Doğal Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr

Doğal Sayılarda Çarpma İşlemi Öğretimi 2. sınıftan itibaren toplamaya dayalı olarak öğretim a x b = b+b+b+…+b = c a tane çarpan çarpılan çarpım Toplananları aynı olan toplama işlemi çarpmaya dönüşür. Temel: ritmik sayma, toplama Aynı sayıdaki nesnelerin gruplar halinde sunulduğu problemler: sıralar, yumurta kutuları, parmaklar, günler, aylar…) Göstergeler: “tane, defa, kere…” Temel çarpmalar: iki tek basamaklı sayının çarpımı Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Çarpma İşlemi Gösterimleri Parmaklar Şekil ve materyaller Gruplanmış sayılar: 13 = 1 onluk + 3 birlik x 2 = 2 birlik = 2 onluk + 6 birlik Basamak tablosu Kısa çarpma: 12 x 4 18 Y O B 1 3 x 2 4 5 + 6 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

İşlem Kolaylıkları ve Zihinden İşlem Değişme özelliği 7 x 3 = 3 x 7 Birleşme özelliği 2 x 9 x 5 = (2 x 5) x 9= 10 x 9 = 90 0’ın etkisi 45 x 756 x 0 = 0 1’in etkisi 52 x 1 = 52 10, 100 ile çarpma 9 ile çarpma 4 x 9 = 4 x (10-1) = 40-4 = 36 (Dağılma özelliği) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Aşamalar Çarpım = ? 5 x 3 = ? Çarpan / çarpılan = ? 12 x  = 24 Elde getirmeyen çarpma: 12 x 3 36 Elde getiren çarpma: 12 x 17 84 + 12 204 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Materyaller Onluk taban blokları Birim küpler Abaküsler Sayma çubukları (Renkli kalemler, pipetler…) () Legolar Hesap makinesi … Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Aşamalar a x b ab x c ab x cd Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Zorluklar 0 ile çarpma Herhangi bir basamakta 0 bulunması Toplamaya dayalı örnekler sunulmalı Herhangi bir basamakta 0 bulunması Basamak kaydırma Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Çarpmanın Sağlaması Çarpım çarpanlardan birine bölünür Çarpan ve çarpılanın yerleri değiştirilir 9 atarak sağlama Çarpan ve çarpılanın 9’a bölümünden kalanları bulunur (K1 ve K2) Kalanlar çarpımının (K1 x K2) 9’a bölümünden kalanı bulunur (K3) Çarpımın 9’a bölümünden kalanı bulunur (K4) K3 = K4 ise çarpım doğrudur. K1 K4 K3 K2 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Teknikler: Parmaklarla Çarpma-I Rakamların 9 ile çarpımı Parmaklar 1 den 10’a kadar numaralanır Hangi sayı 9 ile çarpılıyorsa, o sayıya denk gelen parmak bükülür Açık olanlar ayrı ayrı sayılarak yan yana yazılır http://www.jlsigrist.com/site2/indexr.html Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Teknikler: Parmaklarla Çarpma-II 5 ve 5 ten büyük iki sayının çarpımı Her el sayılardan birini temsil eder Sayıya tamamlamak için 5 ten başlayarak ne kadar kalıyorsa o kadar parmağı bükerek kapatırız Kapalı parmakların toplamı onlukları temsil eder (kırmızı) Her elin açık parmak sayısını çarpar, birlikleri buluruz (mavi) Onluk ve birlikleri toplarız. 8 x 8 = ? 3 + 3 = 6  60 2 x 2 = 4  4 60 + 4 = 64 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Teknikler... Japon tekniği Video: 24 x 26 = ? http://www.ortakantin.com/video/japon-usulu-carpma-yontemi-eminim-ilk-defa-goruyorsun Onlar x Onlar Onlar x Birler Birler x Birler Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Dik dörtgensel hesap 26 x 42 52 + 104 1092 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Şekiller ve Problemler… Kaç tane vazo var? Vazolara 3’er tane gül konacak. Kaç gül gerekiyor? Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Kaç tane yumurta var? Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Çarpım Tablosu Çarpım tablosu bir araçtır 0 ın etkisi 1 in etkisi Değişme özelliği … Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Daha fazla bilgi için: Videolar http://video.google.com Anahtar kelimeler: technique multiplication math trick Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Doğal Sayılarda Bölme İşlemi Öğretimi 2. sınıfta sezgisel, 3. sınıftan itibaren yazılı işlem a b bölen bölünen c bölüm Geriye sayma işlemi  çıkarma işlemine dayalı Bir sayının içinde bir başka sayı kaç kere bulunuyor? Amaç: Paylaştırma: 10 kalemi 5 çocuğa paylaştıralım. Her bir çocuğa kaç kalem düşer? Gruplama: 10 kalemi çocuklara 5’er dağıtalım. Kaç çocuk kalem alabilir? Temel: geriye ritmik sayma, çıkarma, çarpma Nesnelerin bütün olarak verildiği ve eşit sayıda dağıtılabileceği durumları içeren problemler Göstergeler…? Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Bölme İşlemi Gösterimleri Parmaklar Şekil ve materyaller 42 kalemi 3 kişiye dağıtalım. Önce onluklar mı, birlikler mi dağıtılıyor? Gruplanmış sayılar: 26 : 2 = ? 2 onluk + 6 birlik 2 birlik - 2 onluk 1 onluk + 3 birlik 0 - 6 birlik Basamak tablosu Kısa bölme Y O B 8 4 5 7 - 6 1 4 5 7 8 - 6 1 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Basitten zora… Bölüm = ? 9 : 3 = ? Bölünen / bölen = ? 12 :  = 4 Kalansız bölme: 25 : 5 = 5 Kalanlı bölme: 25 : 4 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Basamaklar abcd : efg abc : de ab : c Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

İşlem Özellikleri Küçük problemler oluşturarak veya sayısal örnekler vererek, genelleme yoluyla öğretim yapılabilir. Olmayan özelliklere ters örnek verilir Değişme: 8 : 4 = 4 : 8 ? Birleşme: (8 : 4) : 2 = 8 : (4 : 2) ? Dağılma: 8 : (4 + 2) ? (4 + 2) : 8 ? 1’in etkisi: a : 1 = a a : a = 1 (a N+) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

İşlem Özellikleri 0’ın etkisi (a N+) Bir problem üzerinden öğretim: 6’lık bir çikolata kutusu var… Çikolataları 3 kişiye paylaştıralım. Her bir kişiye kaç çikolata düşer ? Fakat kutunun boş olduğu fark ediliyor. 0 : 3 = 0 Kimseye çikolata düşmez. 0 : a = 0 Kutu boş ise ve paylaştıracak kimse yoksa, her kişiye kaç çikolata düştüğünü sorabilir miyiz? Bölme işlemi yapılamaz (0 : 0 belirsiz) 6 çikolata var fakat çikolataları kimseye paylaştırmayalım. Her bir kişiye kaç çikolata düşeceğini sorabilir miyiz? Bölme işlemi yapılamaz (a : 0 tanımsız) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Zorluklar/Dikkat Edilmesi Gerekenler Bölüme sıfır atama 336 : 3 = ? 315 : 3 = ? 306 : 3 = ? 360 : 3 = ? Modeller ve Basamak tablosu yardımı ile Bölümün tahmini (çarpma işlemine dayalı): Yuvarlak hesap yöntemi (büyük sayılarla işlem) Kalanlı bölme Kalan daima bölenden küçük Bölmenin yürütülmesi: 0 ilave etme  virgül atma Bölmenin Sağlaması a = b x c + kalan Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Bölümün Basamak Sayısının Bulunması 5804 : 22 işleminde bölüm kaç basamaklıdır? Bölüm yerine sırasıyla en küçük 2 basamaklı (10), 3 basamaklı (100), 4 basamaklı (1000) konularak araştırılır: 22 x 10 = 220 < 5804 (bölünen) 22 x 100 = 2200 < 5804 22 x 1000 = 22000 > 5804  Bölüm 3 basamaklıdır. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu

Teknikler Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğine dayalı: 2146 : 17 = ? 2146 17 -1700 100 446 -340 20 106 -102 6 4 + 126 Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu