diziler

İD.11.6.1 Gerçek Sayı Dizileri İD.11.6.1.1 Dizi,sonlu dizi,sabit dizi kavramlarını ve dizilerin eşitliğini açıklar. İD.11.6.1.2 Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir sayı dizisinin terimlerini hesaplar. İD.11.6.1.3 Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini gösterir ve dizinin ilk n terimlerinin toplamını bulur.

Dİzİler Tanım kümesi pozitif tamsayılar olan her fonksiyona dizi denir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Değer kümesi reel sayılar olan dizilere reel sayı dizisi denir. Tanım kümesi N+ = {1,2,3,…,n,…} olan her fonksiyona dizi denir. Fonksiyonun değer kümesi R reel (gerçel) sayılar kümesi ise diziye gerçel sayı dizisi adı verilir. Yani gerçel sayı dizisi f : N+ à R şeklinde bir fonksiyondur. f fonksiyonunun görüntü kümesi,  {f(1), f(2), f(3), … , f(n), … } dir. f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, … , f(n) = an, … ile gösterilirse dizi { a1, a2, a3, …, an, … } sıralı yazılışı ile ifade edilir. Burada a1’e dizinin ilk terimi, a2’ye dizinin ikinci terimi…, an’e dizinin n. terimi yada genel terimi denir. Genel terimi an olan bir dizi kısaca ( an ) biçiminde gösterilir. Yani; ( an ) = ( a1, a2, a3, …, an, … ) dir.

Genel terimi (an) = (n!) olan dizi (an) = (1,2,6,…,n!,…) dir. NOT: Dizinin sonlu sayıda teriminin verilmesi diziyi tanımlamaz . Dizinin tanımlı olabilmesi için genel terimin de verilmesi gerekir. Örnek 1: Genel terimi (an) = (n!) olan dizi (an) = (1,2,6,…,n!,…) dir. Genel terimi (an) = (1/n) olan dizi (an) = (1,1/2,1/3,…,1/n,…) dir.

Örnek 2 ( n2-8n+1 /n+2) dizisinin kaç terimi 1/2, den küçüktür?

SONLU DİZİ AP={1,2,3,…,P} N+ olmak üzere tanım kümesi AP olan her fonksiyona bir p terimli sonlu dizi denir.

Örnek 3 A7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } olmak üzere f : A7 R, f(n) = (2n+3 / 2 ) dizisinin terimlerini bulunuz.

ALT DİZİ Her n E N+ için kn E N+ ve 1 < k1 < k1< … < (kp)  <…< (kn) < (kn+1) olmak üzere (an)  dizisinde n yerine (kn)  yazılarak elde edilen akn dizisine (an) in bir alt dizisi denir.

Örnek alt dizi; (a2n+1) = ( 5n+7 / 4n+3 ) ise (an) dizisini bulunuz?

Sabİt dİzİ Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit dizi denir.

Örnek 4 (an) = dizisi sabit ise k kaçtır ?

DİZİLERİN EŞİTLİĞİ Her n E N + için an =bn  ise ( an), ( bn ) dizileri eşittir denir ve ( an ) = ( bn ) ile gösterilir.

Örnek 5 ( an ) = ( n2+n / 2 ) ve ( bn ) = ( 1+2+…+n ) dizilerinin eşit diziler olduğunu gösteriniz.

DİZİLERDE İŞLEMLER ( an ) ve ( bn ) birer gerçel terimli dizi ve k E R olsun 1- k ile ( an) in çarpımı   :k . ( an ) = ( k.an )   2- ( an ) ile ( bn ) nin toplamı: ( an ) + ( bn ) = ( an  +  bn ) 3- ( an ) ile ( bn ) nin farkı     : ( an ) - ( bn ) = ( an  -  bn ) 4- ( an ) ile ( bn ) nin çarpımı  : ( an ) . ( bn ) = ( an  .  bn ) 5- Her n E N için bn=0 değil ise ( an ) dizisinin ( bn ) dizisine bölümü: ( an ) / ( bn ) = ( an  /  bn )

Örnek 6 ( an ) = ( 5n / n+1 ) ve ( bn ) = ( 7 / 2n+2 ) ise ( an ) / ( bn ) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek 7 ( an ) = ( 1,2,3,4,…,n ) ( bn ) = ( 2,4,6,8,…,2n) ( an ) - ( bn ) işleminin sonucunu bulunuz. Hatırlamadıysan Bir Kere Daha Bakalım  Sorunun Cevabına Götürür 

MONoTon DİZİLER KURAL Herhangi bir ( an ) dizisinde Her n E N+ için ,  an+1 < an ise an monoton azalandır. an+1 > an ise an monoton azalandır. an+1 ≤ an ise an monoton artmayandır. an+1 ≥ an ise an monoton azalmayandır. Hadi Soruya Tekrar Bakalım  Bu şartları sağlayan diziler monoton dizilerdir

KURAL Her n E N+ İçin an+1 – an > 0 ise (an) monoton artan dizidir

Örnek 8 ( n+5 / n+9 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz. Kuralları Hatırlamak İçin Tıkla  Sorunun Cevabı İçin Tıkla 

NOT a, b, c, d reel sayılar olmak üzere genel terimleri an+b / cn+d biçiminde olan dizilerin monotonluk durumlarını incelemek için aşağıdaki yol izlenir. 1- Paydanın kökü olan –d/c>1 ise dizi ne artan ne azalandır. 2- -d/c<1 ise dizi monotondur. Ayrıca eğer ad-bc>0 ise artan, ad-bc<0 ise azalandır. 3- ad-bc=0 ise dizi sabit dizidir.

Örnek 9 ( 7n+9 / 5n+ 1 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz.

KURAL Dizinin monotonluk durumu aşağıdaki gibi incelenir. 1.Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur. Bu durumda ; ad-bc > 0 ise dizi monoton artandır. ad-bc < 0 ise dizi monoton azalandır. ad-bc = 0 ise dizi sabittir. 2.Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

Bir dizinin limiti (an) bir reel sayı dizisi ve a E R olsun. a’nın her bir komşuluğu (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimi hariç geriye kalan tüm terimlerini içeriyorsa (an) dizisi a sayısına yakınsıyor veya (an) dizisinin limiti a’dır denir. lim an = a    veya   ( an )  a şeklinde gösterilir. Limiti olan diziye yakınsak dizi denir. Limiti olmayan diziye de ıraksak dizi denir.

Sonsuza ıraksama Bir r E R için r den büyük gerçel sayılar kümesine ∞ un r komşuluğu diyor ve (r, ∞) ile gösteriyoruz.Benzer biçimde (-∞,r) aralığında -∞ un komşuluğudur. Bir (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç geriye kalan tüm terimleri (r, ∞) aralığında ise bu dizi ∞ a ıraksanıyor denir ve (an) ∞ yazılır.Eğer (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç geriye kalan tüm terimleri (-∞,r) aralığında ise bu dizi -∞ a ıraksıyor denir ve (an) -∞ yazılır.

Örnek 10; (an) = (2n2+1) dizisinin terimlerini yazarak ∞ a ıraksadığını gösteriniz.

ARİTMETİK DİZİ Tanım: Ardışık iki terimi arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik diziler denir. a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an-an-1 ise an bir aritmetik dizidir.

Aritmetik dizi özellikleri Bir aritmetik dizinin ilk n terimini göz önüne alalım. Bu n terimden, baştan ve sondan eşit uzaklıkta olanların toplamı birbirine eşittir.   Örneğin ilk terimi 1 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin ilk 10 terimini yazalım: 1,5,9,13,17,21,25,29,33,37 (1+37)=(5+33)=(9+29)=(13+25)=(17+21)=38’dir.

Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, bu iki terimin sağından ve solundan eşit uzaklıkta olan terimlerin aritmetik ortalaması (toplamlarının yarısı) kadardır.   Yani k<p için ap=(ap-k+ap+k) / 2’dir. Örneğin;   a2=(a3+a1)/2    a4=(a1+a7)/2

Ortak farkı r olan bir (an ) aritmetik dizisinin ilk n terimi toplamı Sn = a1+a2+a3+….+an = a1+(a1+r)+(a1+2r)+…..+(a1+(n-1)r) = na1+(1+2+3+…+(n-1)r = na1+(n-1)nr/2 = (n/2)(2a1+(n-1)r olur.

O halde ; ilk terimi a1 , ortak farkı r olan  bir aritmetik dizinin baştan ilk n teriminin toplamı: ilk terimi a1 , Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+r)+…+(a1+(n-1)r) =na1+(1+2+…+(n-1))r =na1 + (n-1)nr/2 =n/n[2a1+(n-1)r] olur. O halde ilk terimi a1, ortak farkı r olan bir aritmetik dizinin baştan ilk n teriminin toplamı; Sn=n[2a1+(n-1)r]/2=n(a1+an)/2 Şeklinde ifade edilebilir.

Örnek 11 Birinci terimi 5 ve ikinci terimi 8 olan aritmetik dizinin genel terimini bulunuz ve ilk 9 teriminin toplamını hesaplayınız.

Ek örnek; Bir aritmetik dizinin a. terimi b, b. terimi a ise 4. terimi nedir.

Örnek 11.1 ; İlk terimi – 5 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin terimini bulunuz.

Örnek 11.2 Bir aritmetik dizinin 8. terimi x olduğuna göre, 2. ve 14. terimleri toplamı nedir ?

GEOMETRİK DİZİ Ardışık iki terimi oranı aynı olan dizilere geometrik dizi denir.Yani r R olmak üzere her N+ İçin an+1/an=r  ise  (an) bir geometrik dizidir. r’ye dizinin ortak çarpanı denir.

Bir geometrik dizinin ilk terimi a1, ortak çarpanı r ise bu dinin terimleri ; a1, a1r, a1r2, …, a1r(n-1) bir geometrik dizinin genel terimi:           an= a1r(n-1) an= an-prp şeklinde yazılır.

Geometrik dizinin özellikleri 1) İlk terimi a1, ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı; Sn=a1+a1r+…+a1rn-1=a1((1-rn)/(1-r))

2) bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi bu terimin solundan ve sağından eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımına eşittir. Yani; ap2=ap-k.ak+p

Örnek geometrik dizi; İlk üç terimi sırasıyla 1, p-2, 16 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?

Örnek 12 Bir geometrik dizinin ardışık ilk üç terimi sırasıyla x-2 , x , x+4 olduğuna göre , bu dizinin 4. terimi kaçtır ? A) 4 B) 6 C) 8 D)12 E)16 Birazcık Uğraş Bence Bulamazsan Tıkla 

Çözüm ÖRNEK 2; n2-8n+1 / n+2 < 1/2 n2-8n+1 < n+2 / 2 n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Yani 8 terimi vardır.

Çözüm ÖRNEK 3; f(1) = 2.1+3 / 2 = 5/2 f(2) = 2.2+3 / 2 = 7/2 olduğundan (2n+3 / 2) = ( 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2 ) olur.

Çözüm alt dizi; 2n+1 = k n = k-1 / 2 ( ak ) = ( (5k-5 / 2)+7 ) / (2k-2+3) ( ak ) =5k+9 / 4k+2 olarak bulunur. k yerine n yazarsak ( an ) =5n+9 / 4n+2 olur.

Çözüm ÖRNEK 4; (an) = dizisinin sabit dizi olması için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalıdır. 2/5 = -3/k ise 2k = -15 ise k = -15/2

ÇÖZÜM ÖRNEK 5; n=1 için an = 1+1 / 2 = 1 bn =1 n in bütün değerlerinde an = bn olduğu görülmektedir. Yani bu iki dizi eşit dizilerdir.

ÇÖZÜM ÖRNEK 6; ( an ) / ( bn ) = ( an  /  bn ) = ( (5n / n+1).( 2n+2 / 7 )) =10n / 7 Aynen Öyle Cevabın Doğru  Tebrik Ederim Devam Et Bakalım 

Çözüm ÖRNEK 7; ( an ) - ( bn ) = ( an  -  bn ) =(1-2, 2-4, 3-6, 4-8, …, n-2n ) = (-1,-2,…,-n)

Çözüm örnek 8; an+1 - an = ( n+1+5 / n+1+9 ) - ( n+5 / n+9 ) = n+6 / n+10  -   n+5 / n+9 =[(n+6)(n+9) – (n+5)(n+10)] / (n+10)(n+9) =n2+15n+54-n2-15n-50  / (n+10)(n+9) =4 / (n+10)(n+9) >0 an+1 - an > 0 an+1 > an  olduğundan monoton artandır.

ÇÖZÜM ÖRNEK 9; a=7 b=9 c=5 d=1   -d/c = -1/5 < 0 olduğundan dizi monotondur.   ad-bc = 7.1-9.5 = -38 < 0 olduğundan dizi monoton azalandır.

çözüm örnek 10; (2n2+1) = (3, 9, 19, 33, 51, 73, …, ∞ ) terimlerine dikkat edilecek olursa sürekli  arttığı görülmektedir ve ∞ a ıraksamaktadır. Bunu lim(2n2+1) = ∞ şeklinde gösterebiliriz.

Çözüm örnek 11; a1=5 a2=8 r=8-5=3 an=a1+(n-1)r=5+(n-1)3 dizinin genel terimi yukarıdaki gibi bulunmuş olur. Sn=n(a1+an)/2 S9=9(5+(5+8.3))/2 S9=9(34)/2 S9=17.9=153 İlk 9 terimininde böylece toplamını bulmuş olduk.

Çözüm ÖRNEK 11.1; a1 = -5 , d = 4 an = a1 + (n-1).d an = -5+ (n-1).4 an = 4n-9 bulunur.

ÇÖZÜM ÖRNEK 11.2; *Bir aritmetik dizide ortada bulunan bir terim kendinden eşit uzaklıkta bulunan termlerin aritmetik ortalamasına eşittir. a8=(a₂+a14)/2 x=(a₂+a14)/2 a₂+a14=2x bulunur.

Ek örnek çözüm; aa=b   ve  ab=a  ise r=( aa-ab)/(a-b)=(b-a)/(a-b)=-1=(a4-b)/(4-a) a4-b=-4+a   ise   a4=a-b-4    olarak bulunur.

Çözüm geometrik dizi; (p-2)2=1.16 p-2=4 p=6 r=a2/a1=4/1=4 an= a1r(n-1) a5= a1r(5-1)=1.4(4)=256

ÇÖZÜM ÖRNEK 12; a2 = √(a1 . a3 ) a22 = a1 . a3 olduğundan x2 = (x-2)(x+4) x2 = x2 + 2x-8 2x=8 x = 4 a1 = 2 , a2 =4 , a3 = 8 , a4 = 16 ( r=2 )

ÜZÜLMEEE TEKRAR DENE YAPABİLİRSİN SEN BURAYA KADAR NELER NELER BAŞARDIN  Dön Ve o Sorunun Canını Oku 

YAA SEN BİR HARİKASIN NASILDA ÇÖZDÜN TAK DİYE BRAVO  İstersen Çözümüne Bakabilirsin Farklı Yolla Çözdüysen 

BENİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKÜR EDERİM  UMUT ÖZDEMİR