Algoritmalar II Ders 6 Açgözlü Algoritmalar

Greedy Algorithms

Sırt Çantası( Knapsack) Problemi Ünlü sırt çantası problemi: Hırsız bir müzeye giriyor. Her tarafta resimler, heykeller ve mücevherler var. Hırsızın çok iyi gözleri vardır, bakar bakmaz bu nesnelerin ne kadar para edeceklerini görüyor. Ayrıca ağırlıklarını da hesaplayabiliyor. Hırsızın belirli bir kapasitesi olan sadece bir çantası vardır. Bu hırsızın en çok para kazanabilmesi için hangi nesneleri seçmesi gerekir?

SIRT ÇANTASI PROBLEMİ n nesne var, ağırlıkları wi > 0 fiyatları pi > 0 çanta kapasitesi: M maksimize et 0  xi  1, 1  i  n

SIRT ÇANTASI PROBLEMİ ALGORİTMA: Açgözlü algotitma: Adım 1: pi/wi sayılarını artmayacak biçimde sırala Adım 2: Sıralı dizye göre çantanın alabileceği sıradaki nesneyi (veya sonuncu ise çantaya yerleşebilecek parçasını) çantaya koy. n = 3, M = 20, (p1, p2, p3) = (25, 24, 15) (w1, w2, w3) = (18, 15, 10) Sol: p1/w1 = 25/18 = 1.32 p2/w2 = 24/15 = 1.6 p3/w3 = 15/10 = 1.5 Optimal çözüm: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1/2 toplam kazanç = 24 + 7.5 = 31.5

0-1 sırt çantası problemi Sırt çantasının kapasitesi W ve S kümesi veriliyor (bu kümede n nesne vardır) Her i nesnesinin ağırlığı wi ve kazancı bi ( wi , bi ve W pozitif tam sayılardır) Problem: Hangi nesneleri seçelim ki kazanç en fazla olsun? Diğer problemden farkı: Nesneleri bölemiyoruz

0-1 Sırt çantası problemi: Ağırlık Değer wi bi Nesneler 2 3 Çanta Max ağırlık: W = 20 3 4 4 5 W = 20 5 8 9 10

Sırt çantası problemi 0-1 sırt çantası problemi: Hırsız n tane nesne arasından bazılarını seçmelidir, burada i. nesnenin değeri bi ve ağırlığı wi Çanta kapasitesi W Not: bi, wi, ve W tam sayılardır “0-1” anlamı: bir nesneyi ya bütün olarak alacak, ya da hiç alamayacak kesirli sırt çantası problemi: Hırsız nesnelerin bir parçasını da alabilir

0-1 Sırt çantası problemi

0-1 Sırt çantası problemi: brute-force yaklaşım Aklımıza gelen ilk algoritmayla çözersek: n nesne var, 2n durum Her durum için değerleri hesapla, koşulu sağlayanlar arasından toplam değeri en büyük olanı bul İşlem zamanı O(2n)

Sırt çantası problemi Kesirli problem açgözlü yaklaşımla yapılır Nasıl? 0-1 problemi ise açgözlü yaklaşımla yapılamaz Açgözlü: değer/ağırlık en fazla olanı al Örnek: 3 nesnenin ağırlıkları 10, 20, ve 30 kg, çanta kapasitesi 50 kg olsun Nesne değerleri 60, 100, 120 lira olsun. Açgözlü algoritmaya göre önce 1. sonra da 2. nesne alınacak, yani 160 lira kazanç olur. Oysa 2. ve 3. nesneleri alırsa 220 lira kazanır

Altproblemi tanımlamaya çalışalım: Açgözlü yaklaşım çalışmadı. Brute Force kötü. Daha iyisi var mı? Var, dinamik programlama yöntemi Sadece altproblemi dikkatli tanımlamak gerekir Altproblemi tanımlamaya çalışalım: Nesne numaraları 1..n olsun. Altproblem: Sk = {1, 2, .. k} numaralı nesneler arasından optimal olanları seç

Altproblemin tanımı Nesne numaraları 1..n olsun. Altproblem: Sk = {1, 2, .. k} numaralı nesneler arasından optimal olanları seç Bu altproblem tanımı doğru gibi ama. Soru şu: Asıl problem olan (Sn ) in çözümünü (Sk) cinsinden yazabilir miyiz? Ne yazık ki, hayır….

? wi bi S4 için çözüm S5 için çözümün altparçası değil!!! Altproblem tanımı w1 =2 b1 =3 w2 =3 b2 =4 w3 =4 b3 =5 w4 =5 b4 =8 Ağırlık Değer wi bi Nesne # ? 1 2 3 Max ağırlık: W = 20 S4 için: Toplam ağırlık: 14; Toplam kazanç: 20 S4 2 3 4 S5 3 4 5 4 5 8 5 9 10 w1 =2 b1 =3 w3 =4 b3 =5 w4 =5 b4 =8 w5 =9 b5 =10 S4 için çözüm S5 için çözümün altparçası değil!!! S5 için: Toplam ağırlık: 20 Toplam kazanç: 26

Altproblem tanımı (devamı) Görüldüğü gibi S4 için olan çözüm S5 için olan çözümün altparçası değil Bunun anlamı şudur: altproblemi iyi tanımlamadık ve başka bir tanıma gereksinim vardır! Yeni bir parametre dahil edelim: w<=W parametresi çantanın değişken kapasitesini göstermektedir. Bu parametreyi 0 dan W ya kadar artırarak B[k,w] yi hesaplayacağız.

Altproblem için özyinelemeli formül Anlamı şudur: ilk k tane nesneden oluşan Sk kümesinin kapasitesi w olan çanta için en iyi altkümesi 2 sinden biri olur: 1) Ya Sk-1 kümesinin kapasitesi w olan çanta için en iyi altkümesidir, 2) Ya da Sk-1 kümesinin kapasitesi w-wk olan çanta için en iyi altkümesine k nesnesinin eklenmişidir

Özyinelemeli formül Sk kümesinin kapasitesi w olan çanta için en iyi altkümesi, k. nesneyi içerebilir veya içermez 1. durum: wk>w ise k. nesne çözümün içinde olamaz, bu nesne kapasitesi w olan çantaya giremez. 2. durum: wk <=w ise k. nesne çözümde ola da bilir, olamaya da bilir, büyük olanı alırız

0-1 Sırt Çantası Algoritması for w = 0 to W B[0,w] = 0 for i = 0 to n B[i,0] = 0 for i=1 to n if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

brute-force algoritması İŞLEM ZAMANI for w = 0 to W B[0,w] = 0 for i = 1 to n O(W) n defa tekrar ediyor O(W) İşlem zamanı? O(n*W) brute-force algoritması O(2n)

W = 5 (maksimum kapasite) Elemanlar (ağırlık, değer): Örnek n = 4 (nesne sayısı) W = 5 (maksimum kapasite) Elemanlar (ağırlık, değer): (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)

Örnek i 1 2 3 4 W 1 2 3 4 5 for w = 0 to W B[0,w] = 0

Örnek i 1 2 3 4 W 1 2 3 4 5 for i = 0 to n B[i,0] = 0

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=1 bi=3 wi=2 w=1 1 2 3 4 W i=1 bi=3 wi=2 w=1 w-wi =-1 1 2 3 4 5 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Items: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=1 bi=3 wi=2 w=2 1 2 3 4 W i=1 bi=3 wi=2 w=2 w-wi =0 1 2 3 3 4 5 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Items: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=1 bi=3 wi=2 w=3 1 2 3 4 W i=1 bi=3 wi=2 w=3 w-wi=1 1 2 3 3 3 4 5 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Items: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=1 bi=3 wi=2 w=4 1 2 3 4 W i=1 bi=3 wi=2 w=4 w-wi=2 1 2 3 3 3 4 3 5 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Items: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=1 bi=3 wi=2 w=5 1 2 3 4 W i=1 bi=3 wi=2 w=5 w-wi=2 1 2 3 3 3 4 3 5 3 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=2 bi=4 wi=3 w=1 1 2 3 4 W i=2 bi=4 wi=3 w=1 w-wi=-2 1 2 3 3 3 4 3 5 3 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=2 bi=4 wi=3 w=2 1 2 3 4 W i=2 bi=4 wi=3 w=2 w-wi=-1 1 2 3 3 3 3 4 3 5 3 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=2 bi=4 wi=3 w=3 1 2 3 4 W i=2 bi=4 wi=3 w=3 w-wi=0 1 2 3 3 3 3 4 4 3 5 3 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=2 bi=4 wi=3 w=4 1 2 3 4 W i=2 bi=4 wi=3 w=4 w-wi=1 1 2 3 3 3 3 4 4 3 4 5 3 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=2 bi=4 wi=3 w=5 1 2 3 4 W i=2 bi=4 wi=3 w=5 w-wi=2 1 2 3 3 3 3 4 4 3 4 5 3 7 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=3 bi=5 wi=4 1 2 3 4 W i=3 bi=5 wi=4 w=1..3 1 2 3 3 3 3 3 4 4 4 3 4 5 3 7 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=3 bi=5 wi=4 w=4 1 2 3 4 W i=3 bi=5 wi=4 w=4 w- wi=0 1 2 3 3 3 3 3 4 4 4 3 4 5 5 3 7 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=3 bi=5 wi=4 w=5 1 2 3 4 W i=3 bi=5 wi=4 w=5 w- wi=1 1 2 3 3 3 3 3 4 4 4 3 4 5 5 3 7 7 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=3 bi=5 wi=4 1 2 3 4 W i=3 bi=5 wi=4 w=1..4 1 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 3 7 7 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w

Örnek Nesneler: 1: (2,3) 2: (3,4) 3: (4,5) 4: (5,6) i=3 bi=5 wi=4 w=5 1 2 3 4 W i=3 bi=5 wi=4 w=5 1 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 3 7 7 7 if wi <= w // item i can be part of the solution if bi + B[i-1,w-wi] > B[i-1,w] B[i,w] = bi + B[i-1,w- wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w] = B[i-1,w] // wi > w