F=hA BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER DÜZLEM YÜZEYLER Yatay Yüzeyler Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz. Kuvvetin Büyüklüğü : Şekil deki yatay x,y düzlemindeki alana gelen hidrostatik basınç kuvvetinin büyüklüğü: P=h olduğuna göre; F=hA

Buradan görüldüğü gibi tabana etkiyen kuvvet, tabanın büyüklüğü, yükseklik ve yoğunluğa bağlı olmaktadır. Buna göre tabanı eşit olan aşağıdaki kaplarda tabana etkiyen kuvvetler, sıvıların ağırlıkları farklı olmasına rağmen eşittirler. (Hidrostatik paradoks) Şekil 2.16

Basınç Merkezi : Basınç kuvvetinin etkime noktası basınç merkezi olarak anılır. Şekil deki A alanına üniform yayılı olarak gelen hidrostatik kuvvet için basınç merkezinin herhangi bir x,y eksen takımına göre yeri, bileşke kuvvetin ve basınç dağılımının momentleri eşitlenerek bulunabilir. x ve y eksenlerine göre momentler : Basınç merkezinin koordinatları; Yani yatay düzlem yüzeylere gelen hidrostatik kuvvet alanın ağırlık merkezine etkimektedir.

Eğik Yüzeyler Şekil deki eğik düzleme etkiyen hidrostatik basınç kuvvetinin şiddeti, yönü ve geçtiği nokta belirlenecektir.

dF=p.dA=.h.dA = ysindA Kuvvetin Büyüklüğü : Yüzey üzerindeki dA alanına gelen kuvvet: dF=p.dA=.h.dA = ysindA Tüm A alanına integre edilerek yG sinθ=hG kullanılırsa: Bu denklem batmış bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin, yüzeyin ağırlık merkezine gelen basınç ile yüzey alanın çarpımına eşit olduğunu ifade etmektedir.

Basınç Merkezi : Basınç merkezinin yeri, bileşke kuvvetin ve basınç dağılımının x ve y eksenlerine göre momentleri eşitlenerek bulunabilir. yP için x eksenine göre moment : Son denklemde F=γyGAsinθ ve p=γysinθ kullanılırsa burada y2dA=Ix atalet momentidir

Ix atalet momenti geçiş formülü kullanılarak alanın ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti cinsinden yazılabilir:

Xp'nin tayini; y eksenine göre moment alınırsa

Transfer teoreminin kullanılmasıyla; Eğer G'den geçen y'ye paralel eksene göre simetrik ise xyG=0 olur.Bu durumda xp=yp olur.

Basınç Prizması Yöntemi Basınç prizması yöntemi eğik yüzeylere etkiyen hidrostatik bileşke basınç kuvvetinin şiddet ve yerinin bulunması için diğer bir yoldur. Buna göre şekilde görüldüğü gibi basınç prizmasının hacmi; kuvvetin şiddetini, ağırlık merkezide kuvvetin geçtiği yeri verir. Prizmanın tabanı yüzey üzerindedir ve üst yüzeyin izdüşümü basıncın derinlikle orantılı olarak artmasından dolayı doğrusaldır b hA hB B A hB hA  (a) Eğik Yüzey

hB hA b B A hB hA hp F (b) Düşey Yüzey Buradan kuvvetlerin etkime noktası basınç prizmasının ağırlık merkezinden geçer.

Eğri Yüzeyler: Batık yüzeyin eğri olması halinde yüzeye dik olan basıncın yönü noktadan noktaya değişecektir. Bu durumda yüzey elemanlarına etkiyen kuvvet elemanlarının vektörel olarak toplanması gerekir. Tüm yüzeye integre edilerek bileşke kuvvet elde edilir.

dA elemanına gelen kuvvet Şekil den Fx, Fy , Fz bileşenlerinin bulunması: dA elemanına gelen kuvvet Şekil den dF=p dA =  h dA dF kuvvetinin bileşenleri: dFx = dFcosx =  h dA cosx dFy = dFcosy =  h dA cosy dFz = dFcosz =  h dA cosz vektörünün x doğrultusundaki skaler bileşeni dA cosx = dAx ve diğer doğrultularda dAcosy = dAy ve dAcosz = dAz bu değerler yerine konularak integre edilirse yüzey üzerindeki kuvvet bileşenleri

(2.17) (2.18) (2.19) Burada Ax, Ay ve Az izdüşüm alanlarını, hxG ve hyG ağırlık merkezlerinin su yüzeyinden olan mesafesidir.  eğri yüzeyin üzerindeki sıvı hacmidir. (2.17) ve (2.18) ifadelerine göre eğri bir yüzeye herhangi bir yatay doğrultuda gelen basınç kuvveti , bu yüzeyin söz konusu doğrultuya dik düzlem üzerindeki izdüşüm alanına gelen kuvvete eşittir. Kuvvet bileşenin izdüşüm alanı üzerindeki etkime noktası eğik yüzeyler için uygulanan yöntemlerle bulunabilir.

Örneğin yukarıdaki Fx bileşeninin Ax üzerindeki etkime noktasının yeri aşağıdaki gibi yazılabilir : (2.19) denklemine göre hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni, alan üzerindeki serbest sıvı yüzeyine kadar olan hacmi dolduran sıvı ağırlığına eşittir. Bu kuvvet söz konusu hacmin ağırlık merkezinden geçer.

KALDIRMA KUVVETİ Hareketsiz bir sıvının batmış veya yüzen cisimlere uyguladığı bileşke kuvvete kaldırma kuvveti denir. Bir cismin sıvı yüzeyi altında kalan kısmına etkiyen yatay kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. Diğer taraftan cismin yüzeylerine alttan ve üstten etkiyen kuvvetlerin düşey bileşenlerinin farkı kaldırma kuvvetini oluşturur. Yani, Archimedes prensibi olarak da tanımlanan kaldırma kuvveti cismin batmış kısmını dolduran sıvının ağırlığına eşittir. Kaldırma kuvveti düşey olarak aşağıdan yukarıya doğru etkir ve batmış kısmın taşırdığı hacmin ağırlık merkezinden geçer. Bu noktaya kaldırma merkezi denir.

Şekildeki dA elemanına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi; Fx2 Fx1 Fk P1dA P2dA z o Z2 Z1 x dA Şekildeki dA elemanına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi; Cismin tüm yüzeyi üzerinde integre edilirse ; Etkime noktası için O dan geçen eksene göre kuvvetlerin momenti alınırsa;

BATMIŞ VE YÜZEN CİSİMLERİN DENGESİ Yüzen veya batmış olan statik halde dengede bulunan cisimlere iki kuvvet etkir. Bunlar yukarı doğru olan kaldırma kuvveti ve aşağı doğru olan ağırlık kuvvetidir. Eğer cisim hareketsiz ise bu iki kuvvet eşittir ve kaldırma merkezi cismin ağırlık merkezinden geçen düşeyin üzerinde bulunur. Bu kuvvetler altında dengede bulunan cismin rahatsız edildiğinde tekrar eski haline dönmeye çalışırsa kararlı denge , eski halinden uzaklaşırsa kararsız denge, yeni denge durumunda kalırsa nötr denge durumundadır denir.

Şekil Batmış cismin dengesi Batmış Cisimlerin Dengesi Batmış cisimlerde denizaltı gibi, kaldırma merkezinin ağırlık merkezinin üzerinde olması daima kararlı denge durumunda olduğunu gösterir. Eğer kaldırma merkezi ağırlık merkezinin altında olursa cisim kararsız dengededir. Ağırlık merkezi ile kaldırma merkezi çakışırsa cisim nötr denge durumundadır. Şekil Batmış cismin dengesi

Yüzen Cisimlerin dengesi Gemi gibi yüzen cisimlerde ağırlık merkezi kaldırma merkezinin üzerindedir. Rüzgar , dalga gibi bir kuvvet bu cisme etki ettiğinde cismin  kadar dönmesi ile ağırlık merkezinin yeri değişmeyecek ancak kaldırma kuvvetinin etkime noktası K dan K1 e kayacaktır. K nın simetri eksenini kestiği M noktasına METASANTR denir. M G nin üzerinde ise ortaya çıkan kuvvet çifti cismi tekrar eski durumuna döndürür (kararlı denge). Aksi halde cisim devrilir (kararsız denge). M ile G çakışırsa cisim nötr denge durumundadır MG mesafesine Metasantrik yükseklik denir. Küçük dönme açıları için metasantrik yükseklik aşağıdaki gibi hesaplanır.

Kaldırma kuvvetini K dan K1 e kaydıran moment Fk kuvvet çiftidir Kaldırma kuvvetini K dan K1 e kaydıran moment Fk kuvvet çiftidir. Bu kuvvet: G K r=MKsinθ q x y dA M W s 1 F k D

metasantrik yükseklik; Bu değerler (2.22) nolu eşitlikte yerine konularak küçük açılar için  yerine sintan, ve metasantrik yükseklik; Eğer G kaldırma merkezinin (K) altında ise; olur ve devamlı kararlı denge durumu vardır.