ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERİNE İSTATİSTİKSEL İŞLEMLER

Verilerin Düzenlenmesi Ölçme işlemleri sonunda elde edilen, anlamlı hâle getirilmemiş, üzerinde hiçbir istatistiksel işlem yapılmamış sayılar yığını ham veri olarak tanımlanır. Ham veri, düzenlenmemiş veridir. Bu veriler en kolay, frekans tablosunun hazırlanması ile düzenlenebilir.

Örnek: 10, 10, 30, 30, 30, 30, 40, 40, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 90, 90, 100, 100, 100, 100 puan dağılımı aşağıdaki tablodaki gibi özetlenebilir. PUAN FREKANS YIĞILMALI FREKANS YIĞILMALI YÜZDE 10 2 30 4 6 40 8 50 60 14 70 90 16 80 100 20

Yığılmalı Frekans Belli bir puana kadar, grupta o puan aralığında kaç kişinin olduğunu gösterir. Yandaki tabloda örneğin, 10-60 aralığında puan alan toplam 14 kişi vardır. Yığılmalı frekans son satırda toplam ölçüm sayısını (kişi sayısını, veri sayısını, vb.) verir. Yandaki tabloda yığılmalı frekansın son satırının 20 olması, grupta 20 kişinin olduğunu gösterir. PUAN FREKANS YIĞILMALI FREKANS YIĞILMALI YÜZDE 10 2 30 4 6 40 8 50 60 14 70 90 16 80 100 20

Yığılmalı Yüzde Belli bir puana kadar, o puan aralığında grubun yüzde kaçının bulunduğunu gösterir. Yukarıdaki tabloda örneğin, 10 - 60 aralığında puan alan kişiler grubun % 70'ini oluşturur. PUAN FREKANS YIĞILMALI FREKANS YIĞILMALI YÜZDE 10 2 30 4 6 40 8 50 60 14 70 90 16 80 100 20

Aşağıdaki sayıları tablo haline getiriniz. 25 70 70 30 80 50 80 70 80 PUAN FREKANS YIĞILMALI FREKANS YIĞILMALI YÜZDE 25 2 10 30 4 6 50 8 40 70 12 60 80 20 100

Verilerin Gruplandırılması Aralığın Gerçek Sınırı: Puanların sürekli hâle getirilmesi için her grubun başlangıç noktası 0,5 puan (birim) altına, bitim noktasının 0,5 puan (birim) üstüne doğru genişletilmesiyle elde edilir. Gerçek sınırlar aslında bir grup aralığının üst sınırı ile daha sonraki grup aralığının alt sınırı toplanıp ikiye bölünerek elde edilir. Puan aralığı Frekans Aralığın orta noktası (x0) Yığılmalı frekans Aralığın gerçek sınırı 76-80 4 78 75,5-80,5 71-75 2 73 6 70,5-75,5 66-70 68 10 65,5-70,5 61-65 8 63 18 60,5-65,5 56-60 58 20 55,5-60,5 51-55 53 26 50,5-55,5 46-50 48 34 45,5-50,5 41-45 43 40 40,5-45,5 36-40 38 44 35,5-40,5

Grup Aralık Katsayısı (Aralık Genişliği) Aralığın Orta Noktası Aralığın alt sınırı ile üst sınırının toplamının ikiye bölünmesi ile elde edilir. Örnek: 76-80 aralığının orta noktası (76+80) / 2= 78’dir. Grup Aralık Katsayısı (Aralık Genişliği) Gerçekte grup genişliği, o grubun alt ve üst gerçek sınırları arasındaki farka eşittir. Örnek: 51-55 puan aralığının genişliği (55-51)+1= 5 şeklinde ya da 55,5-50,5=5 şeklinde hesaplanır.

Verilerin Grafikle Gösterilmesi Verilerin grafikle gösterilmesi, verilerin özetlenmesini, daha anlaşılır ve anlamlı hâle gelmesini sağlar. Aşağıda en sık kullanılan grafik türleri verilmiştir: Bar Grafik Histogram Frekans Poligonu Çizgi Grafiği Daire Grafiği

Bar Grafik Sınıflanabilen değişkenlerin ve kesikli grup aralıklarının görselleştirmesinde ve özetlenmesinde kullanılan grafiklerdir. Aşağıda nitel ve nicel iki değişken için bar grafik örnekleri verilmiştir.

Nitel değişken için bar grafiği örneği

Nicel değişken için bar grafiği örneği

Histogram Sürekli değişkenlerden elde edilen ölçümlerin grafikle gösterilmesi için kullanılır.

Frekans Poligonu Histogramda verilen puan aralıklarının orta noktalarının birleştirilmesiyle frekans poligonu elde edilir. Sürekli değişkenlere ait verileri ifade etmenin bir yoludur.

Çizgi Grafiği Frekans poligonunun iki ucu yatay eksene değmeden çizilmiş hâlidir. Nicel ve sürekli verilere ait dağılımlar için kullanılır. Zamana bağlı değişimleri özetlemek için de kullanılır.

Daire Grafiği Sınıflanabilen değişkenlerin yüzdelik değerlerini göstermede kullanılır. Kategorilerin yüzdelik değerleri göz önüne alınarak basit bir oranlamayla daire grafiğinde temsil edilecek dilimleri belirlenir.

İstatistiksel İşlemler Ölçme sonuçlarına dayalı olarak öğrenciler, öğretmenler ve eğitim sistemi hakkında çeşitli kararlar verilebilir. Ölçme sonuçlarına bakarak karar verebilmek için ölçme sonuçları üzerinde bazı istatistiksel işlemler yapılmalıdır. Bu işlemler "test ve madde istatistikleri" olmak üzere ikiye ayrılır.

Test İstatistikleri Bir testin uygulandığı gruptan elde edilen sayısal veriler olan test istatistikleri, merkezî eğilim (yığılma) ve değişkenlik (dağılma) ölçüleri olmak üzere ikiye ayrılır.

Merkezî Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Bir grup ölçümün (verinin) dağılımında, ölçümlerin etrafında toplanma veya yığılma gösterdiği değerlere ya da ölçülere "merkezî eğilim ölçüleri" denir. Bu ölçüler aynı zamanda veri grubunun bütününü temsil ederler.

Grubun ölçülen özellik bakımından tipik değerlerini ifade eden merkezî eğilim ölçüleri şunlardır: Aritmetik Ortalama Medyan (Ortanca) Mod (Tepe Değer)

Aritmetik Ortalama (Mean) Bir grup verinin toplamının veri sayısına bölünmesi ile hesaplanan merkezî eğilim ölçüsüne "aritmetik ortalama" denir. Verilerin tamamı dikkate alınarak hesaplanır. Verilere, aritmetik ortalama ile aynı olmamak şartı ile yeni değerlerin eklenmesinden ve çıkarılmasından etkilenir. Aritmetik ortalama X sembolü ile gösterilir.

Bir grup verinin aritmetik ortalamasının hesaplanması Bir grup verinin aritmetik ortalaması veri değerlerinin toplamının, veri sayısına bölünmesi ile hesaplanır.

Sosyal Bilgiler Öğretmenliği 2 Sosyal Bilgiler Öğretmenliği 2. sınıf öğrencilerinin Arkeoloji dersi final sınavından aldıkları aşağıdaki notların aritmetik ortalaması nedir? 65 70 80 55 34 90 88 68 40 64 76 72 46 60 24 12

Frekans tablolarında aritmetik ortalamanın hesaplanması Frekans tablolarındaki puanlarla (x), bu puanı alan kişi sayısı (f) çarpılır ve f.x değerleri bulunur. Daha sonra bulunan f.x değerlerinin toplamı hesaplanarak toplam kişi sayısına bölünür. Bu durumda aritmetik ortalama aşağıdaki formül ile hesaplanır.

20 öğrencinin Atatürk İlkeleri ve İnkılâp Tarihi dersinden aldığı puanlar aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Puan Frekans 100 1 90 2 80 3 70 60 4 50 40 30 20

Gruplandırılmış verilerde aritmetik ortalamanın hesaplanması Gruplandırılmış verilerde öncelikle puan aralıklarının orta noktaları (Xo) bulunur. Orta nokta, o puan aralığındaki kişi sayısıyla (f) çarpılır. Daha sonra Xo • f değerlerinin toplamı, dağılımdaki toplam kişi sayısına bölünür. Bu durumda aritmetik ortalama aşağıdaki formül ile hesaplanır.

20 öğrencinin İslamiyet Öncesi Türk Tarihi ve Kültürü dersinden aldıkları puanlarının dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının aritmetik ortalaması kaçtır? Puan Aralığı Frekans 85-89 2 80-84 3 75-79 4 70-74 65-69 60-64 5

Bar grafiklerinde aritmetik ortalamanın hesaplanması Bar grafiklerinde aritmetik ortalama hesaplanırken puan aralıklarının orta noktaları ile frekanslar çarpılır. Bu çarpım değerleri toplanır ve toplam frekansa bölünür.

Aritmetik ortalamanın kullanıldığı durumlar Soru sayıları eşit olduğunda; grubun başarı düzeyinin, öğrencilerin ortalama başarı düzeyinin, öğrencilerin öğrenme düzeyinin en düşük veya en yüksek olduğu dersin (ya da testin) sorulduğu sorularda aritmetik ortalamaya bakılır ve buna göre yorum yapılır. Aritmetik ortalamanın yüksek olduğu grup ya da derste öğrenciler daha başarılıdır.

Soru sayıları farklı olduğunda grubun başarı düzeyinin, öğrencilerin ortalama başarı düzeyinin, öğrencilerin öğrenme düzeyinin en düşük veya en yüksek olduğu dersin (ya da testin) sorulduğu sorularda testin ortalama güçlüğüne (p) bakılır ve buna göre yorum yapılır. Testin ortalama güçlüğünün yüksek olduğu durumlarda öğrenciler daha başarılıdır.

Puanların ortalamaya olan katkılarına farklı ağırlıklar verilerek hesaplanan ortalamaya "ağırlıklı ortalama" denir. Üniversitede ya da lisede hesaplanan diploma notları ağırlıklı ortalamaya örnektir. Ağırlıklı ortalama aşağıdaki formül ile hesaplanır.

Medyan (Ortanca, Median) Küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru sıralanmış puan dağılımında tam ortada yer alan, yani sıralanmış puan dağılımında baştan ve sondan aynı sırada bulunan ölçme sonucuna "medyan" adı verilir.

Medyan bir puan dağılımını ortadan ikiye bölerek grubun alt yarısını, üst yarısından ayırır. Medyan bir puan dağılımdaki uç değerlerden ve bu değerlerin sayısal büyüklüklerinden etkilenmez. Örneğin, 1, 2, 3 olan bir dağılımda medyan 2'dir. Eğer bu dağılım 1, 2, 50 şeklinde olsaydı medyan yine 2 olurdu. Medyan uç değerlerden etkilenmediği için veri dağılımının normalden önemli ölçüde uzak (sağa ya da sola çarpık) olması durumlarında kullanılır.

Medyan bir dağılımdaki ölçme sonucu sayısından (n) etkilenir Medyan bir dağılımdaki ölçme sonucu sayısından (n) etkilenir. Ölçme sonucu sayısı arttıkça ya da azaldıkça medyanın yeri de değeri de değişir. Örneğin, 2, 3, 5 olan bir dağılımda medyan 3'tür. Bu dağılıma 7 ve 8 olan iki ölçme sonucu daha eklenirse dağılım 2, 3, 5, 7, 8 olur ve bu dağılımın medyanı da 5 olur. Medyan "Xort" sembolü ile gösterilir. Hesaplanabilmesi için ölçümlerin en az sıralama düzeyinde bir ölçekle elde edilmiş olması gerekir.

Medyanın Hesaplanması Puan Dağılımında Veri Sayısı Tek Olduğunda Medyanın Hesaplanması "n" veri sayısını göstermek üzere, veriler sıraya konulduktan sonra veri medyanı verir.

Aşağıdaki veri grubunun medyanı kaçtır? 22 45 30 33 89 49 51 56 65 77 27

Xort= Xn+1 X11+1= X6 22-27-30-33-45-49-51-56-65-77-89 Veri grubunda toplam 11 tane puan var. n=11 Xort= Xn+1 X11+1= X6 2 2 22-27-30-33-45-49-51-56-65-77-89 Medyan

Puan Dağılımında Veri Sayısı Çift Olduğunda Medyanın Hesaplanması "n" veri sayısını göstermek üzere veriler sıraya konulduktan sonra (n/2)’nci ve (n/2+1)’inci sıradaki verilerin ortalaması medyanı verir.

Aşağıdaki veri grubunun medyanı kaçtır? 20 21 22 25 27 29 30 32 35 36

Frekans Tablolarında Medyanın Hesaplanması Öncelikle yığılmalı frekanslar hesaplanır. Yığılmalı frekansın son satırındaki değer toplam veri sayısını (n) gösterir. Bu değer tek ise (n+1/2)’nci veri medyandır. n çift sayı ise (n/2)’nci veri ve (n/2+1)’inci verilerin ortalaması medyanı verir.

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanlar aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının medyanı kaçtır? Puan Frekans 100 1 90 2 80 3 70 60 4 50 40 30 20 5

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanlar aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının medyanı kaçtır? Puan Frekans 100 2 90 8 70 5 40 4 20

Puan dizilerinde aşırı uç değerler olduğunda medyan uç değerlerden etkilenmediği için merkezî eğilim ölçüsü olarak uç değerlerden etkilenen aritmetik ortalama yerine tercih edilir.

Gruplandırılmış Verilerde Medyanın Hesaplanması Öncelikle yığılmalı frekanslar hesaplanır. Yığılmalı frekansın son satırındaki değer toplam veri sayısını (n) gösterir. Bu değer tek ise medyan (n+1/2)’nci verinin yer aldığı puan aralığıdır. Bu değer çift ise (n/2)’nci ve (n/2+1)’nci verilerin yer aldığı puan aralığındadır.

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanların dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının medyanı hangi aralıktadır? Puan Aralığı Frekans 85-89 3 80-84 5 75-79 10 70-74 65-69 4

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanların dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının medyanı hangi aralıktadır? Puan Aralığı Frekans 1-10 1 11-20 3 21-30 7 31-40 41-50 2

Bar Grafiklerinde Medyanın Hesaplanması Bar grafiklerinde medyanın hesaplanması gruplandırılmış verilerde medyan hesaplanması ile aynı mantıktadır. Bar grafikleri, puan aralığı frekans tablosuna dönüştürülerek medyan hesaplanır.

Mod (Tepe Değer, Mode) Bir puan dağılımında ya da veri grubunda en çok tekrar eden yani frekansı en yüksek olan ölçme sonucuna "mod" adı verilir. Mod, merkezî eğilim ölçüleri arasında puan grubunun toplandığı değer hakkında en az bilgi veren ölçüdür. Ortalama ve medyan gibi ölçülerin hesaplanma olanağının olmadığı durumlarda daha çok mod kullanılır.

Modun Hesaplanması Bir puan dağılımında frekansı en büyük olan; yani en çok tekrar eden puan, o puan dağılımının modudur. Örneğin, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6 şeklinde olan bir puan dağılımında frekansı en büyük olan yani en çok tekrar eden puan 5 olduğu için, bu dağılımın modu "5“tir.

Bir puan dağılımında, bütün puanların frekansları aynı ise bu puan dağılımının modu yoktur. Bir puan dağılımında ardışık iki değer en büyük ve eşit frekansa sahipse mod bu iki değerin ortalamasına eşittir. Bir puan dağılımında ardışık olmayan iki değer en büyük ve eşit frekansa sahipse bu dağılımın iki farklı modu olur.

1-2-3-5-5-5-5-6-6-6-6-7-8-8-9 puanlarının yer aldığı grubun modu kaçtır?

1-2-3-5-5-5-7-8-9-9-9- puanlarının yer aldığı grubun modu kaçtır?

Frekans Tablolarında Modun Hesaplanması Frekans tablolarında en yüksek frekansa sahip olan puan o dağılımın modudur.

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanların dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının modu kaçtır? Puan Frekans 90 3 80 4 77 7 65 11 55

Gruplandırılmış Verilerde Modun Hesaplanması Gruplandırılmış verilerde en büyük frekansa sahip olan grup aralığının orta değeri, o puan dağılımının modudur.

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanların dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının modu kaçtır? Puan Aralığı Frekans 28-30 4 25-27 3 22-24 2 19-21 1 16-18 5 13-15 10-12

Bar Grafiklerinde Modun Hesaplanması Bar grafiklerinde en büyük frekansa sahip olan grup aralığının orta değeri moddur.

Aritmetik Ortalama, Medyan ve Modun Karşılaştırılması Bir puan dağılımında dağılımın simetrik olup olmadığı, simetrik değilse simetrikliğin ne yönde bozulduğu hakkında bilgi edinebilmek için aritmetik ortalama, medyan ve mod değerleri karşılaştırılır.

Simetrik Dağılımlar Aritmetik ortalama, medyan ve mod değerleri birbirine eşittir. Ortalamaya eşit uzaklıktaki puanların frekansları birbirine eşittir. Puanların yarısı aritmetik ortalamanın altında, yarısı üstünde yer alır. Dağılım eğrisi üzerindeki noktalar düşey eksene göre simetriktir.

Sola (Soldan) Çarpık Dağılımlar Sola çarpık dağılımlar, aritmetik ortalamanın medyandan, medyanın da moddan küçük olduğu dağılımlardır (x < Medyan < Mod). Sola çarpık dağılımlara ortalamanın çok altında kalan puanlar ortalamayı sayı doğrusu üzerinde negatif yöne doğru (sola) çektiği için negatif kayışlı da denir. Puanların yarısından fazlası aritmetik ortalamanın üzerinde toplanır. Bu nedenle dağılım yüksek puanlarda yani sağa doğru yığılma gösterir.

Soldan çarpık dağılımlarda genel olarak yapılabilecek yorumlar x < Medyan < Mod'dur. Negatif kayışlıdır. Öğrenme yeterlidir. Test kolaydır. Öğrencilerin başarıları yüksektir. Öğrencilerin öğrenme düzeyi yüksektir. Öğrencilerin çoğu hedef davranışları kazanmıştır.

Sağa (Sağdan) Çarpık Dağılımlar Sağa çarpık dağılımlar, modun medyandan, medyanın da aritmetik ortalamadan küçük olduğu dağılımlardır (Mod < Medyan < x). Sağa çarpık dağılımlara, aritmetik ortalamanın çok üzerinde kalan puanlar ortalamayı sayı doğrusu üzerinde pozitif yöne (sağa) doğru çektiği için pozitif kayışlı da denir. Puanların yarısından fazlası aritmetik ortalamanın altında kalır. Bu nedenle dağılım düşük puanlarda yani sola doğru yığılma gösterir.

Mod < Medyan < x'dır. Pozitif kayışlıdır. Öğrenme yetersizdir. Sağdan çarpık dağılımlarda genel olarak yapılabilecek yorumlar Mod < Medyan < x'dır. Pozitif kayışlıdır. Öğrenme yetersizdir. Test zordur. Öğrencilerin başarıları düşüktür. Öğrencilerin öğrenme düzeyi düşüktür. Öğrencilerin çoğu hedef davranışları kazanamamıştır.

Çarpıklık / Kayışlılık (Skewness) Katsayısı Aritmetik ortalama, medyan ve mod değerlerinin birbirine eşit olmadığı durumlardaki dağılımlara "çarpık dağılımlar" denir. Ancak bu değerlerin eşit olmaması çarpıklığın büyüklüğü hakkında bilgi vermez. Dağılımların ne kadar çarpık olduğu hakkında bilgi edinmek için çarpıklık katsayısı hesaplanmalıdır. Çarpıklık katsayısı "Ky" sembolü ile gösterilir.

Çarpıklık katsayısının +1 ve -1 arasında olması puanların normalden aşırı bir sapma göstermediği, normale yakın bir dağılım gösterdiği şeklinde yorumlanabilir.

Aritmetik ortalaması 80, medyanı 90 ve standart sapması 10 olan bir puan dağılımının çarpıklık katsayısı kaçtır?

Değişkenlik (Dağılma) Ölçüleri Değişkenlik ölçüleri, ölçme sonuçlarının merkezî eğilim ölçüleri etrafında nasıl bir dağılım gösterdiği hakkında bilgi veren ölçülerdir. En temel değişkenlik ölçüleri şunlardır: Ranj (Dizi genişliği) Standart sapma Varyans Çeyrek sapma Bağıl değişkenlik katsayısı Değişkenlik ölçüleri öğrencilerin başarıları hakkında bilgi vermez. Grupların homojen veya heterojen olup olmadığı hakkında bilgi verir.

Ranj (Dizi genişliği, Range) Bir puan dağılımındaki en büyük ölçme sonucu ile en küçük ölçme sonucu arasındaki farka "ranj" denir. Ranj değeri dağılımdaki uç değerlerden etkilenir. Dağılımın benzeşikliği hakkında kaba bir bilgi verir.

Ranjın Hesaplanması Bir Grup Verinin Ranjının Hesaplanması En büyük veri ile en küçük veri arasındaki fark bulunur. 3,5, 9, 10, 15, 23, 29, 35 şeklinde olan bir puan dağılımının ranjı = 35 - 3 = 32'dir.

Bir sınıftaki öğrencilerin Sosyal Bilgiler dersinden aldıkları puanların dağılımı aşağıdaki gibidir. Bu puan dağılımının ranjı kaçtır? Puan Aralığı Frekans 30-34 5 25-29 7 20-24 9 15-19 3 10-14 2

Standart Sapma (Standart Kayma, Standart Deviation) Bir dağılımdaki ölçümlerin tümünü işleme katan ve ileri matematik hesaplar için uygun olan standart sapma en güvenilir ve kararlı değişim ölçüsüdür. Standart sapma bir dizi ölçümün ortalamadan olan farklarının kareleri ortalamasının kare köküdür.

Gruplandırılmamış ve tekrarlanmış ölçümlerin olmadığı bir dağılımın standart sapma değerinin hesaplanmasında kullanılan formül aşağıda verilmiştir.

Bir grup öğrencinin günlük tarih dersi yazılı sınav sonuçları 8, 1, 5, 10, 3, 9 olarak saptanmıştır. Bu veriler için standart sapmayı bulunuz. x X- X (X- X)2 8 2 4 1 -5 25 5 -1 10 16 3 -3 9 Toplam= 36 64

Aşağıdaki tabloda 10 öğrencinin Sosyal Bilgiler dersi final sınavından aldıkları puanlar gösterilmektedir. Bu sınavın standart sapması kaçtır? Öğrenci Ham Puan 1 4 2 8 3 6 5 7 9 10

Sınavın standart sapmasını bulmak için öncelikle öğrencilerin aldıkları ham puanlar toplanır. Daha sonra öğrenci sayısına bölünerek aritmetik ortalama hesaplanır. Grubun aritmetik ortalaması 60 / 10 = 6’dır. Daha sonra her bir öğrencinin aldığı ham puanın aritmetik ortalamadan farkı bulunur ve bu farkların kareleri hesaplanarak toplanır. Bu toplam, kişi sayısının bir eksiğine bölünerek çıkan sonucun karekökü bulunur.

Standart sapma değeri büyük olduğunda yapılabilecek yorumlar: Testin uygulandığı grup heterojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma fazladır. Bilen öğrenciler ile bilmeyen öğrenciler birbirinden ayrılmıştır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir.

Standart sapma değeri küçük olduğunda yapılabilecek yorumlar: Testin uygulandığı grup homojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma azdır. Bilen öğrencilerle bilmeyen öğrenciler birbirinden ayrılmamıştır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür.

Varyans (Variance) Puan dağılımının değişkenliğinin bir ölçüsüdür. Standart sapma için yapılan yorumlar varyans için de yapılabilir. Standart sapmaya göre daha üst düzey bilimsel analizlerde kullanılır. Standart sapmanın karesi alınarak hesaplanır.

Standart sapma için yapılan yorumlar çeyrek sapma için de yapılabilir. Puanların yalnız ortada kalan % 50'sini dikkate alarak hesaplanan bir değişim ölçüsüdür. Standart sapma gibi uç değerlerden etkilenmez. Bu nedenle çarpık dağılımlarda standart sapma yerine çeyrek sapma kullanılması daha doğru sonuçlar verir. Standart sapma için yapılan yorumlar çeyrek sapma için de yapılabilir. Ranja göre daha güvenilir bir ölçüdür.

Çeyrek sapma aşağıdaki formül ile hesaplanır: Çeyrek sapma, Q1, sembolü ile gösterilen birinci çeyrek (Y25) ile Q3 sembolü ile gösterilen üçüncü çeyrek (Y75) arasındaki farkın yarısına eşittir. Çeyrek sapma aşağıdaki formül ile hesaplanır: Birinci çeyreği 20, üçüncü çeyreği 40 olan bir dağılımın çeyrek sapması 40-20/2= 10’dur.

Bağıl Değişkenlik Katsayısı Hem aritmetik ortalamayı hem de standart sapmayı içeren ve daha çok bilgi veren değişkenlik ölçüsü "bağıl değişkenlik" katsayısıdır. Bağıl değişkenlik katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünüp 100 ile çarpılması sonucunda elde edilen bir yüzdedir.

Bağıl değişkenlik katsayısı aşağıdaki formül ile hesaplanır. Bağıl değişkenlik katsayısı büyük olan grubun diğerlerine göre daha heterojen, küçük olan grubun diğerlerine göre daha homojen olduğu söylenir.

Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin üç farklı dersten oldukları sınavlara dair puanlar yer almaktadır. Bu öğrenci grubunun aldığı puanların bağıl değişkenlik katsayısının en yüksek olduğu ders hangisidir? Ders X S Arkeoloji 50 12 Estetik 80 3 Antropoloji 70 7

Sivri ve Basık Dağılımlar Eğer dağılımın standart sapması küçükse grubun puanları birbirine yakın demektir. Dağılım küçük bir alana sıkıştığı için sivri bir görünüm alır. Bu dağılıma "sivri dağılım" denir. Sivri dağılımlarda grup ölçülen özellik bakımından homojendir.

Eğer dağılımın standart sapması büyük ise grubun puanları birbirinden uzak demektir. Dağılım geniş bir alana yayıldığı için basık bir görünüm alır. Bu dağılıma "basık dağılım" denir. Basık dağılımlarda grup ölçülen özellik bakımından heterojendir.

Basıklık (Kurtosis) Katsayısı Dağılımın genişliği yorumlanmak istendiğinde basıklık katsayısından faydalanılabilir. Basıklık katsayısı (Bs) aşağıdaki formül ile hesaplanır.