Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi UBYO 122 - Genel Matematik II DERS – 6 : Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum – Minimum Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

z z y y x x (a,b,f(a,b)) (0,0,0) (a,b,f(a,b)) (0,0,0) (a,b,0) (a,b,0) z = f(x,y) : iki değişkenli fonksiyon. (a,b)  ℝ2 Eğer (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her (x,y) için f(a,b) > f(x,y) ise, bu takdirde f(a,b) ye f nin bir yerel maksimum değeri denir. Yerel minimum değer de benzer şekilde tanımlanır. z y x (a,b,f(a,b)) z y x (0,0,0) (a,b,f(a,b)) (0,0,0) (a,b,0) (a,b,0) Yerel Maksimum Yerel Minimum

z y x (-2,0,6) (0,-2,6) (0,2,6) (2,0,6) z = 2+ x2 + y2 (0,0,2) Teorem. f(a,b) , f nin yerel maksimum veya yerel minimum değeri ise ve fx(a,b), fy (a,b) kısmi türevleri varsa, fx(a,b) = fy(a,b) =0 dır. (-2,0,6) z y x Örnek. z = f(x,y)= 2 + x2 + y2 f(0,0)= 2 yerel minimum. fx(x,y) = 2x , fx(0,0) = 0 (0,-2,6) (0,2,6) (2,0,6) fy(x,y) = 2y , fy(0,0) = 0. z = 2+ x2 + y2 (0,0,2) fx(a,b) = fy(a,b) = 0 olan (a,b) noktalarına f fonksiyonunun kritik noktaları denir. (Critical Points) Eğer (a,b), f nin bir kritik noktası fakat yerel maksimum veya yerel mi-nimumu değilse, (a,b) ye f nin bir eyer noktası denir. (Saddle Point)

Örnek. z = f(x,y)= x2 - y2 için (0,0) noktası bir eyer noktasıdır. Teorem(İkinci Türev Testi). z = f(x,y) ile verilen bir fonksiyon ve bir (a,b) noktası için 1) fx(a,b) = fy(a,b) = 0; yani (a,b), f nin bir kritik noktası 2) (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgenin her noktasında f nin tüm ikinci mertebeden türevleri mevcut 3) A =fxx(a,b), B= fxy(a,b), C = fyy(a,b)  olsun. Bu takdirde, a) AC - B2 > 0 ve A < 0 ise, f(a,b) yerel maksimumdur, b) AC - B2 > 0 ve A > 0 ise, f(a,b) yerel minimumdur, c) AC - B2 < 0 ise, (a,b) eyer noktasıdır, d) AC - B2 = 0 ise, bu test geçersizdir.

Örnek. z = f(x,y)= 2 + x2 + y2 fx(x,y) = 2x = 0  x = 0  (0,0) kritik nokta. fy(x,y) = 2y = 0  y = 0  f(0,0)= 2 yerel minimum.

Örnek. z = f(x,y)= - x2 - y2 +6 x + 8 y -21 fx(x,y) = -2x + 6 = 0  x = 3  (3,4) kritik nokta. fy(x,y) = -2y + 8 = 0  y = 4  f(3,4)= 4 yerel maksimum.

Eyer noktası Eyer noktası Yerel maksimum Örnek. z = f(x,y)= x3 + y3 – x – y Eyer noktası Eyer noktası Yerel maksimum

Örnek. z = f(x,y)= x3 + y2 – 6 xy  (0,0) eyer noktasıdır.

Şimdi problemimiz A = f(x,y) nin minimum değerini belirlemektir. Örnek. (Günlük Yaşamdan bir Maksimum - Minimum Problemi). İki bölmeli, üstü açık, dikdörtgenler prizması şeklinde, 48 cm3 hacimli bir küçük karton kutu yapılmak isteniyor. Bu iş için kullanılacak karton levha miktarının minimum olması için kutunun boyutları ne olmalıdır? Kullanılacak levhanın alanının minimum olması istenmektedir. z Kutunun boyutlarını, şekilde gö-rüldüğü gibi, x, y ve z ile gös-terelim. Bu takdirde kutu için kullanılacak levhanın alanı y A = xy + 3yz + 2xz x olur. Diğer yandan, kutunun hacmi 48 cm3 olduğundan 48=xyz ve buradan z = 48/xy olduğu görülür. Böylece A alanı iki değişkenli bir fonksiyon olarak ifade edilebilir: Şimdi problemimiz A = f(x,y) nin minimum değerini belirlemektir. A

A A cm2 A nın minimum değeridir.

Örnek. Bir yılda x bin tane A türü ve y bin tane B türü ürün üreten bir firmanın yıllık gideri, milyon TL; geliri, milyon TL olmaktadır. Bu firmanın yıllık kârının maksimum olması için yılda kaç bin adet A türü ve kaç bin adet B türü ürün üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? Çözüm. Kâr fonksiyonu, (3,4) kritik nokta Bu, K(3,4) =-54 + 48 -32 + 60 + 16 -30 = 8 in K nın x >0 ve y > 0 için alabileceği en büyük değeri olduğunu gösterir. Dolayısıyla, yılda 3 bin adet A ve 4 bin adet B türü ürün üretilirse, maksimum kâr elde edilir. Maksimum kâr 8 milyon TL dir.

fonksiyonunun minimum değerini bulmaktır. Örnek. Pozitif reel sayılardan oluşan x, y, z sayı üçlüsündeki sayıların toplamı x + y + z =30 dur. Bu sayı üçlülerinden hangisi için x y z çarpımı maksimum olur? Çözüm. x + y + z =30 koşulundan z = 30 - x - y elde edilir. Problemimiz, x >0 , y >0 ve x + y < 30 olmak üzere, fonksiyonunun minimum değerini bulmaktır. Birinci mertebeden kısmi türevler denklem sistemini verir. İkinci denklem birinci denklemden çıkarılırsa (10,10) kritik z =10 Birinci denklemden Bu, f(10,10) = 10.10.10 = 1000 in f nin x >0, y > 0 ve x + y < 30 için alabileceği en büyük değeri olduğunu gösterir.

En Küçük Kareler Yöntemi Gerçek yaşamın çeşitli alanlarında herhangi bir uygulama ile toplanan veriler tablo şekline getirilerek incelenir ve toplanan veriyi modelleyen bir fonksiyon bulunmaya çalışılır. Çoğu zaman bu veri tablosuna tam olarak uyan bir fonksiyon bulmak mümkün olmaz; veri tablosuna en iyi uyan fonksiyon belirlenmeye çalışılır. Bir veri tablosuna en iyi uyan fonksiyonu bulma sürecine regresyon analizi denir. Regresyon analizi yaparken en çok kullanılan yöntemlerden biri en küçük kareler yöntemidir. En küçük kareler yöntemi, tıp, finans, mühendislik, ziraat, biyoloji ve sosyoloji gibi çeşitli bilim dallarında çeşitli değişkenler arasındaki ilişkiler belirlenirken kullanılan en önemli araçlar arasındadır.

Belli ölçümler sonucunda i = 1, 2, Belli ölçümler sonucunda i = 1, 2, . . . , n için (xi , yi) verileri elde edilmiş olsun. Burada, her bir yi nin xi ye bağlı olarak değiştiği varsayılmaktadır. (xi , yi) düzlemde noktalar olarak düşünüldüğünde, pratikte bu noktalar düzgün bir eğri üzerinde, başka bir deyimle, bilinen bir fonksiyonun grafiği üzerinde bulunmazlar. Hatta bazı durumlarda, (xi , yi) ler arasında ne tür bir bağıntı bulunduğu dahi bilinmeyebilir. Ancak, yapılan ölçümlerin doğası gereği, her i = 1, 2, . . . , n için yi = f (xi ) olacak biçimde bir fonksiyonun var olduğu, ölçümlerde yapılan hata nedeniyle bu eşitliklerin bazıları veya hepsinin sağlanmadığı kabul edilebilir. Bu düşünceyle, ölçülen yi değeri f (xi ) için yaklaşık değer kabul edilerek bu yaklaşımdaki hatanın minimum olduğu f fonksiyonu belirlenmeye çalışılır. Bu amacı gerçekleştirmek için f fonksiyonunun bir takım parametrelere bağlı bir ifadesi bulunduğu varsayılıp eldeki veriler yardımıyla bu parametreler belirlenmeye çalışılır. Örneğin f fonksiyonu y = f (x) = mx + b ifadesinde olduğu gibi bir doğrusal fonksiyon veya y = f (x) = ax2 + bx + c ifadesinde olduğu gibi bir karesel fonksiyon olabilir ki bu durumda belirlenmesi gereken parametreler a , b , c , m dir.

yi değeri f (xi ) için yaklaşık değer, f (xi )  yi , kabul edilince yapılan hata yi - f (xi ) dir ve amaç, bu hatalar minimum olacak şekilde bir f fonksiyonu bulmaktır (Aşağıdaki şekilden izleyiniz). y x yi - f (xi ) Bu dersimizde, bir veri tablosuna en iyi uyan doğrusal fonksiyonların bulunmasında en küçük kareler yönteminin nasıl kullanıldığını örnekleriyle göreceğiz. Bir veri tablosuna en iyi uyan doğrusal fonksiyonun grafiği olan doğruya regresyon doğrusu veya en küçük kareler doğrusu denir.

Örnek. Bir üretici, ürettiği ürünün çeşitli üretim seviyeleri için maliyetini belirliyor ve aşağıdaki tabloyu oluşturuyor: Ürün Sayısı(x yüz) Maliyet(y bin TL) 3 6 8 7 9 10 Bu üretici için gider fonksiyonunu yukarıdaki tabloya en iyi uyan doğrusal fonksiyon olarak belirleyelim. Şimdi, en küçük kareler yönteminde bu tabloya en iyi uyan doğrusal fonksiyonun nasıl bulunduğunu göreceğiz. Elimizdeki veri tablosu, düzlemde şu (x,y) noktalarını verir: (3,6) , (6,8) , (7,9) ve (10,10). Bu noktalar bir doğru üzerinde bulunmasalar da bunlara en iyi uyan bir doğrunun bulunabileceğini göreceğiz. Önce bu noktaları kartezyen düzlemde işaretleyelim:

x y y=mx+b x y mx+b y-mx-b(artık) 3 6 3m+b 6-3m-b 8 6m+b 8-6m-b 7 9 7m+b 9-7m-b 10 10m+b 10-10m-b En küçük kareler yönteminde veri tablosundan elde edilen noktalara en iyi uyan doğru şöyle belirlenir: Aranan doğrunun denklemi y=mx+b olsun. Elimizdeki noktaların her birinin x koordinatı için mx+b yi hesaplayalım ve bulduğumuz değeri noktanın y koordinatından çıkararak artık olarak isimlen-dirdiğimiz y-mx-b yi bulalım. (x,y) noktasındaki artık, (x,y) noktası ile (x,mx+b) noktası arasındaki uzaklığı ölçer. Böylece, veri tablosunu yukarıda sağda olduğu gibi genişletmiş bulunuyoruz.

x y mx+b y-mx-b(artık) 3 6 3m+b 6-3m-b 8 6m+b 8-6m-b 7 9 7m+b 9-7m-b 10 10m+b 10-10m-b En küçük kareler yönteminde artıkların kareleri toplamını minimum yapan m ve b değerleri için denklemi y=mx+b olan doğru verilen noktalara en iyi uyan doğru, yani en küçük kareler doğrusu veya regresyon doğrusu olarak kabul edilir. Artıkların kareleri toplamı aşağıdaki iki değişkenli fonksiyonu tanımlar: F(m,b)=(6-3m-b)2 + (8-6m-b)2 +(9-7m-b)2 +(10-10m-b)2 Bu fonksiyonun hangi m ve b değerleri için minimum değeri aldığını belirlemeliyiz.

F(m,b)=(6-3m-b)2 + (8-6m-b)2 +(9-7m-b)2 +(10-10m-b)2 Kritik noktalar için kısmi türevlere bakıyoruz: Fm(m,b)=2(6-3m-b)(-3)+2(8-6m-b)(-6)+2(9-7m-b)(-7) +10-10m-b (-10)=0 Fb(m,b)=2(6-3m-b)(-1)+2(8-6m-b)(-1)+2(9-7m-b)(-1) +2(10-10m-b)(-1)=0 Bir miktar aritmetik işlemden sonra yandaki denklem sistemi elde edilir: Bu sistemin tek çözümü vardır: m = 0.58 , b = 4.48. İkinci türev testi ile m ve b nin bu değerleri için F(m,b) nin minimum olduğu görülebilir: Fmm(m,b)=2(194)= A , Fmb(m,b)=2(26) = B , Fbb(m,b)=2(4) = C. AC-B2 = 16(194)-16(169)  0  F(0.58,4.48) minimum . Regresyon doğrusu : y=0.58x+4.48 Regresyon analizi sonucu ortaya çıkan gider fonksiyonu: M (x)=0.58x+4.48 Üretici, 4 yüz ürün üretince giderinin ne olacağını tahmin edebilir : M (4)=(0.58)(4)+4.48 =2.32+4.48 = 6.8 (bin TL)

Çözmüş olduğumuz problemde veri noktalarını ve regresyon doğrusunu bir grafik üzerinde gösterelim: x y x y 3 6 8 7 9 10 (7,9) (10.10) (6,8) (3,6) y=0.58x + 4.48

a) En küçük kareler yöntemi ile fiyat-talep denklemini bulunuz. En küçük kareler yöntemi ile çözülebilecek bir fiyat analizi problemi örneği veriyoruz. Problem. Bir büyük mağaza zincirinin pazar araştırmaları bölümü belli bir ürünün fiyatını her ay değiştirerek 5 ay boyunca aylık talebi kaydetti ve yandaki veri tablosunu elde etti. Burada, x, TL olarak satış fiyatını; y, aylık kaç bin adet talep olduğunu göstermektedir. x y 5.0 2 5.5 1.8 6 1.4 6.5 1.2 7.0 1.1 a) En küçük kareler yöntemi ile fiyat-talep denklemini bulunuz. b) Bir adet ürünün maliyeti 4 TL ise, aylık kârın maksimum olması için satış fiyatı ne olmalıdır? Çözüm. a) Artıkları hesaplayalım ve veri tablomuzu aşağıdaki gibi genişletelim. x 5 5.5 6 6.5 7 y 2 1.8 1.4 1.2 1.1 mx +b 5m + b 5.5m + b 6m + b 6.5m + b 7m+b y - mx - b 2 - 5m - b 1.8- 5.5m - b 1.4- 6m - b 1.2 -6.5m - b 1.1-7m-b Artıkların kareleri toplamı aşağıdaki iki değişkenli fonksiyonu tanımlar: F(m,b)=(2-5m-b)2 + (1.8-5.5m-b)2 +(1.4-6m-b)2 + (1.2-6.5m-b)2 + (1.1-7m-b)2.

Bu fonksiyonun hangi m ve b değerleri için minimum değeri aldığını belirlemeliyiz. Kısmi türevleri hesaplayalım: Fm(m,b)=2(2-5m-b)(-5)+2(1.8-5.5m-b)(-5.5)+2(1.4-6m-b)(-6)+ 2(1.2-6.5m-b)(-6.5)+2(1.1-7m-b)(-7)=0, Fb (m,b)=2(2-5m-b)(-1)+2(1.8-5.5m-b)(-1)+2(1.4-6m-b)(-1)+ 2(1.2-6.5m-b)(-1)+2(1.1-7m-b)(-1)=0, Bir miktar aritmetik işlemden sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilir: Bu sistemi yok etme yöntemi ile çözelim. İkinci denklem -6 ile çarpılıp birinci denkleme toplanırsa ve m nin bu değeri ikinci denklemde yerine konulursa elde edilir. Görüldüğü gibi, sistemin tek çözümü vardır: m = -048 , b = 4.38. m ve b nin bu değerleri için F(m,b) nin minimum olduğunu biliyoruz. O halde, regresyon analizi sonucu ortaya çıkan fiyat talep denklemi dir.

b) Bir ürünün maliyeti 4 TL ise, başka gider olmadığı varsayılarak, toplam gider, TL olur. Toplam gelir ise olacağından, kâr fonksiyonu -(- )= olur. Kârın maksimum olması için satış fiyatı yaklaşık olarak 6.56 TL olmalı.

Lagrange Çarpanları Yöntemi(Lagrange’s Multipliers) Lagrange Çarpanları Yöntemi(Lagrange’s Multipliers). Pratikte karşılaşılan çok değişkenli maksimum – minimum problemlerinden pek çoğunun çözümünü veren Lagrange Çarpanları yöntemini bir örnek problem üzerinde açıklayacağız. Örnek Problem. Şekilde görüldüğü gibi, uzun bir duvarın önünde bir tarafı duvar ve diğer üç tarafı tel-örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak isteniyor. Bu iş için kullanılacak tel-örgü 240 m. olduğuna göre, oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? 240 m.

Problemin çözümü için dikdörtgenin boyutlarını x ve y ile gösterelim. O zaman, oluşturulan alan A = f (x,y) = xy ; kullanılacak tel-örgünün uzunluğu x + 2y = 240 m. olur. Bu, x ve y üzerinde bir kısıtlamadır. Şimdi, problemimizi matematiksel olarak şöyle formüle edebiliriz: z=f (x,y)=xy nin g (x,y)=x + 2y – 240 = 0 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz.

Problem. z = f (x,y) = xy nin g (x,y) = x + 2y – 240 = 0 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. Problemin çözümü için Lagrange Fonksiyonu Lagrange çarpanı tanımlayalım. Teorem(Lagrange). g (x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) nin her hangi bir yerel maksimum veya minimum değeri f(a,b) ise, (a,b,) noktası aşağıdaki denklemler sisteminin bir çözümüdür: Örnek problemimizde,

Problem. z = f (x,y) = x2 + y2 nin x + y = 10 kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. g (x,y) = x + y – 10 = 0 f fonksiyonunun x + y = 10 kısıtlaması altında minimum değeri f (5,5) = 50. Burada, f fonksiyonunun x + y = 10 olan her (x,y) noktasındaki değerinin 50 den büyük olduğunu gözlemleyebilirsiniz.

z y x z = x2 + y2 (5,5,50) x+ y = 10 (0,0,0) (5,5,0)

Problem. z = f (x,y) = 25 - x2 - y2 nin x + y = 4 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. g (x,y) = x + y - 4 = 0 f fonksiyonunun x + y = 4 kısıtlaması altında maksimum değeri f (2,2) =17. Burada, f fonksiyonunun x + y = 4 olan her (x,y) noktasındaki değerinin 17 den küçük olduğunu gözlemleyebilirsiniz.

z y x (0,0,25) (2,2,17) z = 25 - x2 - y2 (0,0,0) (2,2,0) x+ y = 4

Problem. Ekonomide Cobb-Douglas Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyon, belli bir ürünün üretilmesi için x birimlik iş gücü, y birimlik ham madde ve teçhizat yatırımı yapılması durumunda o üründen kaç adet üretilebileceğini gösterir. Bir firmanın üretmeye karar verdiği yeni bir ürün için Cobb-Douglas Fonksiyonu N (x,y) = 20 x0.55y0.45 olarak belirleniyor. Burada bir birimlik iş gücü, 45 TL, bir birimlik hammadde ve teçhizat, 90 TL olarak düşünüldüğüne ve bu iş için 450 000 TL ayrıldığına göre, üretilen ürün sayısının maksimum olması için bu meblağın ne kadarı iş gücü için, ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir? Çözüm. Bu problemin matematiksel modeli, iş gücü için x birimlik, ham madde ve teçhizat için y birimlik yatırım yapıldığı varsayılarak, “ N (x,y) = 20 x0.55y0.45 fonksiyonunu 45x + 90y = 45 0000 kısıtlaması altında maksimize ediniz.” biçiminde ifade edilebilir.

Böylece, N (x,y) = 20 x0.55y0.45 , g(x,y) = 45x + 90y – 450 000 . Lagrange çarpanları yönteminde F (x,y,) = N (x,y) +  g(x,y) = 20 x0.55y0.45 +  (45x + 90y – 450 000 ). Fx (x,y,) = 11 x-0.45y0.45 + 45  = 0 Fy (x,y,) = 9 x0.55y-0.55 + 90  = 0 F (x,y,) = 45x + 90y = 450 000 = 0. İlk iki denklemden  yok edilirse, 22 x-0.45y0.45 - 9 x0.55y-0.55 = 0  x = (22/9) y elde edilir.

Üçüncü denklem kullanılarak, 45(22/9) y + 90y – 450 000 = 0  110 y + 90y = 450 000  y = 2250.  x = (22/9)2250 = (22) 250 (22/9)= 5500. Eğer 5500 birimlik iş gücü, 2250 birimlik ham madde ve teçhizat yatırımı yapılırsa, maksimum sayıda ürün üretilir ki, bu maksimum sayı, N(5500, 2250) = (5500)0.55 (2250)0.45  146 dır.