TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 9 :Maksimum - Minimum Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Kritik Değerler (Critical Values). Önceki dersimizde tanımlandığı üzere bir fonksiyonun bir Yerel maksimum değeri belli bir aralık üzerinde fonksiyonun aldığı en büyük değer, yerel minimum değeri de belli bir aralık üzerinde fonksiyonun aldığı en küçük değerdir. Dolayısıyla, bir fonksiyonun birden çok yerel maksimum veya yerel minimum değerleri bulunabilir. Bu değerler fonksiyonun tanım kümesinin iç noktalarında ortaya çıkabileceği gibi, varsa uç noktalarında da ortaya çıkabilir. x y c6 c2 y =f(x) c4 c1 c3 c5 Yukarıda grafiği verilen fonksiyonu için f(c2), f(c4), ve f(c6) değerleri yerel maksimum, f(c1), f(c3), ve f(c5) değerleri de yerel minimum değerleridir. Yerel Ekstremum Teoremi. Bir f fonksiyonu için f (c), f nin iç nokta yerel maksimum veya yerel minimum değeri ise, ya f '(c) = 0 veya f '(c) tanımsızdır. f(x) in tanımlı olduğu; ancak, f '(x) in tanımsız olduğu veya f '(x) = 0 olan x değerleri ile f nin tanım kümesinin, varsa, uç noktalarına f fonksiyonunun kritik değerleri veya kritik noktaları denir.

Örnek. f(x) = x3 – 3x2 +4 un kritik noktaları: y f´(x) = 3x2 - 6x = 0  x=0 veya x=2. 2 Örnek. f(x) = x3 ün kritik değeri: x y f ´(x) = 3x2 = 0  x=0. x y Örnek. nin kritik değerleri: –1 1 Ayrıca, uç noktalar x=-1 ve x=1 de kritik noktalar.

fonksiyonunun kritik değerleri: Örnek. y x f´(1) tanımsız olduğundan x = 1 kritik değerdir, başka kritik değer yok. 1 Örnek. fonksiyonunun kritik değerleri: x y 2 3 f´(x) = 0  x = 1 veya x = 3  x = 1 ve x = 3 kritik. 1 Örnek. f(2) ve f´(2) tanımsız  kritik değer yok. x y 2

f ´(c) = 0 yerel maks. veya yerel min. yok c , f nin kritik değeri ise, f (c) nin yerel ekstremum durumu f ´(x) in c civarında işareti incelenerek belirlenebilir. Ortaya çıkabilecek durumlar aşağıda gösterilmiştir: x y c x m n c f ´(x) + + + + - - - - yerel maksimum x y c x m n c f ´(x) - - - - + + + + yerel minimum x y c x m n c f ´(c) tanımsız; yerel maks. veya yerel min. yok f ´(x) - - - - - - - - x y c x m n c f ´(c) = 0 yerel maks. veya yerel min. yok f ´(x) + + + + + + + + BİRİNCİ TÜREV TESTİ

f(x) = 3x4 - 4x3 + 6x2 -12x + 15 in yerel ekstremum değerleri. Örnek. f(x) = 3x4 - 4x3 + 6x2 -12x + 15 in yerel ekstremum değerleri. x –  1 - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + f(1) = 8 yerel minimum. Örnek. in yerel ekstremum değerleri.  x = 0 ve x = 1 kritik. x y x – 1  1 5/2 - - - - - - - + + - - - - - - f(0) = 0 yerel minimum, f(1) = 3 yerel maksimum.

f(x) = |x + 2| + 1 in yerel ekstremum değerleri. Örnek. f(x) = |x + 2| + 1 in yerel ekstremum değerleri.  x = -2 kritik. y x f(-2) = 1 yerel minimum. (–2,1) Örnek. f(x) = x4 - 12x3 + 30x2 - 28x + 45 in yerel ekstremum değerleri. x – 7  1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + x = 7’de yerel minimum (f(7) = -396 ), x = 1’de ne yerel maksimum ne de yerel minimum ( f(1) = 36).

Örneğin, c, f fonksiyonunun tanım kümesinde bir sol uç nokta ve Birinci türev testi, türevin mevcut olması koşuluyla uç nokta kritik değerleri için de kullanılabilir. Örneğin, c, f fonksiyonunun tanım kümesinde bir sol uç nokta ve (c,d) gibi bir aralıktaki her x için f’(x) < 0 ise, f(c) değeri bir uç nokta yerel maksimu-mudur.   (c,d) gibi bir aralıktaki her x için f’(x) > 0 ise, f(c) değeri bir uç nokta yerel minimu-mudur.  Benzer şekilde, c, f fonksiyonunun tanım kümesinde bir sağ uç nokta ve (b,c) gibi bir aralıktaki her x için f’(x) < 0 ise, f(c) değeri bir uç nokta yerel minimu-mudur.   (b,c) gibi bir aralıktaki her x için f’(x) > 0 ise, f(c) değeri bir uç nokta yerel maksimu-mudur.  Örnek.  ün tanım kümesi [0,∞) x  1 - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + +   f(0) = 4 bir uç nokta yerel maksimumu, f(1) = 2 bir iç nokta yerel minimumu.

Bir kritik değerin yerel maksimum durumu ikinci türevin o değerdeki işaretiyle de belirlenir: c, f nin kritik değeri ve f´(c) = 0 ise, f ´´(c) < 0  f (c) yerel maksimum f ´´(c) > 0  f (c) yerel minimum İKİNCİ TÜREV TESTİ f ´´(c) = 0  test çalışmaz Örnek. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. f´(x) = 3x2 -12x + 9 = 0  x = 1 veya x = 3. f ´´(x) = 6x -12  f ´´(1) = -6 ve f ´´(3) = 6 O halde, f (1) = 5 yerel maksimum ve f (3) = 1 yerel minimumdur.

Örnek. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. f´(x) = ex+xex = ex(x+1) = 0  x = -1 f ´´(x) = ex(x+1) + ex= ex(x+2)  f ´´(-1) = = e-1 O halde, f (-1) = -e-1 yerel minimumdur. Örnek. rasyonel fonksiyonunun tanım kümesi ℝ\{–1} dir.  f(0) = 0 yerel minimum.  f(-2) = -4 yerel maksimum. Uyarı. Bir kritik noktada birinci türev testi, o noktada türev mevcut olmasa da fonksiyon sürekli olmak koşuluyla uygulanabilir. İkinci türev testinin uygulanabilmesi için ise, fonksiyonun o noktada hem birinci türevinin hem de ikinci türevinin mevcut olması ve ikinci türevin sıfırdan farklı olması gerekir.

Örnek. ün kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. tanımsız, ikinci türev testi uygulanamaz. Birinci türev testi ile, f(0) = 0 yerel minimum. Örnek. ün kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. , ikinci türev testi uygulanamaz. Birinci türev testi ile, f(0) = 0 ne yerel maksimum ne de yerel minimum. ün kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. Örnek. , ikinci türev testi uygulanamaz. Birinci türev testi ile, f(0) = 0 ne yerel minimum.

Diğer bir deyişle, f fonksiyonu x = c’de tanımlı ve Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum. Bir fonksiyonun tanım kümesinde aldığı değerlerden en büyüğü varsa, o en büyük değere fonksiyonun mutlak maksimum değeri denir. Eğer fonksiyonun tanım kümesinde aldığı değerlerden en küçüğü varsa, o en küçük değere fonksiyonun mutlak minimum değeri denir. Diğer bir deyişle, f fonksiyonu x = c’de tanımlı ve f nin tanım kümesindeki her x için f(x) < f(c) ise, f(c) ye f nin mutlak maksimum değeri denir. f nin tanım kümesindeki her x için f(x) > f(c) ise, f(c) ye f nin mutlak minimum değeri denir. x y Örnek. f(x) = 1-x2 fonksiyonunun mutlak maksimum değeri f(0) = 1 dir. Bu fonksi-yonun mutlak minimum değeri yoktur. x y Örnek. f(x) = 1+x2 fonksiyonunun mutlak minimum değeri f(0) = 1 dir. Bu fonksi-yonun mutlak maksimum değeri yoktur.

[a,), (b,), (–,a], (–,c), (–,) Bir fonksiyonun bir aralık üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinden söz edilebileceği açıktır. Bir fonksiyon, belli bir aralık üzerinde sürekli, hatta türevli olsa dahi mutlak maksimum veya mutlak minimum değere sahip olmayabilir. Ancak şunu söyleyebiliriz: Bir sürekli fonksiyon mutlak maksimum veya mutlak minimum değerlerini sadece kritik noktalarında alabilir. Eğer sürekli f fonksiyonunun tanım kümesi [a,), (b,), (–,a], (–,c), (–,)   gibi bir sınırsız aralık ise, f nin yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulduktan sonra, duruma göre, x  b+, x  c–, x  , x  – iken f nin nasıl davrandığına bakılması gerekir. Eğer bu durumlardan herhangi birinde f fonksiyonu sınırsız olarak artan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur; sınırsız olarak azalan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak minimum değeri yoktur. Örnek. fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini daha önce belirlemiştik: f(0) = 4 ve f(2) = 0. Şimdi, x  – iken f(x)  – ve x   iken f(x)   bu fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum değeri yoktur.

fonksiyonu (-∞, ∞ ) aralığında tanımlıdır ve Örnek. fonksiyonu (-∞, ∞ ) aralığında tanımlıdır ve f(0) = 0 yerel minimumdur. x  – iken f(x)  1 ve x   iken f(x)  1 1 x y f(0) = 0 mutlak minimumdur. Mutlak maksimum yoktur.

fonksiyonu [0,  ) aralığında tanımlıdır ve Örnek. fonksiyonu [0,  ) aralığında tanımlıdır ve f(0) = 0 yerel minimum(uç nokta), f(1) = 2 yerel maksimum(iç nokta)dur. x   iken 1 x y 3 f(1) = 2 mutlak maksimumdur. Mutlak minimum yoktur.

Eğer sürekli f fonksiyonunun tanım kümesi [a,b), (a,b], (a,b)   gibi bir sınırlı aralık ise, f nin yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulduktan sonra, duruma göre, x  b-, x  a+ iken f nin nasıl davrandığına bakılması gerekir. Eğer bu durumlardan herhangi birinde f fonksiyonu sınırsız olarak artan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur; sınırsız olarak azalan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak minimum değeri yoktur. Örnek. fonksiyonu (-1,1) aralığında tanımlıdır. 1 x y –1 f(0) = 0 yerel maksimum. f(0) = 0 mutlak maksimum. Mutlak minimum yok.

f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ise, f bu aralıkta mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlere sahiptir. b a x y y= f (x) Şekilden de görüldüğü üzere, teoremde ifade edilen sonuç sağduyusal olarak aşikârdır. [a , b] aralığında sürekli olan f fonksiyonunun grafiği olan eğrinin en aşağıda ve en yukarıda noktaları vardır. [a,b] aralığında sürekli bir f fonksiyonunun bu aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri ya f nin (a,b) aralığındaki kritik noktalarında ya da [a,b] aralığının uç noktalarında (x = a ve x = b de) ortaya çıkar.

Örnek. denklemi ile verilen fonksiyonunun aşağıdaki aralıklardan her birinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulalım: a) [-2,2] b) [0,2] c) [-2,5] Çözüm. olduğundan, f nin kritik değerleri x = -1 ve x = 3 tür. Her bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri şöyle belirlenir. a) [-2,2] aralığında sadece x = -1 kritik noktası vardır ve değerlerinden değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri , değeri de mutlak maksimum değeridir. b) [0,2] aralığında hiç kritik değer yoktur. değerlerinden değeri f nin bu aralıktaki mutlak maksimum değeri, değeri de mutlak minimum değeridir.

c) [ -2, 5] aralığında x = -1 ve x = 3 kritik noktaları vardır ve değerlerinden değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri , değeri de mutlak maksimum değeridir. Sürekli fonksiyonlar için maksimum–minimum teoreminde f fonksiyonunun [a,b] aralığı üzerinde sürekli olması koşulu gerekli bir koşuldur. Bu koşulu sağlamayan bir fonksiyon [a,b] aralığı üzerinde mutlak maksimum veya mutlak minimum değere sahip olmayabilir. Örnek . parçalı tanımlı fonksiyonu x=1’de süreksizdir. Bu fonksiyonun kritik noktaları uç noktalar olan –3, 3; ve türevinin sıfır olduğu 0 ile tanımsız olduğu 1 dir. x  1– iken f(x)  – ve x  1+ iken f(x)   olduğundan bu fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlere sahip olmadığı görülür.

Problem. Tükenmez kalem üreten bir firmanın haftada x kalem üretmesi durumunda toplam gideri M(x) = 5000 + 2x bir kalemin satış fiyatı ise p(x) = 10 – (0.001) x, 0  x  10000 TL olarak veriliyor . a) Haftalık maksimum geliri bulunuz. b) Haftalık maksimum kârı, bu kârın gerçekleşmesi için haftada üretilmesi gereken kalem sayısını ve kalem başına fiyatı bulunuz. c) Eğer firma her bir kalem için 2 TL vergi ödemek durumunda kalırsa, maksimum kâr ne olur ve bunun için haftada kaç kalem üretilmelidir? Bu durumda maksimum kâr için bir kalemin satış fiyatı ne olur? Çözüm. a) Gelir fonksiyonu G (x) = (10 – 0.001 x) x = 10 x – (0.001)x2 , 0  x  10 000 G (x) = 10 – (0.002) x = 0  x = 5000. G (0) = 0 , G (5000) = 25000 , G (10000) = 0 . Maksimum gelir: 25000 TL.

b) Kâr fonksiyonu K (x) = G (x) – M(x) = 10 x – (0.001)x2 - (5000 + 2x) = -5000 + 8x - (0.001)x2 . K (x) = 8 – (0.002) x = 0  x = 4000. K (0) = -5000 , K(10 000) = -25000 , K(4000) = 11000. Maksimum kâr: 11000 TL, 4000 kalem üretilince gerçekleşir. Bir kalemin satış fiyatı: p(4000) = 10 – (0.001)(4000) = 6 TL. c) Kalem başına 2 TL vergi ödenince gider fonksiyonu M(x) = 5000 + 2x + 2x = 5000 + 4x K (x) = G(x) – M(x) = 10 x – (0.001)x2 - (5000 + 4x) = -5000 + 6x - (0.001)x2 . K (x) = 6 – (0.002) x = 0  x = 3000. K(0)=.-5000 , K (3000) = 4 000 , K (10000) = -45000 Maksimum kâr : 4000 TL, 3000 kalem üretilince gerçekleşir. Bir kalemin satış fiyatı: p(3000)= 10 – (0.001)(3000) = 7 TL.

Problem. Bir yüzme havuzu zararlı bakterilerin yok edilmesi için periyodik olarak ilaçlanıyor. İlaçlama yapıldıktan t gün sonra havuz suyunun her cm3 ünde C(t) = 30 t2 – 240 t + 500 , 0  t  8 bakteri görülüyor . Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlamadan kaç gün sonra minimum olur? Çözüm. C(t) = 30 t2 – 240 t + 500 , 0  t  8 C (t) = 60 t – 240 = 0  t = 4. C (0) = 500 , C(4) = 20 , C(8) = 500. Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlama yapıldıktan 4 gün sonra minimum olur ve minimum sayı C (4) = 20 dir.

Şimdi günlük hayatta karşılaşılabilecek diğer bir maksimizasyon problemi örneği veriyoruz. Örnek Problem. Şekilde görüldüğü gibi, uzun bir duvarın önünde bir tarafı duvar ve diğer üç tarafı tel-örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak isteniyor. Bu iş için kullanılacak tel-örgü 24 metre olduğuna göre, oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? 24 m.

Maksimum alan için boyutlar : en 6 m , boy 12 m. Problemin çözümü için dikdörtgenin duvara dik gelen kenarının uzunluğunu x ile gösterelim. O zaman duvara paralel olan kenarın uzunluğu 24-2x metre olur. Dik dörtgenin alanı x A (x) = x (24 - 2x ) = 24 x – 2x2 , 0  x  12 24 – 2x olacağından A‘ (x) = 24 - 4x = 0  x = 6 A (0) = 0 , A (12) = 0 , A (6) = 72 Maksimum alan : A(6) = 6.12 = 72 m2 Maksimum alan için boyutlar : en 6 m , boy 12 m.

Problem. Bir ceviz üreticisi, geçmiş deneyimlerinden, dönüm başına 20 ağaç dikerse, her bir ağacın yılda ortalama 60 kg. ceviz vereceğini tahmin ediyor. Dönüm başına 20 ağaçtan sonra dikilecek her ağaç, ağaç başına yıllık verimi 2 kg. düşürüyor. Bir dönüme en çok 45 ağaç dikilebildiğine göre, maksimum verim için dönüm başına kaç ağaç dikilmelidir? 100 dönümlük bir toprağa ceviz ekilirse alınabilecek yıllık maksimum verim ne olur? Çözüm. Bir dönüme ekilecek ağaç sayısı: N(x) = 20 + x , 0  x  25 Dönüm başına yıllık verim: V(x) = (20 + x) (60 - 2 x) = 1200 +20x – 2x2 , 0  x  25 Dönüm başına 20 + 5 = 25 ağaç dikilirse yıllık verim maksimum olur: V(5) = 1250 kg. 100 dönümlük topraktan yıllık maksimum verim : 100.1250 = 125000 kg. V’ (x) = 20 – 4x = 0  x = 5 V(0)= 1200 , V(25)= 450 , V(5)= 1250

p(x) = -(5/3)x + 125 , G(x) = -(5/3)x2 + 125x Problem. Masa lambası imal edip satan bir imalatçı, haftada x adet lamba imal etmesi durumunda haftalık giderinin M(x) = (0.2)x2 + 15x + 500 TL olacağını ve bir masa lambasını p TL den satışa sunarsa, fiyat talep denkleminin x = 75 – (0.6)p lamba olacağını tespit ediyor. İmalatçı, maksimum kâr için haftada kaç lamba imal etmelidir? Maksimum kâr ne olur? Çözüm. Bir lambanın satış fiyatı ve haftalık gelir: p(x) = -(5/3)x + 125 , G(x) = -(5/3)x2 + 125x TL olur. Haftalık kâr K(x) = -(5/3)x2 + 125x - (0.2)x2 - 15x - 500 = -500 +110x – (5/3 +1/5)x2 = -500 +110x – (28/15)x2 K’ (x) = 110 – (56/15)x = 0  x = (1650/56) = için K’ (x) > 0, için K’ (x) < 0. Dolayısıyla, maksimum kâr için den küçük ve ona en yakın tamsayı olan 29 adet lamba imal edilip satılmalıdır. Maksimum kâr TL olur.

Problem. Bir kiralık araç şirketi 50 veya daha az müşteriye hizmet verirse, müşteri başına net kârı 12 TL oluyor. 50 den fazla müşteriye hizmet vermesi durumunda 51’inciden itibaren her müşteri ortalama kârı 6 Kr düşürüyor. Hangi müşteri sayısı kârı maksimum yapar? Çözüm. 50’den x fazla müşteri alsın. O zaman kâr K(x) = (50 + x)(12 – 0.06x) , 0  x  200 TL olur. Kâr fonksiyonu için kritik noktalar K’(x) = (12 – 0.06x) – 0.06(50 + x) = -0.12x + 9 = 0  x = 75 ve uç noktalar olan x = 0, x = 200. K (0) = 600, K (75) = 125.(7.5) = 937.5, K (200 ) = 0 Dolayısıyla, maksimum kâr için müşteri sayısı 125 olmalıdır. Maksimum kâr 937.5 TL olur.

Problem. Çok katlı bir iş yerinde inşaat giderleri, birinci kat için 1 milyon TL, ikinci kat için 1.1 milyon TL, üçüncü kat için 1.2 milyon TL ve böylece her katta bir önceki kata göre 0.1 milyon TL artarak devam ediyor. Bina için yapılacak diğer giderler 5 milyon TL olacağı ve iş yerinin her katının yıllık getirisinin 0.2 milyon TL olacağı tahmin ediliyor. Tahminlerin doğru olduğu kabul edilirse, yıllık toplam getirinin bina için yapılan toplam yatırıma oranının maksimum olması için binanın kat sayısı kaç olmalıdır? Çözüm. Binanın kat sayısı x olsun. Bu takdirde toplam yatırım TL ve binanın yıllık getirisi TL olacaktır. Yıllık getirinin toplam yatırıma oranı 0 < x < 10 için, r’(x) > 0 ve x > 10 için r’(x) < 0 olduğundan r(x) mutlak maksimum değerine x = 10 olunca ulaşır, yıllık getirinin toplam yatırıma oranının maksimum olması için binanın kat sayısı 10 olmalıdır.

Durumu bir şekil üzerinde görelim. Problem. Geniş bir ırmağın kenarındaki bir elektrik fabrikasından ırmağın içindeki bir adaya bir kısmı toprak altından bir kısmı ırmak tabanından elektrik kablosu döşenecek-tir. Ada, fabrikanın bulunduğu noktadan 4 km uzaklıktaki iskelenin tam karşısında ve iskeleden 1 km uzaklıktadır. 1 km kablonun döşenmesinin maliyeti, toprak altından 30000 TL, ırmak tabanından ise 50000 TL olduğuna göre bu işin minimum maliyetle gerçekleştirilebilmesi için toprak altından ve ırmak tabanından kaçar km kablo döşenmesi gerekir? Minimum maliyet nedir? Çözüm. Durumu bir şekil üzerinde görelim. K F İ A 1 x M nin mutlak minimum değerinin M (1.25)=160000 TL. Minimum maliyet için 1.25 km kablo su altından, km kablo toprak altından.