ) orantılı olarak karşılanacaktır.   Yatay Ötelenme Rijitliği fazla olan elemanın, kat kesme kuvvetinin daha fazlasını karşılayacağı bilinmektedir. Her katta, düşey taşıyıcılara gelen kolon kesme kuvvetlerinin bileşkesinin geçtiği nokta o katın Rijitlik Merkezi olarak tarif edilmiştir. Dolayısıyla Belirli bir eksen takımına göre ( Di ) lerin bileşkesinin geçtiği nokta rijitlik merkezi olacaktır.

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 06 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Kolonların yatay ötelenme rijitliği; kolonun salt rijitliğine ilave olarak deprem yönündeki kolona bağlanan kiriş rijitliklerinin katkısı ile hesaplanacağı biliniyor. Di = a* kc kc = Ic / Lc Ic = b*h3/12 Kiriş rijitliklerinin ihmal edilmesi durumunda salt kolon rijitliklerinin ağırlık merkezi rijitlik merkezi olacaktır.   Kat yüksekliklerinin eşit olması halinde ise; Kolon atalet momentlerinin ağırlık merkezi, Rijitlik merkezi olacaktır.

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 07 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Bu kabullerle Yatay Ötelenme Rijitlikleri dikkate alındığında Rijitlik Merkezi koordinatları için aşağıdaki ifadeler kullanılabilir: xr = ( ∑ Dyi * xi ) / ∑ Dyi yr = ( ∑ Dxi * yi ) / ∑ Dxi xi ve yi seçilen eksen takımına göre ele alınan kolonun koordinatları, Dxi ; Kolonun x yönündeki yatay ötelenme rijitliği Dyi ; Kolonun y yönündeki yatay ötelenme rijitliği

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 08 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Kolon atalet momentleri dikkate alındığında Rijitlik Merkezi koordinatları için aşağıdaki ifadeler kullanılabilir:   xr =(∑ Iyi* xi )/ ∑ Iyi yr =(∑ Ixi* yi )/ ∑ Ixi yr =(∑ Iyi* yi )/ ∑ Iyi xr =(∑ Ixi* xi )/ ∑ Ixi Iy ,(Ix) elemanın x eksenlerine göre alınan atalet momenti Ix ,(Iy) elemanın y eksenlerine göre alınan atalet momenti xi ve yi eksen takımına göre ele alınan kolonun koordinatları,

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 09 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 10 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Uygulama 1: Kolon boyutlarının tamamının aynı 40X40 cm olması durumunda Rijitlik merkezi ve kütle merkezinin aynı olacağı bilinmektedir.   Kolon Yüklerinin ağırlık merkezi kütle merkezidir. KM (3,2) Sistem tam simetrik olduğundan Rijitlik merkezi kütle merkezi ile çakışmaktadır. RM (3,2) 

Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi ADİL ALTUNDAL 11 Kütle Merkezi Rijitlik Merkezi Kütle merkezi ile Rijitlik merkezi çakıştığından sistem yatay doğrultuda eşit ötelenme yapacak, burulma meydana gelmeyecektir. Bu durumda kütle merkezi, Deprem doğrultusuna dik kenarın %5 kadar kaydırılarak KKM bulunacaktır. KKM ne tesir ettiği kabul edilen kuvvetten dolayı Deprem Yönetmeliğine göre alınması gereken Burulma momentlerinin hesabı aşağıdaki gibi yapılacaktır. (Kat kesme kuvveti V = 40 ton alınmıştır.)

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 12 Burulma Momenti Hesabı Deprem hesabının ( y ) doğrultusunda yapılması halinde;    ex = 0,05*6 = 0,3m Kütle merkezi 0,3m sola ve sağa kaydırılarak KKM bulunur. Kat Kesme kuvveti KKM ye tesir ettirildikten sonra RM ne taşınarak Kat Kesme kuvveti ve Burulma Momenti bulunur.

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 13 Burulma Momenti Hesabı Deprem hesabının ( x ) doğrultusunda yapılması halinde;    ey = 0,05*4 = 0,2 m M = ey*V = 0,2*40 = 8 t.m burulma momenti

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 14 Burulma Momenti Hesabı Uygulama 2: Kolon boyutlarının ve yönlerinin farklı olması halinde rijitlik merkezi, kütle merkezinin hesaplanması; 1,2 kolonlarının 40x50 ve yönünün de şekildeki gibi olması durumu: Kütle Merkezi Hesabı: 40x40cm boyutundaki kolonun boyutunun 40X50 olarak büyütülmesi, 3m lik kat yüksekliğinde 0,3 t ilave yük getirmektedir. Bu farktan dolayı kütle merkezindeki değişim yok kabul edilebilir. KM (3,2) alınacaktır. (Hesap yapıldığında, Kütle merkezi koordinatları 2,99 m ; 3,00 m bulunmuştur.)

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 15 Burulma Momenti Hesabı 1,2 kolonlarının 40x50 ve yönünün de şekildeki gibi olması durumunda:   Atalet Momentleri hesabı; 1,2 Ix= Iy =0,4*0,53 /12 = 0,004167 m4 1,2 Iy= Ix=0,5*0,43 /12 = 0,002667 m4 3,4 Ix= Iy =0,4*0,43 /12 = 0,002133 m4 

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 16 Burulma Momenti Hesabı Eksantriste ex= 3,00 - 2,03 ex = 0,97 m   KM ile RM arasında 0,97 m mesafe vardır. Kütle merkezi kaydırılmamış olsa idi Mb = ex * V burulma momenti meydana gelecekti. Ancak yönetmelik gereği, KM sola veya sağa 0,05*B = 0,05*6 = 0,3m kaydırılarak KKM bulunacak ve Kat kesme kuvveti buradan RM e taşınarak burulma momenti bulunacaktır.

17 Burulma Momenti Hesabı Dış merkezlik (Eksantrite) ex=0,97m ADİL ALTUNDAL 17 Burulma Momenti Hesabı Dış merkezlik (Eksantrite) ex=0,97m Ek dışmerkezlik = 0,30 m Toplam dışmerkezlik e =1,27m Mb = e*V Mb = 1,27*40 = 50,8 t.m Burulma momentinden dolayı bu katın yapacağı göreli ötelenmesi yukarıda yaklaşık olarak çizilmiştir.

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 18 Burulma Momenti Hesabı Depremin x doğrultusunda tesir etmesi halinde Burulma Momenti hesabı; Düşey Taşıyıcı kolonlar sistemin ortasından geçen yatay eksene göre simetrik düzenlenmiştir. Kütle merkezi ile Rijitlik merkezinin aynı yatay eksen üzerinde olduğu görülmektedir. Depremin (x) doğrultusundan gelmesi halinde burulma momenti meydana gelmeyecektir. Katta meydana gelen ötelemeler aynı büyüklükte olacaktır.

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 19 Burulma Momenti Hesabı Bu durumda yönetmelik gereği burulma momenti hesabı yapılacaktır. Kütle Merkezi depreme dik boyutun %5 kadar kaydırılarak KKM bulunur.   ey = 0,05*4 = 0,2 m Mb = ey*V = 0,2*40 = 8 t.m burulma momenti olacağını kabul edilecektir.

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 20 Burulma Momenti Hesabı Bu durumda yönetmelik gereği burulma momenti hesabı yapılacaktır. Kütle Merkezi depreme dik boyutun %5 kadar kaydırılarak KKM bulunur.   ey = 0,05*4 = 0,2m Mb = ey*V = 0,2*40 = 8 t.m burulma momenti olacağını kabul edilecektir.

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 21 Burulma Momenti Hesabı Kolon Yönlerinin Değişmesinin Etkisi:  Aynı binada 40X50 kolonlarının yönlerini değiştirerek ( y ) yönünden gelen deprem için hesabı tekrar yaptığımızda aşağıdaki sonuç elde edilmektedir. Rijitlik Merkezi RM ( 2,67 m , 2,00 m )   Eksantriste ex = 3,00 - 2,6 ex = 0,33 m Yönetmelik gereği ek dışmerkezlik: ed = 0,05*Bx = 0,05*6 = 0,3 m RM ile KKM arası e = ex + ed e = 0,33+0,30 = 0,63 m

Burulma Momenti Hesabı ADİL ALTUNDAL 22 Burulma Momenti Hesabı Burulma momenti Mb = e*V Mb =0,63*40 Mb = 25,2 tm bulunmaktadır. Burulma momentinden dolayı bu katın yapacağı göreli ötelenme yukarıda yaklaşık olarak çizilmiştir. 

Kat Kesme Kuvveti ve Burulma Momenti ADİL ALTUNDAL 23 Kat Kesme Kuvveti ve Burulma Momenti Her katın rijitlik merkezinde tesir eden Kat kesme kuvveti ve Burulma momenti kata ayrı ayrı tesir ettirilerek kolonlarda meydana gelen kesme kuvvetleri araştırılacaktır.

Kat kesme kuvvetinden dolayı, her kattaki kolonlarda, ADİL ALTUNDAL 24 Kat Kesme Kuvvetleri Kat kesme kuvvetinden dolayı, her kattaki kolonlarda, kolonların yatay ötelenme rijitliği oranında kesme kuvvetleri meydana gelecektir.

Kat Kesme Kuvvetinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri ADİL ALTUNDAL 25 Kat Kesme Kuvvetinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri ( V ) Kat kesme kuvveti her kattaki kolona, Kolonun Yatay Ötelenme Rijitliği ile orantılı olarak dağıtılacaktır. Herhangi bir kattaki Kat Kesme Kuvveti Vy ise: V1y= Vy [ D1y / ΣDiy ] veya V1y= Vy [ D1x / ΣDix ] Kontrol: ∑Viy = Vy

Kat Burulma Momentleri ADİL ALTUNDAL 26 Kat Burulma Momentleri

Kat Burulma Momentleri ADİL ALTUNDAL 27 Kat Burulma Momentleri

Kat Burulma Momentleri ADİL ALTUNDAL Kat Burulma Momentleri 28 Mby Burulma momentinden dolayı kat θ kadar dönecektir.   Bu dönme, kat burulma rijitliği Dθ ile hesaplanabilir. θ = Mby / Dθ Dθ = Σ(xi)2 (Di)y + Σ(yi)2 (Di)x ( Burulma rijitliği )

Kat Burulma Momentleri 29

Kat Burulma Momentleri 30 Mz (T) kat burulma momentinin etkisiyle, bina, kat rijitlik merkezi RM den geçen düşey eksen etrafında θ kadar döner. RM den geçen eksen takımına göre (x; y) koordinatlarında bulunan A daki kolon, bu dönüş sonucunda r.θ kadar yerdeğiştirme yaparak A’ noktasına gelir. Bu kolon x doğrultusunda (-uθ ), y doğrultusunda ( vθ ) kadar yerdeğiştirme yapmış olur. Bunun sonucunda da kolonda bu yerdeğiştirmeyi yapacak kadar kesme kuvvetleri oluşur.

Kat Burulma Momentinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri ADİL ALTUNDAL 32 Kat Burulma Momentinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri Vy Kat kesme kuvvetinden oluşan Burulma momentinden (Mby) dolayı kolonlarda, Kolonların hareketleri ile orantılı olarak kesme kuvvetleri meydana gelecektir. Kat Burulma rijitliği hesaplanır. θ hesaplanır. θ = Mby / Dθ Burulma rijitliği: Dθ = Σ(xi)2 *Dy+ Σ(yi)2 *Dx veya Dθ = Σ(xi)2 *Dx+ Σ(yi)2 *Dy Kolon x ve y doğrultusundaki hareketleri hesaplanır. Her kolonda x ve y doğrultusunda burulma momentinden oluşan kesme kuvvetleri o doğrultudaki hareketleri ile orantılı olarak hesaplanır.

Kolon hareketleri ve Kat burulma rijitliği hesabı ADİL ALTUNDAL 33 Kolon hareketleri ve Kat burulma rijitliği hesabı Kolon hareketleri ve Kat Burulma rijitliği hesabı: Rijitlik merkezinden geçen eksen takımı çizilerek, her bir kolonun koordinatları belirlenir, Her kolonun hareketi: x eksenine göre : uθ = - y.θ y eksenine göre : vθ = x .θ Her Katın Burulma rijitliği Dθ ;   Dθ = Σ(xi)2 *Dy+ Σ(yi)2 *Dx

Kat Burulma Momentinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri Hesabı 34 Kat Burulma Momentinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri Hesabı Her kolonun hareketi: x eksenine göre : uƟ = -y*θ = (- yi)*( Mby /DƟ ) y eksenine göre : vƟ = x*θ = (xi)*( Mby /DƟ )   Her Katın Burulma rijitliği Dθ;   Dθ = Σ(xi)2 * Dx + Σ(yi)2 * Dy Herhangi bir kolonda Mby Kat burulma momentinden dolayı  (y) yönünde oluşan kesme kuvveti; (V1y)m = vθ * Dy = [ (xi)*( Mby / DƟ ) ] * Dy (x) yönünde oluşan kesme kuvveti; (V1x)m = uθ * Dx = [ (- yi)*( Mby / DƟ ) ] * Dx

Kat Burulma Momentinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri Hesabı ADİL ALTUNDAL 35 Kat Burulma Momentinden Oluşan Kolon Kesme Kuvvetleri Hesabı Herhangi bir kolonda Mby Kat burulma momentinden dolayı (y) yönünde oluşan kolon kesme kuvveti; (V1y)m = [ (xi)*( Mby / DƟ ) ] * Dy    (x) yönünde oluşan kesme kolon kuvveti; (V1x)m = [ (- yi)*( Mby / DƟ ) ] * Dx Not: Kiriş rijitlikleri ihmal edildiğinde (Di)y yerine Iix (Di)x yerine Iiy Alınacağı unutulmamalıdır.

Kolon Kesme Kuvvetleri Kontrolü ADİL ALTUNDAL 36 Kolon Kesme Kuvvetleri Kontrolü 1. Kontrol Tüm kuvvetlerin yatay ve düşey dengesi sağlanmalıdır. 2. Kontrol: Rijitlik merkezine göre tüm kuvvetlerin momentleri toplamı Mby burulma momentini vermelidir.