GEOMETRİ DÖNEM ÖDEVİ KONU: AÇIORTAY TEOREMLERİ VE ÖRNEK SORU ÇÖZÜMLERİ KAYNAK: SÜRAT GEOMETRİ 1

İÇ AÇIORTAY TEOREMİ DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ

1) İÇ AÇIORTAY TEOREMİ A N C B Bir üçgende, herhangi bir açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. AB AC BN NC

İSPAT: ÖRNEKLER A H T B C N SONUÇ [AN] açıortayının ayırdığı ABN ve ANC üçgenlerinin, [NB] ve [NC] kenarlarına ait yükseklikleri ortak olduğundan İSPAT: 1) A(ABN) A(ANC) BN NC BN NC H T yazabiliriz. Şekilde görüldüğü gibi, [AN] açıor- tayının N noktasından [AB] ve [AC] kenarları- na çizilen dikmeler eşittir. NH olur. NT 2) A(ABN) A(ANC) ½×AB×NT ½×AC×NH AB AC SONUÇ (1) VE (2) EŞİTLİKLERİNDEN, BN NC OLUR. ÖRNEKLER

ÖRNEK -1- ÖRNEK -2- ÖRNEK -3-

ÖRNEK [KT], K açısının açı ortayıdır. NK=12 cm KM=9 cm MN=14 cm ise TM doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 12 cm 14 cm T M K 9 cm ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

Yani |TM|=6 cm bulunur. KM KN TM TN 9 12 x 14-x ÇÖZÜM N TM=x dersek, TN=14-x olur. Açıortay teore- mine göre, KM KN TM TN bulunur. Verilenler yerine yazılırsa; 9 12 x 14-x 12x = 9 (14-x) 21x=126 x=6 cm çıkar Yani |TM|=6 cm bulunur. ÇÖZÜM

[AN] A açısının açıortayıdır. |BN|=6 cm |NC|= 5 cm ÖRNEK A ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ. B C N 6 5 [AN] A açısının açıortayıdır. |BN|=6 cm |NC|= 5 cm ve ABC üçgeninin çevresi 33 cm ise |AC|=?

ÇÖZÜM SONUÇ A N C B AB AC BN NC 22-x x 6 5 6x=5 (22-x) 6x=110-5x Üçgenin çevresi 33 cm verildiğine göre |AB|+|AC|+|BC|=33 cm’dir. |BC|=11 cm olduğundan |AB|+|AC|=22 cm olur. |AC|=x dersek |AB|=22-x olur. Açıortay teoremine göre, AB AC BN NC yazabiliriz. 22-x x 6 5 6x=5 (22-x) 6x=110-5x 11x=110 X=10 cm DOLAYISIYLA |AC|=10 CM ÇIKAR. SONUÇ

SONUÇ a ) b ) c ) A E D O B C N OA OB OC b+c a+c a+b ON OD OE a b c b Şekildeki ABC üçgeninde, a,b,c kenar uzunlukları [AN],[BD],[CE] sırasıyla A,B,C açılarına ait açıortaylardır. Açıortayların kesim noktası O olmak üzere ; OA ON b+c a OB OD a+c b OC OE a+b c a ) b ) c )

AÇIKLAMA OA AB ON BN OA ON AC NC c b O OA ON AC NC AB BN a OA ON AC+AB (Açıortay teoremi) 1 ) OA ON AC NC a a c b 2 ) (Açıortay teoremi) E D O b c OA ON AC NC BİRLEŞTİRİRSEK; AB b c BN B C N BURADAN; a OA ON AC+AB NC+BN b+c a BULUNMUŞ OLUR.

A ÖRNEK E D O B C N |OA| =? |ON| Şekilde [AN] , [BD ] , [CE] sırasıyla ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ. N Şekilde [AN] , [BD ] , [CE] sırasıyla A, B,C açılarının açıortaylarıdır. |AB|=8 cm |AC|=10 cm |BC|=12 cm olduğuna göre; |OA| =? |ON|

A N C B b c a E D O OA ON AB+AC BC 8+10 12 5 3 ÇÖZÜM BULUNMUŞ OLUR.

1) DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ AB AC BN NC A B C N Bir ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı [BC] kenarının uzantısını N noktasında kesiyorsa; AB AC BN NC olur.

ÖRNEK -1- ÖRNEK -2-

ÖRNEK A N C B 10 8 5 x Şekilde [AN] A açısının açıortayıdır. |AB|=10 cm |AC|=8 cm |BC|=5 cm ise, |CN|=x kaç cm dir? ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

SONUÇ ÇÖZÜM 10 8 5 x AB AC BN NC A N C B 5+x Dış açıortay teoremine göre ; AB AC BN NC yazabiliriz. Verilenleri yerine koyarsak; 5+x 10x = 8 (5+x) 10x = 40+8x 2x = 40 x = 20 cm çıkar. SONUÇ

A N C B D SONUÇ Şekildeki ABC üçgeninde [AD], A açısının iç açıortayı, [AN], A açısının dış açıortayı olmak üzere 1- [AD] diktir [AN] 2- BD DC BN NC olur.

ÖRNEK A N C B D 6 x 4 Şekildeki ABC üçgeninde [AD] ve [AN] sırasıyla A açısının iç ve dış açı ortaylarıdır. |BD|=6 cm |DC|=4 cm olarak veriliyor. |CN|=? ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

ÇÖZÜM BD DC BN NC A B C N D 6x=4 (10+x) 6 10+x 6x=40+4x 2x=40 4 x |CN|=x olsun olduğundan 6x=4 (10+x) 6x=40+4x 2x=40 X=20 cm çıkar. 6 10+x 4 x

SLAYT GÖSTERİSİ SONA ERMİŞTİR.