İleri Algoritmalar 1. ders

Çizge teorisine Giriş 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü

Königsberg Köprüleri Problemi A B C D 

Çizge örneği 4 öğrenci: A, B, C, D 4 iş: FF, SC, W, BS A B C D FF SC W BS Soru:Tüm öğrenciler arzu ettikleri bir işe girebilirler mi? Cevap: Hayır Ch1-4

Çizge tanımı G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur. Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir (elemanlarına köşe denir) E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır ( elemanlarına eğer varsa kiriş denir). V(G) : G nin köşeler kümesi E(G) : kirişler kümesi Kiriş {u, v} = {v, u} = uv (veya vu) G yönlü ise (digraf denir) Ch1-5

Örnek G=(V,E) olsun V={u, v, w, x, y, z} E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}} E={uv, uw, wx, xy, xz} G diagram v u w z x y Ch1-6

Komşu ve Bağlı u, v : G nin köşeleri u ve v köşeleri G de komşudur eğer uv  E(G) ise ( u v ye ve v u ya komşudur) e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile bağlıdır, e v ile bağlıdır) u v e Ch1-7

Çizge çeşitleri Yönsüz çizge: Yönlü çizge: döngü Katlı kiriş, parallel kiriş Yönsüz çizge: (basit) çizge: döngü (), katlı kiriş () Katlı çizge: döngü (), katlı kiriş () Pseudograph: döngü (), katlı kiriş () Yönlü çizge: Yönlü çizge: döngü (), katlı kiriş () Yönlü katlı çizge : döngü (), katlı kiriş () döngü Katlı kiriş değil Katlı kiriş Ch1-8

Mertebe(order) ve boyut(size) G çizgesinin köşe sayısına çizgenin mertebesi denir (|V(G)| ile gösterilir). Kirişlerin sayısına boyut (|E(G)| ile gösterilir ). Önerme 1: Eğer |V(G)| = p ve|E(G)| = q ise Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise (p, q) çizgesi denir Ch1-9

Çizgelerin uygulanması Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar. Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar.  Tanışlık çizgesi: Ali Ahmet Ayşe Fatma Mehmet Ch1-10

Köşelerin derecesi Tanım. G çizgesinin v köşesi için N(v) = { u  V(G) | v u  E(G) } kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v köşesinin derecesi deg(v) = | N(v) | sayısına denir y u v w x N(u) = {x, w, v}, N(y)={ } deg(u) = 3, deg(y) =0 Ch1-11

Not Eğer |V(G)| = p ise 0  deg(v)  p-1,  v  V(G) dir. deg(v) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş köşe denir. v ye tek köşe denir eğer deg(v) tekse. v ye çift köşe denir eğer deg(v) çiftse. Ch1-12

El sıkışma teoremi Theorem G bir çizge ise, Örnek 2 3 1 u v w x Ch1-13

El sıkışma teoremi Özellik Her çizgenin tek köşelerinin sayısı çift sayıdır. ispat. Eğer tek köşelerin sayısı tek sayıda olsaydı, çizgenin toplam derecesi tek olurdu.  Ch1-14

Dereceler dizisi Tanım. G=(V, E), V={v1, v2, …, vp} olsun. s: deg(v1), deg(v2), …, deg(vp) dizisine G nin dereceler dizisi denir (Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu durumda s tek olarak belirlenir) G 3 2 1 s: 3, 3, 2, 1, 1, 0 maximum derece : D(G) minimum derece : d(G) Ch1-15

Not Eğer d1, d2, …, dp bir çizgenin dereceler dizisi ise 0  d i  p-1 i. ve çifttir. s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisi ve 0 d i  p-1 i, ve çift ise s in dereceler dizisi olduğunu söyleyemeyiz. örnek. s: 5, 5, 3, 2, 1, 0 ( p-1 ve 0 aynı zamanda olamazlar) Daha fazlası, d1 p imkansızdır. ) Ch1-16

olsun. s in grafikseldir ancak ve ancak t grafikseldir. Tanım. Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun. Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan bir çizge varsa bu diziye grafiksel dizi denir Theorem 2 (Havel-Hakimi) s dizisi: d1, d2, …, dp, burada di N, i. olsun. t dizisi : olsun. s in grafikseldir ancak ve ancak t grafikseldir. Ch1-17

(  ) Eğer s1 : grafikselse   G1 de s1 dereceler dizisidir İspat : (  ) Eğer s1 : grafikselse   G1 de s1 dereceler dizisidir G1 … v2 v3 vd1+1 vd1+2 d2-1 d3-1 vp dd1+1-1 dd1+2 dp d1 köşeler  dd1+1 dd1+2 d2 d3 dp G … v2 v3 vd1+1 vd1+2 vp … v1  s : d1, d2, …, dp grafikseldir Ch1-18

iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) İspat devam (  ) Eğer s : d1, d2, …, dp grafikselse   G çizgesi var yani s dereceler dizisidir G ve deg(vi) = di for 1  i  p, ve maksimumdur iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) v1 G … v2 v3 vd1+1 vd1+2 d2 d3 vp dd1+1 dd1+2 dp d1 i.e., : : Bu iddia doğru ise, bu durumda G-v1 çizgedir dereceler dizisi s1  s1 grafikseldir Ch1-19

İddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) ispat: doğru değilse öyle iki vj ve vk (j < k) köşeleri vardır ki dj > dk yani v1vk  E(G) ama v1vj  E(G). v1 G vj vk vn dj > dk olduğundan  vnV(G) yani vjvn  E(G), vkvn  E(G). G2 = G - {v1vk, vjvn} + {v1vj, vkvn} G2 nin derece dizisi s ama büyük ,  Ch1-20

Algoritma s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisidr s grafiksel midir?: (1) Eğer di=0, i, ise s grafikseldir. Eğer  di<0 bir i için ise s grafikseldir. Aksi durumda, (2). Adıma git (2) s i artmayan şekilde sırala (3) s = s1 olsun(s1 Teorem ), (1) e dön Ch1-21

Örnek 1 s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1’: 3, 2, 2, 1, 2 ( 4 ü sil) s1: 3, 2, 2, 2, 1 (sırala) s2: 1, 1, 1, 1 (3 ü sil) s3’: 0, 1, 1 (ilk biri sil 1) s3: 1, 1, 0 (sırala) s4: 0, 0 (ilk1 i sil)  s grafiksledir Ch1-22

Çizge çizimi s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1’: 3, 2, 2, 1, 2 s1: 3, 2, 2, 2, 1 s2: 1, 1, 1, 1 s3’: 0, 1, 1 s3: 1, 1, 0 s4: 0, 0  s grafikseldir G 4 2 3 Ch1-23

Örnek 2 s: 5, 4, 3, 2, 1, 1 s1: 3, 2, 1, 0, 0 (5 i sil) s2: 1, 0, -1, 0 (3 ü sil)  s grafiksel değil Ch1-24