EŞİTSİZLİKLER ÖMER ASKERDEN UZMAN İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ PİRİ MEHMET PAŞA ORTAOKULU UZMAN İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ omeraskerden@hotmail.com.tr

< , > , ≤ , ≥ sembolleri eşitsizlik işaretleridir. 1) EŞİTSİZLİKLER: Aralarında < , > , ≤ , ≥ işaretleri bulunan sayı önermelerine eşitsizlik denir. < , > , ≤ , ≥ sembolleri eşitsizlik işaretleridir. < Küçüktür işareti, > Büyüktür işareti, ≤ Küçük eşit işareti, ≥ Büyük eşit işareti. X+2 < 15, 2x–8 > 24 3.(x+4) < 2.(x–1)+5 4x+12 ≤ 3x+18 X ≤ Y, 2x+3y < x+y-24

Eşitsizlik < ise > ;> ise < ; ≤ ise ≥;≥ ise ≤ olur. 2) EŞİTSİZLİK ÖZELLİKLERİ: 2-A) Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizliğin değeri değişmez. ÖRNEK-1: 4 < 12 eşitsizliği verilsin. 4+5 < 12+5 ise 9 < 17 ÖRNEK-2: 18 > 26 eşitsizliği verilsin. 18-10 > 26-10 ise 8 > 16 2-B) Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Eşitsizlik < ise > ;> ise < ; ≤ ise ≥;≥ ise ≤ olur. ÖRNEK-1: 100 > 23 eşitsizliği verilsin. -4.100 > -4.23 Yön değiştirir. -400 < -92 omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEKLER ÖRNEK-2: 14 < 30 eşitsizliği verilsin. -2.14 < -2.30 Yön değiştirir. -28 > -60 ÖRNEK-3: 100 > 23 eşitsizliği verilsin. -6.100 > -6.23 Yön değiştirir. -600 < -138 ÖRNEK-4: 14 < 30 eşitsizliği verilsin. -5.14 < -5.30 Yön değiştirir. -70 > -150 ÖRNEK-1: 100 > 20 eşitsizliği verilsin. 100:-4 > 20:-4 Yön değiştirir. -25 < -5

ÖRNEKLER ÖRNEK-2: 14 < 30 eşitsizliği verilsin. 14 :-2< 30:-2 Yön değiştirir. -7 > -15 ÖRNEK-3: 120 > 40 eşitsizliği verilsin. 120:-4 > 40:-4 Yön değiştirir. -30 < -10 ÖRNEK-4: 24 < 72 eşitsizliği verilsin. 24:-6< 72:-6 Yön değiştirir. -4> -12 omeraskerden@hotmail.com.tr

3) EŞİTSİZLİKLERDE ÇÖZÜM ARALIĞI

(a,b)={x: a < X < b ,x,a,b  R} 3-A) [a,b] kapalı aralığı: a ve b uç noktaları çözüm kümesine dahildir. a ve b uç noktalarının içi doludur. İçi dolu olduğu için çözüm aralığına dâhil olur. [a,b]={x: a≤X≤b,x,a,b  R} 3-B) (a,b) açık aralığı: a ve b uç noktaları çözüm kümesine dahil değildir. a ve b uç noktalarının içi boştur. İçi boş olduğu için çözüm aralığına dâhil olmaz. (a,b)={x: a < X < b ,x,a,b  R} omeraskerden@hotmail.com.tr

[a,b)={x: a ≤ X < b ,x,a,b  R} 3-C) [a,b) Yarı açık aralığı: a uç noktası çözüm kümesine dahil b uç noktası çözüm aralığına dahil değildir.. a uç noktasının içi doludur. İçi dolu olduğu için çözüm aralığına dâhil olur. b uç noktasının içi boştur. İçi boş olduğu için çözüm aralığına dahil olmaz. [a,b)={x: a ≤ X < b ,x,a,b  R} 3-D) (a,b] Yarı açık aralığı: a uç noktası çözüm kümesine dahil değil, b uç noktası çözüm aralığına dahildir. a uç noktasının içi boştur. İçi boş olduğu için çözüm aralığına dâhil olmaz. b uç noktasının içi doludur. İçi dolu olduğu için çözüm aralığına dâhil olur. (a,b]={x: a < X ≤ b ,x,a,b  R} omeraskerden@hotmail.com.tr

4)1.DERECEDEN 1 BİLİNMYENLİ EŞİTSİZLİKLER: İçinde 1 bilinmeyen bulunan, bilinmeyenin derecesi 1 olan eşitsizliklere 1.dereceden 1 bilinmeyenli eşitsizlikler denir. X–2 < 14 2X–6 > 3X–4 6.(2X–12) ≥ 4.(3X–4)+16 3.(2X–15)+8 > 28 4.(2X-5) < 2.(X-8) 2.(X-2) > 3.(X-4) + 6 3X+12 > 4X-20

1.DERECEDEN 1 BİLİNMYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM KÜMESİNİ BULMAK

5)1.DERECEDEN 1 BİLİNMYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM KÜMESİNİ BULMAK: ÖRNEK-1: 3X–2 <7 Eşitsizliğini çözüm kümesini N’ de bulunuz? 3X–2 <7 3x < 7+2 3x < 9 X < 3 Ç={0,1,2} ÖRNEK-2: 2X+4 >12 Eşitsizliğini çözüm kümesini R’ de bulunuz? 2X+4 >12 2x >12–4 2x>8 x>4 Ç={4’ten büyük R} omeraskerden@hotmail.com.tr

X ≥ -1 Ç={-1’e eşit ve -1’den büyük R} ÖRNEK-3: 2x–4 ≥ -6 Eşitsizliğini çözüm kümesini R’ de bulunuz? 2x–4 ≥ -6 2x ≥ -6+4 2x ≥ -2 X ≥ -1 Ç={-1’e eşit ve -1’den büyük R}

1.DERECEDEN 1 BİLİNMYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM KÜMESİNİ KOORDİNAT DÜZLEMİNDE GÖSTERMEK

6) 1.DERECEDEN 1 BİLİNMYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM KÜMESİNİ KOORDİNAT DÜZLEMİNDE GÖSTERMEK: A) Eşitsizlik denklem gibi düşünülür. Denklem çözülür. Çözüm kümesi yazılır. B) X ve Y eksenlerine paralel olan doğru grafiklerini çizilir. C) Eşitsizlik ≤ veya ≥ sembolü ile verilmiş ise, doğru grafiği düz bir çizgi halinde çizilir. Düz çizgiler doğru grafiğinin üzerindeki bütün noktaların çözüm kümesine dâhil olduğunu gösterir. D) Eşitsizlik < veya > sembolleri ile verilmiş ise, denklemin doğru grafiği kesik kesik çizgiler ile gösterilir. Kesik çizgiler doğru grafiği üzerindeki her noktanın çözüm kümesine ait olmadığını gösterir. E) Denklemin doğru grafiğinin hangi tarafı çözüm kümesini doğruluyorsa, o taraf taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

Ç={ 2’ye eşit ve 2’den küçük R} ÖRNEK-1: 2x+8 ≤ 12 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? (X  R ) 2x+8 ≤ 12 2x ≤ 12–8 2x ≤ 4 x ≤ 2 Ç={ 2’ye eşit ve 2’den küçük R} X=2 doğrusu çizilir. Bu doğru üzerindeki her nokta çözüm bölgesine dâhildir. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-2: 4x+10 > 14 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız ÖRNEK-2: 4x+10 > 14 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? (X  R ) 4x+10 > 14 4x > 14–10 4x > 4 X > 1 Ç={1’den büyük R } X=1 Doğrusu kesik kesik çizilir. Bu doğru üzerindeki hiçbir nokta çözüm bölgesine dâhil değildir. Bu doğrunun sağ tarafı 1’den büyük olduğu için çözüm bölgesi olarak taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

7) 1.DERECEDEN 2 BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER: a,b,c  R olmak üzere; ax+by+c <0 , ax+by+c >0 , ax+by+c ≤0, ax+by+c ≥0, şeklindeki eşitsizliklere 1.dereceden 2 bilinmeyenli eşitsizlikler denir. X+Y <10, X-Y-10 >6, 2X+15 ≥3Y+18

1.DERECEDEN 2 BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM BÖLGESİNİ KOORDİNAT DÜZLEMİNDE GÖSTERME

8) 1.DERECEDEN 2 BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM BÖLGESİNİ KOORDİNAT DÜZLEMİNDE GÖSTERME: Eşitsizlik denklem gibi düşünülür. Denklemin doğru grafiğini çizmek için değişim tablosu yapılır. B) Eşitsizlik ≤ veya ≥ sembolü ile verilmiş ise, doğru grafiği düz bir çizgi halinde çizilir. Düz çizgiler doğru grafiğinin üzerindeki bütün noktaların çözüm kümesine dâhil olduğunu gösterir. C) Eşitsizlik < veya > sembolleri ile verilmiş ise, denklemin doğru grafiği kesik kesik çizgiler ile gösterilir. Kesik çizgiler doğru grafiği üzerindeki her noktanın çözüm kümesine ait olmadığını gösterir. D) Denklemin doğru grafiğinin herhangi bir tarafında bir nokta alınır. Bu noktanın koordinatları eşitsizliği sağlıyorsa noktanın olduğu bölge, çözüm bölgesi olarak taranır. Bu noktanın koordinatları eşitsizliği sağlamıyorsa noktanın bulunduğu bölgenin tersi olan bölge çözüm bölgesi olarak taranır.

ÖRNEK-1: X+Y > 3 Eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? X=0 iken Y=3 Y=0 iken X=3 olur. A(0,0) noktasının koordinatlarının eşitsizliği doğrulayıp doğrulamadığı araştırılır. X+Y > 3 0+0 > 3 0>3 yanlış. Analitik Düzlemde X=3 ve Y=3 noktalarından geçen doğru grafiği çizilir. Eşitsizlik “ > “sembolü ile verildiği için doğru grafiği kesik çizgiler ile çizilir. Eşitsizlik doğrulanmıyor. A noktasının bulunduğu bölgenin tersi olan bölge taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-2: 2X+3Y ≥ 6 Eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? X=0 İken y=2 Y=0 İken X=3 Analitik Düzlemde X=3 ve Y=2 noktalarından geçen doğru grafiği çizilir. Eşitsizlik “≥ “sembolü ile verildiği için doğru grafiği düz bir çizgi ile çizilir. A(0,0) ise 2X+3Y ≥ 6 2.0+3.0 ≥ 6 0+0 ≥ 6 0≥6 Yanlış. Eşitsizlik doğrulanmıyor. A noktasının bulunduğu bölgenin tersi olan bölge taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-3) 3Y–9 < -3 Eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? Ç={2’den küçük reel sayılar} omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-4) 3X-2 ≥ X+2 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? 3) 3x-2 ≥ x+2 eşitsizliği denklem gibi düşünüldü. 3x-2=x+2 oldu.3x-x=2+2 2x=4 x=2 doğrusunun grafiği düz bir çizgi şeklinde çizilecek. Çünkü eşitsizlikte ≥ sembolü kullanılmış. Düz çizgi çözüm kümesine dahildir. 2) Ç={2’ye eşit ve 2’den büyük reel sayılar} omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-5) y ≥ -X+2 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? 1)y≥-x+2 eşitsizliği y=-x+2 denklemi şeklinde düşünüldü. Bu denklemin doğru grafiği çizilecek. 2)x=0 ise y=2 ve A(0,2) , y=0 ise x=2 ve B(2,0) olur. 3)Bu denklemin doğru grafiği ≥ İşareti verildiğinden düz çizgidir. Koordinat düzleminde doğru grafiği çizilir. 4)Koordinat düzleminde doğru grafiğinin Herhangi bir tarafında bir nokta alınır. Bu noktanın koordinatları eşitsizliği doğrulu yorsa noktanın bulunduğu bölge taranır. Doğrulamıyorsa noktanın bulunduğu böl genin tersi olan bölge taranır. A(0,0) noktası orijinin koordinatlarıdır. Bu koordinatları eşitsizlikte yerine koyalım. y ≥ -X+2 0≥-0+2 0≥2 Yanlış. A noktasının bulunduğu bölgenin tersi olan bölge taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-6) 2y > 3X+6 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? 1) 2y>-3x+6 eşitsizliği 2y=-3x+6 denklemi şeklinde düşünüldü. Bu denklemin doğru grafiği çizilecek. 2)x=0 ise 2y=6,y=3 ve A(0,3) , y=0 ise 0=-3x+6,3x=6,x=2 ve B(2,0) olur. 3) Bu denklemin doğru grafiği > İşareti verildiğinden kesik çizgidir. Koordinat düzleminde doğru grafiği kesik kesik çizilir. 4)Koordinat düzleminde doğru grafiğinin Herhangi bir tarafında bir nokta alınır. Bu noktanın koordinatları eşitsizliği doğruluyorsa noktanın bulunduğu bölge taranır. Doğrulamıyorsa noktanın bulunduğu bölgenin tersi olan bölge taranır.A(0,0) noktası orijinin koordinatlarıdır. Bu koordinatları eşitsizlikte yerine koyalım. 5)2y > -3X+6 2.0 > -3.0+6 0 > 6 Yanlış. A noktasının bulunduğu bölgenin tersi olan bölge taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-7) 3y ≤ 4X+12 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? 1)3Y≤4x+12 eşitsizliği 3y=4x+12 denklemi şeklinde düşünüldü. Bu denklemin doğru grafiği çizilecek. 2)x=0 ise 3y=12,y=4 ve A(0,4) , y=0 ise -4x=12 x=-3 ve B(-3,0) olur. 3)Bu denklemin doğru grafiği ≤ İşareti verildiğinden düz çizgidir. Koordinat düzleminde doğru grafiği çizilir. 4)Koordinat düzleminde doğru grafiğinin Herhangi bir tarafında bir nokta alınır. Bu noktanın koordinatları eşitsizliği doğruluyorsa noktanın bulunduğu bölge taranır. Doğrulamıyorsa noktanın bulunduğu bölgenin tersi olan bölge taranır.A(0,0) noktası orijinin koordinatlarıdır. Bu koordinatları eşitsizlikte yerine koyalım. 5)3y ≤ 4X+12 3.0 ≤ 4.0+12 0≤12 Doğru. A noktasının bulunduğu bölge taranır. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-8) 2X-6 ≥ X-3 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? X ≥3 Eşitsizliği çözüldü. 2) Ç={3’e eşit ve 3’ten büyük reel sayılar} 3) 2x-6≥ x-3 eşitsizliği denklem gibi düşünüldü.2x-6=x-3 oldu.2x-x=-3+6,x=3 doğrusunun grafiği düz bir çizgi şeklinde çizilecek.Çünkü eşitsizlikte ≥ sembolü kullanılmış. Düz çizgi çözüm kümesine dahildir. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK-8) 2X-3 < X-1 eşitsizliğinin çözüm bölgesini tarayınız? 1) 2X-3 < X-1 , 2X-X < -1+3,X < 2 Eşitsizliği çözüldü. 2) Ç={2’den küçük reel sayılar} 3) 2x-3≥ x-1 eşitsizliği denklem gibi düşünüldü.2x-3=x-1 oldu. 2x-x=-1+3, x=2 doğrusunun grafiği kesik kesik çizgi şeklinde çizilecek. Çünkü eşitsizlikte “< “ sembolü kullanılmış. Kesik çizgi çözüm kümesine dahil değildir. omeraskerden@hotmail.com.tr

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

TEST-1

TEST-2

TEST-3

HAZIRLAYAN ÖMER ASKERDEN PİRİ MEHMET PAŞA ORTAOKULU UZMAN İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ omeraskerden@hotmail.com.tr