ÜÇGENİN ÇEMBERLERİ

Üçgenin Çemberleri İşte bu çembere, üçgenin çevrel çemberi denir! Bir ABC üçgeninin, [AB] kenarının L ortasından çizilen, [BC] kenarının H ortasından ve [AC] kenarının K ortasından çizilen üç dikmenin kesiştiği noktaya O diyelim. OAB, OBC, OAC üçgenleri İkizkenar üçgenler midir? |OA|=|OB|=|OC| midir? İşte bu çembere, üçgenin çevrel çemberi denir! |OA|=|OB|=|OC|=R olsun Pergelimizi O ya batırıp R birim yarıçaplı çizilen çember, üçgenin köşelerinden geçer mi?

Üçgenin Çemberleri İşte bu çembere, üçgenin iç teğet çemberi denir! Bir üçgenin üç iç açıortayının kesiştiği noktaya I diyelim. I dan inilen dikmeler |IM|=|IK|=|IF| olsun. Bu dikmelerin uzunlukları eşit midir? İşte bu çembere, üçgenin iç teğet çemberi denir! Pergelimizi I ya batırıp r birim yarıçaplı çizilen çember, üçgenin kenarlarına teğet olmaz mı?

Üçgenin Çemberleri Bir üçgenin bir iç açıortayı ile iki dış açıortayının kesiştiği noktaya J diyelim. J den kenarlara inilen dikmeler |JS|=|JL|=|JR| olsun. Bu dikmelerin uzunlukları eşit midir? İşte bu çembere, üçgenin bir dış teğet çemberi denir! Pergelimizi J ye batırıp rb birim yarıçaplı çizilen çember, üçgenin kenarlarına teğet olmaz mı?

Üçgenin Çemberleri Böylece bir üçgenin bir iç teğet çemberi ve üç tane dış teğet çemberi vardır!

Üçgenin Çemberleri Böylece x=u-a, y=u-b ve z=u-c olur! Üçgenin kenar uzunlukları a, b, c ve 2u=a+b+c olsun. |AF|=|AK|=x |BF|=|BM|=y |CM|=|CK|=z olsun. Bu uzunlukları u ya bağlı bulalım. 2u=2x+2y+2z u=x+y+z y+z=a olduğundan x=u-a dır. Benzer şekilde; y=u-b ve z=u-c bulunur.. Böylece x=u-a, y=u-b ve z=u-c olur!

Üçgenin Çemberleri Böylece |AU|=|AT|=|BR|=|BS|=|CP|=|CQ|=u olur! Üçgenin kenar uzunlukları a, b, c ve 2u=a+b+c olsun. |AU|=|AT| midir? |BS|=|BR| midir? |CP|=|CQ| müdür? Peki bu uzunluklar birbirine eşit midir? AU ve AT, A dan a kenarının dış teğet çemberlerine çizilen teğetler değil mi? Böylece |AU|=|AT|=|BR|=|BS|=|CP|=|CQ|=u olur! |AU|=|AB|+|BU|=|AB|+|BN| |AT|=|AC|+|CT|=|AC|+|CN| Eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa; 2|AU|=2|AT|=a+b+c=2u |AU|=|AT|=u bulunur.

Üçgenin Çemberleri Böylece A(ABC) = ur olarak bulunur! Acaba üçgenin alanını a+b+c=2u ve r cinsinden bulabilir miyiz? A(ABC)=A(IBC)+A(IAC)+A(IAB) Böylece A(ABC) = ur olarak bulunur!

Üçgenin Çemberleri Acaba bir çokgen, teğetler çokgeni, çevresi 2u ve teğet çemberinin yarıçapı r ise alanını u ve r nin fonksiyonu olarak bulunabilir mi? Örneğin ABCDE teğetler beşgeninin kenarları a, b, c, d, e ve teğet çemberinin yarıçapı r olsun. A(ABCDE)=A(IAB)+A(IBC)+A(ICD) +A(IDE)+A(IEA) A(ABCDE)=(a+b+c+d+e).r/2 Böylece herhangi bir teğetler çokgeninin çevresi 2u ve teğet çemberinin yarıçapı r ise Alanı A=ur dir. A(ABCDE)=(2u).r/2 A(ABCDE)= ur

Üçgenin Çemberleri Böylece A(ABC)=(u-a)ra=(u-b)rb=(u-c)rc bulunur! Acaba üçgenin alanını a+b+c=2u ve rb cinsinden bulabilir miyiz? A(ABC)=A(JAB)+A(JBC)-A(JAC) Böylece A(ABC)=(u-a)ra=(u-b)rb=(u-c)rc bulunur!

Euler Çemberi Bir ABC üçgenini çizelim. Üçgenin [AH] yüksekliğini çizelim.

Euler Çemberi Üçgenin [BI] yüksekliğini çizelim.

Euler Çemberi Sonra da [CJ] yüksekliğini çizelim.

Euler Çemberi Üçgenin D, E, F kenar orta noktalarını işaretleyelim.

Euler Çemberi [OA], [OB], [OC] nın orta noktalarını işaretleyelim. Böylece, üçgenin H, I, J dikme ayaklarını; D, E, F kenar orta noktalarını; O yükseklik merkeziyle köşeler arası doğru parçalarının K, L, M orta noktalarını İşaretlemiş olduk. İşte bu 9 noktadan bir çember geçer…!

Euler Çemberi İşte bu çembere Euler (9 nokta ) Çemberi denir!

Teşekkür Ederiz…! İzmir Fen Lisesi Matematik Zümresi Bu sunu dosyasını http://www.ifl.k12.tr sayfasından indirebilirsiniz.