ÇOKGENLER YUNUS AKKUŞ-2012

ÇOKGENLERİN ÖZELLİKLERİ Bir düzlemde en az üçü doğrusal olmayan noktaları birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir. A A B C B C D ÜÇGEN DÖRTGEN Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilir.

ÇOKGENLERİN ELEMANLARI KENAR KÖŞE İÇ AÇI DIŞ AÇI Çokgeni oluşturan doğru parçalarına kenar denir. Çokgende kenarların kesiştiği yerlere köşe denir. İki kenar arasında kalan açıya çokgenin iç açısı denir. Bir kenarın uzantısı ile komşu kenarların oluşturduğu açıya çokgenin dış açısı denir.

Bir çokgende komşu olmayan köşeleri birleştiren doğru F A KÖŞEGEN E B C D Bir çokgende komşu olmayan köşeleri birleştiren doğru parçalarına köşegen denir. Bir çokgende köşegen çizilebilmesi için çokgenin en az 4 köşesi olmalıdır.

Bir çokgenin tüm köşegenleri çokgenin iç bölgesinde ÖNEMLİ DIŞ BÜKEY (KONVEKS) İÇ BÜKEY (KONKAV) Bir çokgenin tüm köşegenleri çokgenin iç bölgesinde ise bu tür çokgenlere dış bükey (konveks) çokgen denir. Bir çokgenin bazı köşegenleri çokgenin dış bölgesinde ise bu tür çokgenlere iç bükey (konkav) çokgen denir.

Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen ÖNEMLİ L A K n = 5 n = 4 n = 8 8-3=5 5-3=2 4-3=1 k = 2 k = 1 k = 5 Çokgenlerde kenar sayısı n ile gösterilir. Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı en fazla kenar sayısının 3 eksiği kadardır. n - 3

n . (n-3) 2 Bir çokgenin toplam köşegen sayısı bulunurken; kenar ÖNEMLİ K L P M O N Bir köşesinden n – 3 = 6-3 = 3 tane köşegen çizilebilir Bir çokgenin toplam köşegen sayısı bulunurken; kenar sayısı ile bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı çarpılır ve ikiye bölünür. n . (n-3) 2

Örnek 12 kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısını bulunuz. 6 n . (n-3) 12 . (12-3) 6 . 9 54 = = = 2 2 Örnek Bir köşesinden en fazla 25 köşegen çizilebilen çokgen kaç kenarlıdır? n-3 = 25 n = 25 + 3 n = 28

Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegenler ÖNEMLİ L A K n = 5 n = 4 n = 8 5-2=3 4-2=2 8-2=6 ü.s = 2 ü.s = 6 ü.s = 3 Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegenler çokgeni kenar sayısının 2 eksiği kadar üçgene ayırır. n - 2

ÇOKGENLERİN İÇ AÇILARI TOPLAMI 1800 1800 1800 A K 6 üçgen 3 üçgen 2 üçgen 6.1800 =10800 3.1800 =5400 2.1800 =3600 Bir çokgenin iç açıları toplamı; bir köşesinden çizilen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı ile 1800‘nin çarpımına eşittir. n - 2 . 1800

Örnek 10 kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı kaç derecedir? (n – 2) . 1800 = (10 – 2) . 1800 = 8 . 1800 = 14400 Örnek İç açıları toplamı 18000 olan çokgenin kenar sayısı kaçtır? 10 18000 (n – 2) . 1800 = 18000 (n – 2) = 1800 n – 2 = 10 n = 12

ÇOKGENLERİN DIŞ AÇILARI TOPLAMI Tüm çokgenlerin dış açıları toplamı 3600’ dir.

DÜZGÜN ÇOKGENLER Kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşit olan 5cm 5cm 1200 1200 5cm 600 7cm 7cm 1200 1200 5cm 5cm 1200 600 1200 600 7cm 5cm Kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

DÜZGÜN ÇOKGENİN BİR İÇ AÇISI 1800 600 600 = 3 DÜZGÜN 600 600 Düzgün çokgenlerin bir iç açısı hesaplanırken; çokgenin iç açıları toplamı kenar sayısına bölünür. (n – 2) . 1800 n

DÜZGÜN ÇOKGENİN BİR DIŞ AÇISI 3600 = 600 DÜZGÜN 6 DIŞ AÇI 600 Düzgün çokgenlerin bir dış açısı hesaplanırken; çokgenin dış açıları toplamı kenar sayısına bölünür. 3600 n

Örnek Bir düzgün sekizgenin bir iç ve bir dış açısını hesaplayınız. 3 450 (n – 2) . 1800 (8 – 2) . 1800 6 . 1800 = = 8 n 8 2 = 1350 3600 3600 = = 450 n 8

DÖRTGENLER VE ÖZELLİKLERİ PARALELKENAR EŞKENAR DÖRTGEN Açı, kenar ve köşegen özelliklerini inceleyeceğiz. DÖRTGENLER YAMUK KARE DİKDÖRTGEN

1. PARALELKENAR VE ÖZELLİKLERİ B C D Karşılıklı kenarları birbirine paralel dörtgenlere paralelkenar denir. [AB] [CD] [AC] [BD] Paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir. │AB│ = │CD│ │AC│ = │BD│

A B D C Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir. m(A) m(D) m(B) m(C) = =

A B D C Paralelkenarda komşu açıların toplamı bütünlerdir. m(A) m(B) m(A) m(C) + = 1800 + = 1800 m(B) m(D) m(C) m(D) + = 1800 + = 1800

Yukarıdaki paralel kenarda verilenlere göre, x ve y ÖRNEK A B 630 y x D C Yukarıdaki paralel kenarda verilenlere göre, x ve y değerlerini bulunuz. m(B) m(D) x = 630 + = 1800 630 + y = 1800 y = 1800 - 630 y = 1170

A B O D C Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. │CO│ = │OB│ │AO│ = │OD│

Yukarıdaki paralelkenarda verilenlere göre a+b kaçtır? ÖRNEK N K 7 cm 5 cm b M a L Yukarıdaki paralelkenarda verilenlere göre a+b kaçtır? a = 7 cm b = 5 cm a + b = 12 cm

Paralelkenarda köşegenlerin kenar çiftleri ile yaptığı B a d c b O c b d a D C Paralelkenarda köşegenlerin kenar çiftleri ile yaptığı iç ters açıların ölçüleri eşittir.

Yukarıdaki paralelkenarda verilenlere göre x + y kaçtır? ÖRNEK A B 220 x 350 y D C Yukarıdaki paralelkenarda verilenlere göre x + y kaçtır? x = 350 y = 220 x + y = 570

2. EŞKENAR DÖRTGEN VE ÖZELLİKLERİ B C Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. [AB] [CD] [AD] [BC] │AB│ = │BC│ = │CD│ = │DA│

A D B C Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir. m(A) m(C) m(B) m(D) = =

A D B C Eşkenar dörtgende komşu açıların toplamı bütünlerdir. m(A) m(B) m(A) m(D) + = 1800 + = 1800 m(B) m(C) m(C) m(D) + = 1800 + = 1800

Yukarıdaki eşkenar dörtgende verilenlere göre x kaçtır? ÖRNEK A D 3x-200 B x C Yukarıdaki eşkenar dörtgende verilenlere göre x kaçtır? m(C) m(D) + = 1800 x + 3x -20 = 1800 4x = 1800 + 200 4x = 2000 x = 2000 : 4 x = 500

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir, C . O [AC] [DB] ┴ Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir, birbirini ortalar ve geçtikleri köşelerin açı ortaylarıdır. │DO│ = │OB│ │AO│ = │OC│

Yukarıda verilen eşkenar dörtgende a kaçtır? ÖRNEK A D B C a 200 . O Yukarıda verilen eşkenar dörtgende a kaçtır? a + 200 = 900 a = 900 - 200 a = 700

3. YAMUK VE ÖZELLİKLERİ K L M N Karşılıklı kenar çiftlerinden bir tanesinin paralel olduğu dörtgene yamuk denir. [KL] [NM]

K L M N Yamukta paralel olmayan kenara komşu olan iki açı bütünlerdir. m(K) m(N) + = 1800 m(L) m(M) + = 1800

Yukarıda verilen yamukta x ve y değerlerini bulunuz. ÖRNEK K L x y 720 540 M N Yukarıda verilen yamukta x ve y değerlerini bulunuz. m(L) m(M) m(K) m(N) + = 1800 + = 1800 y 540 = 1800 x 720 = 1800 + + y = 1260 x = 1080

4. KARE VE ÖZELLİKLERİ A B [AD] [BC] [AB] [CD] C D Her bir açısı 900 ve tüm kenar uzunlukları eşit olan dörtgene kare denir. Karenin karşılıklı kenarları paraleldir. m(A) m(B) m(C) m(D) = = = = 900 │AB│ = │BC│ = │CD│ = │DA│

Karede köşegenler birbirine diktir, birbirini ortalar . 450 450 . 450 450 . O [AC] [DB] ┴ 450 450 450 450 . . C D Karede köşegenler birbirine diktir, birbirini ortalar birbirine eşit ve geçtikleri köşelerin açı ortaylarıdır. │DO│ = │OB│ = │AO│ = │OC│

5. DİKDÖRTGEN VE ÖZELLİKLERİ A B . . [AD] [BC] [AB] [CD] D C . . Her bir açısı 900 ve karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan dörtgene dikdörtgen denir. dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir. m(A) m(B) m(C) m(D) = = = = 900 │AB│ = │CD│ │AC│ = │DB│

Dikdörtgende köşegenler birbirine eşit ve birbirini ortalar. C Dikdörtgende köşegenler birbirine eşit ve birbirini ortalar. │AO│ = │OD│ = │CO│ = │OB│