A ve B boş olmayan iki küme olsun A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir. f f: A B veya A B Biçiminde gösterilir.Burada, A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir.

f(A)={f(x): x  A} kümesine f fonksiyonunun görüntü kümesi denir f(A)={f(x): x  A} kümesine f fonksiyonunun görüntü kümesi denir. f(A) B dir. f(A) görüntü kümesi Tanım kümesi Değer kümesi f: A B bağıntısının fonksiyon olabilmesi için: 1. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı. 2. Tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü olmalıdır.

Örten ve İçine Fonksiyon f:A B fonksiyonu verilsin. DÜŞEY (DİKEY) DOĞRU TESTİ Grafiği verilmiş bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğriyi en az bir ve en çok bir noktada kesiyorsa verilen bağıntı fonksiyondur. EŞİT FONKSİYONLAR f:A B ve g:A B iki fonksiyon olsun. Her x A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ Örten ve İçine Fonksiyon f:A B fonksiyonu verilsin. f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir. f(A)≠B ise f ye içine fonksiyon denir. Değer kümesinin her y elemanı için x eksenine paralel çizilen tüm doğrular fonksiyonun grafiğini en az bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon örtendir.

f:A B fonksiyonu verilsin. Bire –Bir Fonksiyon f:A B fonksiyonu verilsin. A kümesinin her elemanının görüntüsü farklı ise f ye bire-bir fonksiyon denir. Yani, her a,b  A için a≠b f(A)≠f(B) ise F ye bire-bir fonksiyon denir. X eksenine (tanım kümesine) paralel çizilecek doğruların tamamı grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon bire birdir. Sabit Fonksiyon (f(x)=c, c  R) f: A B fonksiyonu verilsin. f(A) görüntü kümesi bir elemanlı ise f ye sabit fonksiyon denir. Tanımlı olduğu bölgede f(x)= 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 sabit fonksiyon ise 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 dir.

Birim Fonksiyon (f(x)=x) f :A A fonksiyonu verilsin. Her elemanı kendisi ile eşleyen fonksiyona birim (etkisiz) fonksiyon denir ve genellikle I ile gösterilir.Yani, I(X)=X birim fonksiyondur. DOĞRUSAL FONKSİYON Kuralı bir doğru denklemi olan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. f(x)= ax+b Doğrusal Fonksiyonunun Grafiği y= ax+b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun geçtiği herhangi iki nokta bulunur.Eksenleri kestiği noktaları bulmak tercih edilir. y= f(x) fonksiyonunun grafiğinin (varsa) kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanlardır.

y b + = 1 X eksenini (a,0), y eksenini (0,b) noktalarında kesen doğrunun denklemi + = 1 dir.

PARÇALI FONKSİYON Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer fonksiyon olarak tanımlanan fonksiyona parçalı fonksiyon denir. MUTLAK DEĞER FONKSİYON f(x) , f(x)> 0 |f(x)|= 0 , f(x)= 0 -f(x), f(x)< 0 Biçiminde tanımlanan y= |f(x)| fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir. f(x)= 0 eşitliğini sağlayan x değerleri fonksiyonun kritik noktalarıdır.

ÖRNEK SORULAR 1.SORU: f:A B, f(x)= x-2 A={0,1,2,3} ise f(A) görüntü kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : f:A B, x y=f(x) X=0 f(0)=0-2=-2 X=1 f(1)=1-2=-1 X=2 f(2)=2-2=0 X=3 f(3)=3-2=1 olduğundan, f(A)={-2,-1,0,1} bulunur.

2. SORU: f(x.y)=f(x)+f(y) ise f(1) kaçtır ? ÇÖZÜM: f(1.1)=f(1)+f(1) f(1)= f(1)+f(1) f(1)-f(1)=f(1) 0= f(1) bulunur. 3.SORU: f(4x-3)=6x+2 ise f(5) kaçtır ? ÇÖZÜM: 4x-3=5 4x=8 x=2 olur. Verilen eşitlikte x=2 yazarsak f(4.2-3)=6.2+2 f(5)=14 olur.

4. SORU: f(x)= x+f(x+1) ve f(1)=6 eşitliklerini sağlayan f(x) fonksiyonu için f(10) kaçtır ? ÇÖZÜM: x=1 f(1)=1+f(2) x=2 f(2)=2+f(3) x=9 f(9)=9+f(10) f(1)=1+2+…+9+f(10) 6= + f(10) f(10)=-39 bulunur.

5. SORU: f(x)= 4x-3 olmak üzere, f(2x+1)in f(x) türünden değerini bulunuz. ÇÖZÜM: f(x)=4x-3 x= f(2x+1)=4(2x+1)-3=8x+1=8( )+1 =2f(x)+7 6. SORU: f(x) doğal fonksiyonu için f(2)=1, f(3)=3 ise f(5) kaçtır ? ÇÖZÜM: f(x)=ax4b olsun. f(2)=1 2a+b=1 ve f(3)=3 3a+b=3 2a+b a=2 ve b=-3 olur. 3a+b Bu durumda, f(x)=ax+b=2x-3 f(5)=2.5-3=7 bulunur.

7.SORU: Aşağıdaki doğrusal fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a. f:R R, f(x)=2x-1 b. g:[-2,2] R, g(x)=x+1 y y=f(x) ÇÖZÜM: a. İstenenen y=2x-1 doğrusunun grafiğidir. x=0 y=-1 x y=0 x= -1 b. İstenen y=x+1 doğrusunun [-2,2] y y=g(x) aralığındaki grafiğidir. x=-2 y=-2+1=-1 x x=2 y=2+1=3

8. SORU: Aşağıdaki fonksiyonlarıngrafiklerini çizerek tanım ve görüntü kümelerini belirleyiniz. a.x=y b.y=x y=2 ÇÖZÜM: a.Tanım Kümesi: (-∞,∞) Görüntü kümesi: {2} b. Tanım Kümesi: (-∞,∞) Görüntü Kümesi: (-∞,∞)

9. SORU: f:R R, f(x)=(a-3)x+a+2 fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(a) kaçtır ? ÇÖZÜM: f(x) sabit fonksiyon ise f(x)=c olacağından f(x)=(a-3)x+a+2 fonksiyonunda a-3=0 a=3 olur. Bu durumda f(x)=0.x+3+2 f(x)=5 olduğundan, f(a)=f(3)= 5 bulunur. 10.SORU: f:[-2,3) B, f(x)=2x²+1 olmak üzere f(A) kümesini bulunuz. ÇÖZÜM: f:[-2,3) B, x f(x) -2 ≤ x < 3 0 ≤ x² < 9 0 ≤ 2x² <18 1≤ 2x² +1< 19 olduğundan, f(A)=[1,19) olur.

11. SORU: f:A [-5,7], f(x)=2x-1 olmak üzere f(x) bire bir ve örten bir fonksiyondur. Buna göre A kümesini bulunuz. ÇÖZÜM: f: A [-5,7] x f(x) -5 ≤ 2x-1 ≤ 7 -4 ≤ 2x ≤ 4 olduğundan, A=[-2,4] olur. 12.SORU: f(x)=|x-2|+2x-1 Fonksiyonunu parçalı fonksiyon biçiminde yazınız. ÇÖZÜM: x-2 ≥ 0 için |x-2|= x-2 x-2 < 0 için |x-2|=-x+2 olacağından x ≥ 2 f(x)=x-2+2x-1=3x-3 x< 2 f(x)= -x+2+2x-1=x+1 3x-3 , x ≥ 2 x+1 , x<2

13. SORU: f: R R, f(x)= 2x+4 f(2k)=f(k-1) olduğuna göre, k nin değerini bulalım. ÇÖZÜM: f(x)=2x+4 olduğuna göre, f(2k)=2.2k+4 = 4k+4 tür. f(k-1)= 2.(k-1)+4=2k-2+4= 2k+2 dir. f(2k)=f(k-1) 4k+4=2k+2 2k=2-4 k= -1 olur.

14. SORU: f: R R, f(x+1)=x+f(x) f(2)=5 Olduğuna göre, f(4) ün değerini bulalım. ÇÖZÜM: f(2)=5 ve f(x+1)=x+f(x) olduğuna göre, X=2 için, f(2+1)=2+f(2) f(3)=2+5= 7 dir. X=3 için, f(3+1)=3+f(3) f(4)=3+7 = 10 dur.

15. SORU: 4x-m, x > -1 x+m, x ≤ -1 f(2)-f(-3)=8 olduğuna göre, m kaçtır ? ÇÖZÜM: (8-m)-(-3+m)=8 8 – m + 3 – m = 8 11 -2m= 8 3=2m ise, m=

MATEMATİK PROJE ÖDEVİ ADI: ZEHRA SOYADI: SAYAN OKUL:BOZÜYÜK FEN LİSESİ SINIF/NO: 9-A/ 916 ÖĞRETMEN: SİBEL MARTTİN “Bir matematikçi sanmaz fakat bilir. İnandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder. Güveninizi beklemez. Belki dikkat etmenizi ister.” Henri Poincare