Esra Esnemez Gizem Bayram Hümeyra Güneş PROBLEM ÇÖZME STRATEJiLERi

Farklı Bakış Açısı Uygulama Stratejisi Geriye Doğru İşlem Yapma Stratejisi

Farklı Bakış Açısı Uygulama Stratejisi Olaylara tersinden bakmak veya istenen üzerinden değil de istenmeyen üzerinden giderek çözüme ulaşmaktır. Problem çözümlerin de bazen istenen durum üzerinden gitmek işlemleri fazlalaştırıp çözümü güçleştirebilirken, istenmeyen durum üzerinden gitmek çok daha sadece işlemlerle karmaşadan uzak şekilde çözümlere ulaşmalarını sağlar.

!!!Problem kişinin katıldığı bir tenis turnuvasında şampiyonu belirlemek için kaç maç yapılmalıdır?

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: 25 tenisçi var. Her bir maç iki tenisçiyle yapılıyor. İstenenler: Turnuvadaki toplam maç sayısı nedir? basamaklar

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama Normal şartlarda problemin çözümünü bulabilmek için, maçları kazananlara göre bir yöntem izlenir. Ancak farklı bakış açısı stratejisi kullanıldığında kazanana değil kaybedene göre bir yöntem kullanılır. Toplam: 25 tenisçi Kaybeden: 24 tenisçi her maçta 1 tenisçi kaybedecek kaybedenler turnuvadan elenecek 24 kaybeden olacak Öyleyse; turnuvada toplamda 24 maç yapılmalıdır. basamaklar

Geriye Doğru Bakma Başka bir stratejiyle sağlama yapalım… Toplam: 25 tenisçi Kazanan: 1 tenisçi her maçta 1 tenisçi kazanacak kazanan diğer maça hak kazanacak sonda 1 tenisçi kazanacak = 25 kişi = 13 kişi = 7 kişi = 4 kişi 2 kişi 24 : 2 = 12 maç, 12 kazanan 12 : 2 = 6 maç, 6 kazanan 6 : 2 = 3 maç, 3 kazanan 4 : 2 = 2 maç, 2 kazanan 2 : 2 = 1 maç, 1 kazanan Yapılan toplam ma12 : 2 = 6 maç, 6 kazanan ç sayısı 24’tür. basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma 25 kişilik bir tenis turnuvasında yapılan her maçta kaybeden tenisçiler kaybeden rakipleriyle tekrar maç yapacak ve kazanırlarsa turnuvada tekrar maça çıkacaklardır. Buna göre kazananın belirlenmesi için en az kaç maç yapılmalıdır ? basamaklar

Yapılan istatiksel araştırmalarda; Çankırı kentinin nüfusunun her yıl 80 kişi azaldığını, Çorum kentinin nüfusunun ise her yıl 120 kişi arttığını göstermektedir… !!!Problem - 2 Çankırı Kenti 6800, Çorum Kenti ise 4200 kişilik nüfusa sahiptir. Kaç yıl sonra iki kentin nüfusları eşit olur?

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: Çankırı’nın nüfusu 6800 kişi Çorum’un nüfusu 4200 kişi Çankırı’da her yıl 80 kişi azalma Çorum’da her yıl 120 kişi artma İstenenler: Kentlerdeki nüfuslar kaç yıl sonra eşitlenir? basamaklar

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama Nüfustaki kayıp: Çankırı’da 80 kişi Nüfustaki artış: Çorum’da 120 kişi Nüfuslardaki toplam değişme: = 200 kişi Popülasyonların net farkı: = 2600 kişi Her yıl 200 kişilik değişimle nüfuslar arasındaki fark giderilecek. Popülasyon farkını, toplam değişime bölersek eşitliğin sağlanması için kaç yıl geçmesi gerektiği bulunur. Sonuç 2600 : 200 = 13 basamaklar

Geriye Doğru Bakma Başka bir stratejiyle sağlama yapalım… Nüfusların eşitlenmesi için gereken yıl sayısı: x x yıl sonra; Çankırı Kenti’nin nüfusu Çorum Kenti’nin nüfusu 6800 – 120x x x yıl sonra nüfuslar eşitlendiğinden; 6800 – 120x = x 2600 = 200x 13 = x Başka bir strateji ile de sağlama yapalım… Geçebilecek her yıl için hesaplama yaparak nüfuslarda eşitleme yapmaya çalışalım. Yıl Çankırı Çorum Bir diğer çözüm ise… Nüfus eşitliği için geçen yıl: x x yıl sonraki nüfus miktarı: y x yıl sonra; Çankırı’nın nüfusu Çorum’un nüfusu y = x y = x Oluşan doğrular koordinat sistemine yerleştirilir. Doğruların kesişim noktaları bulunur. X = 13 y = 5240 basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma Eskişehir Kenti 4500, Afyon Kenti ise 2300 kişilik nüfusa sahiptir. Yapılan istatiksel araştırmalarda; Eskişehir Kenti’nin nüfusunun her yıl 30 kişi azaldığını, Afyon Kenti’nin nüfusunun ise her yıl 90 kişi arttığını göstermektedir. Buna göre Afyon Kenti Eskişehir Kenti’nin 2 katı olur ? basamaklar

!!!Problem - 3 Şuan da saat 10:45’i göstermektedir dakika sonra saat kaçı gösterir?

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama basamaklar Verilenler: Şuan ki zaman, 10:45 İstenenler: Şuandan dakika sonraki saat.

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama , ’ den 5 eksiktir. 60 dakika 1 saat olduğundan dakika; : 60 = saat yapar. 24 saat 1 gün olduğundan saat; : 24 = gün yapar. Saat 10:45’den gün sonra saat yine 10:45’tir. Ancak biz bulunmak istenen zamandan 5 dakika sonrasını bulduk. Öyleyse; istenilen zaman 10: :05 = 10:40’tır. basamaklar

Geriye Doğru Bakma dakika; saate çevrilir; saat güne çevrilir; istenilen saat doğrudan bulunur… basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma Şuan 2013 yılının Mart ayının 14’üdür ve saat 10:45’i göstermektedir. 4’e tam bölünebilen her yılda Şubat ayının 29 gün olduğu dikkate alınıyor. Şuandan dakika önceki tarih ve saati bulunuz. basamaklar

!!!Problem – 4 Aynı odada bulunan beş kişiden en az ikisinin aynı gün doğmuş olma olasılığı nedir? (Şubat ayı 29 çekmemektedir.)

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: 5 kişi Şubat ayının 29 çekmediği. İstenenler: En az iki kişinin aynı gün doğma olasılığı. basamaklar

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama Beş kişinin de aynı günde doğmama olasılığını hesaplayalım ve tüm durumdan çıkaralım. Birinci kişinin herhangi bir günde doğma olasılığı: 365:365 İkinci kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 364:365 Üçüncü kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 363:365 Dördüncü kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 362:365 Beşinci kişinin farklı bir günde doğma olasılığı: 361:365 Hepsinin farklı günde doğma olasılığı: = = 0, Hepsinin herhangi bir günde doğma olasılığı: 1’dir. Öyleyse en az ikisinin aynı gün doğma olasılığı; 1- 0, = 0, basamaklar

Geriye Doğru Bakma Tüm Durumları Göz Önüne Alma Stratejisi Mantıksal Çıkarım Yapma Stratejisi basamaklar

Geriye Doğru Bakma 5 kişi için: 2 kişinin aynı günde doğma olasılığı, 3 kişinin aynı günde doğma olasılığı, 4 kişinin aynı günde doğma olasılığı, 5 kişinin aynı günde doğma olasılığı, … sırasıyla hesaplanır ve toplanır. basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma Ayşe'nin iki adet torbası vardır. Birinci torbanın içinde 15 tane kırmızı, 10 tanede beyaz top vardır. İkinci torbanın içinde ise 17 kırmızı, 8 mavi top vardır. Ayşe ilk torbadan teker teker 3 top alıyor ve her aldığını diğer torbaya atıyor. En sonunda Ayşe’nin ikinci torbadan kırmızı çekme olasılığı nedir? basamaklar

!!!Problem - 5 Bir dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğunun hipotenüs uzunluğunun yarısı kadar olduğunu ispatlayınız.

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: Bir dik üçgen İstenenler: Hipotenüse indirilen kenarortayın uzunluğunun, hipotenüsünkinin yarısı olduğunun gösterilmesi. basamaklar

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

ABC üçgeninin çevrel çemberini kullanalım. Bu şekilde BC uzunluğu çap olur. M çemberin merkezi yani BC çapının orta noktasıdır. Bu nedenle ABC üçgeninin kenar ortayı AM uzunluğu aynı zamanda çevrel çemberin yarı çapıdır ayrıca hipotenüsün yarısı uzunluğundadır. Planı Uygulama C B A M basamaklar

Geriye Doğru Bakma Bu önermeyi ispatlamanın en bilinen yolu AM kenar ortayını P noktasına kadar uzatıp, PB ve PC uzunluklarını çizmektir. Elde edilen ABCP dörtgeni bir dikdörtgendir. Bir dikdörtgenin köşegenlerinin uzunlukları aynıdır. Bu yüzden AM uzunluğu BC uzunluğunun yarısı kadar olur. A B C P M basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamının hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu gösteriniz. basamaklar

!!!Problem sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: İstenenler: Sayının asal çarpanları basamaklar

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama – = – 27 = (100) 3 – 3 3 = a 3 – b 3 = (a – b).(a 2 + a.b + b 2 ) olduğundan; (100) 3 – 3 3 = (100 – 3).( ) = = basamaklar

Geriye Doğru Bakma Hesap makinesi kullanılarak asal çarpanları bulunabilir. basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma sayısını asal çarpanlarına ayırınız. basamaklar

!!!Problem - 7 Bir kedi 160 m önünde olan bir kediyi kovalamaktadır. Farenin her 7 m’lik ilerleyişinde kedi 9 m ilerlediğine göre, kedi fareyi yakalamak için kaç metre koşmalıdır?

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: Kedi ve fare arası 160 metre Kedi 9 metre ilerliyor Fare 7 metre ilerliyor İstenen: Kedi fareyi yakaladığında toplam gittiği yol nedir? basamaklar

Plan Hazırlama Farklı bakış açısı uygulama stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejilerle de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama Kedi ile farenin aldıkları yok(hız) farkı: 2 metre Kedi ile fare arasındaki mesafe: 160 metre Arkadaki kedi daha hızlı olduğundan mesafe belli süre sonra kapanacaktır. Aradaki mesafenin kapanması için geçen süre: 160 : 2 = 80 Kedinin toplamda kat ettiği yol: 9 x 80 = 720 metre basamaklar

Geriye Doğru Bakma Başka bir yöntemi kullanarak sağlama yapalım… Fare başladığı noktadan itibaren d metre uzaklıkta yakalansın. Farenin Hızı: 7x olsun. Kedinin Hızı: 9x olsun. Yakalama sürecinde kedi ve farenin harcadığı zamanlar aynıdır. Zaman= Yol : Hız Farenin Zamanı = Kedinin Zamanı d : 7x = (160 + d) : 9x d = 560 Kedinin kat ettiği toplam yol: = 720 metre basamaklar

İleri Düzey Problem Kurma Jerry mutfaktan kaçırdığı peyniri evine götürmek üzereyken, yolunun 4/9'una geldiğinde Tom'un sesini duyar. Tom jerry'e yaklaşık 20 km kızla koşarak yaklaşıyordur. Jerry, Tom onu yakalamadan evine varması için en az kaç km hızla kaçmalıdır ? basamaklar

Geriye Doğru İşlem Yapma Stratejisi Dışarıdan bakıldığından bu metodu karmaşık olarak algılanıyor. Geriye doğru çözme metoduna istediğimiz sonuca ulaşmak için, problemdeki önemli noktaları yakalamak gerekir. Bu metot günlük hayatta da karşımıza çıkmakta. Trafik kazasıyla karşılaşan polis kazanın nasıl olduğunu öğrenmek için geriye dönme metodunu kullanarak kazanın nasıl olduğunu ilk kimin kime vurduğunu tespit eder. Metodun temel prensibi olaylara tersten bakmaktır.

!!!Problem - 8 Ayşe’nin 11 litrelik ve 5 litrelik birer su bidonu vardır. 7 litre suyu Ayşe bu su bidonlarıyla nasıl tartabilir? 11 litre 5 litre

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: 11 litrelik su bidonu 5 litrelik su bidonu İstenenler: 7 litre su basamaklar

Plan Hazırlama Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejileri de kullanılabilir. basamaklar

7 litre Planı Uygulama 11 litre 5 litre 1 litre 4 litreyi elde edebilmek için 5 litrelik su bidonunda 1 litre su bırakılmalıdır. Peki 5 litrelik bidondan 1 litre suyu nasıl elde edebiliriz? 11 litre bidona tamamen su doldurulur. 5 litre su bidonu kullanılarak iki seferde 11 litrelik su bidonundan, 10 litre su boşaltılıyor. Bu şekilde geriye 1 litre kalıyor. Kalan 1 litre su 5 litrelik su bidonuna dolduruluyor. 11 litrelik su bidonu tekrar doldurulur. 5 litrelik bidonumuzun 1 litresi doluydu. 11 litrelik bidondan 5 litrelik bidon dolacak şekilde su aktarılıyor. 4 litre su aktarmış oluyoruz. Böylece 11 litrelik bidondan 4 litre su eksilmiş yani geriye 7 litre su kalmıştır. basamaklar

Geriye Doğru Bakma basamaklar Mantıklı Tahmin Yürütme ve Test Etme Stratejisi

!!!Problem - 9 Bir çifti yumurtalarını yerel marketlere dağıtırken bir kaza geçirir ve bütün yumurtaları kırılır. Kaç tane yumurtası olduğunu hatırlayamaz. Fakat en başta yumurtaları; 2’li olarak paketlemeye çalıştığında 1 tane, 3’lü olarak paketlemeye çalıştığında 1 tane, 4’lü paketlemeye çalıştığında 1 tane, 5’li paketlemeye çalıştığında 1 tane, 6’lı paketlemeye çalıştığında da 1 tane yumurta artar. 7’li paketlemeye çalıştığında ise geriye hiç yumurta kalmaz. Buna göre çiftçinin en az kaç yumurtası vardı ?

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: 2’li paketlemede 1 yumurta artar 3’lü paketlemede 1 yumurta artar 4’lü paketlemede 1 yumurta artar 5’li paketlemede 1 yumurta artar 6’lı paketlemede 1 yumurta artar 7’li paketlemede artan yumurta olmaz İstenenler: Başlangıçta çiftçinin en az kaç tane yumurtasının olduğu. basamaklar

Plan Hazırlama Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejileri de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama Çiftçinin sahip olabileceği en az yumurta sayısını bulabilmek için 2,3,4,5 ve 6’nın en küçük ortak çarpanını bulup 1 eklemek gerekir. Çünkü yumurtalar 2,3,4,5 ve 6’lı paketlemeler de 1 yumurta artmıştır. Bulunan sayı 7’ye tam bölünüyorsa problem çözülmüş olur. En küçük ortak bölen 60’dır = 121 => 7 ile bölünmez = 181 => 7 ile bölünmez = 241 => 7 ile bölünmez = 301 => 7 ile bölünür = 361 => 7 ile bölünmez Çiftçinin başta 301 tane yumurtası vardır. basamaklar

Geriye Doğru Bakma basamaklar Mantıklı Tahmin Yürütme ve Test Etme Stratejisi

İleri Düzey Problem Çözme Bir çifti yumurtalarını yerel marketlere dağıtırken bir kaza geçirir ve bütün yumurtaları kırılır. Çiftçi kaç tane yumurtası olduğunu hatırlayamaz. Fakat en başta yumurtaları 2’li olarak paketlemeye çalıştığında 1 tane, 3’lü olarak paketlemeye çalıştığında hiç, 4’lü paketlemeye çalıştığında 1 tane, 5’li paketlemeye çalıştığında 1 tane, 6’lı paketlemeye çalıştığında 1 tane, 9'lu paketlemeye çalıştığında da geriye hiç yumurta kalmaz. Buna göre çiftçinin en az kaç yumurtası vardı ? basamaklar

!!!Problem - 10 Verilen sayılardan hangisi daha büyüktür?

Problemi Anlama Plan Hazırlama Planı Uygulama Geriye Doğru Bakma İleri Düzey Problem Kurma

Problemi Anlama Verilenler: İstenenler: Hangi sayının daha büyük olduğu. basamaklar

Plan Hazırlama Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılsın. Diğer problem çözme stratejileri de kullanılabilir. basamaklar

Planı Uygulama basamaklar

Geriye Doğru Bakma basamaklar Basit Benzer Problem Çözme Stratejisi

İleri Düzey Problem Kurma hangi sayı daha büyüktür ? basamaklar