Yeşilköy Anadolu Lisesi

TANıM (KONUYA GIRIŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

ÇÖZÜM KÜMESININ BULUNMA YÖNTEMLERI: 1) Ortak Çarpan Parantezine Alma: Terimlerin her birinde ortak olan ifadelerin alınıp ifadeyi çarpan durumuna getirmektir. örnek: ax + bx + cx = x (a + b +c) örnek: 3 (a-b). c – 6 (a-b). d = 3 (a-b). (c-2d)

2) Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma: Terimler çarpanlara ayrılırken grup, grup alınarak çarpanlarına ayrılır. örnek: ax – by + aj/ – bx = a (x +y) -b (x+y) = (a – b). (x + y) (gruplandırmada ortak çarpana getirildiğine dikkat ediniz.) örnek: a2 + ab + bc + ac = a (a + b) + c (a + b) =(a + c). (a + b) örnek: 2ax – 4ay – x + 2y = 2a (x – 2y) – (x – 2y) = (x-2y).(2a-1) 3) İki Kare Farkı: İki terimden oluşmalı, terimler arasındaki işaret (-) ve terimlerin karekökleri olmalıdır. örnek: 81 x2 – 16 = (9x – 4). (9x + 4) örnek: 1 – 25a2 = (1 – 5a). (1 + 5a)

4) İki Küp Toplam ve Farkı: örnek: a 3 + b 3 = (a + b). (a 2 – ab + b 2 ) örnek: 1-27x 3 = 1 3 – (3x) 3 = (1-3x). (1 + 3x + 9x 2 ) 5) Tamkareli İfadeler: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b). (a + b) örnek: x \ = (x + i) 2 = (x +1). (x + 1)

6) Ax2 + Bx + c Şeklindeki Üç Terimli İfadeler: Birinci ve üçüncü terimlerin çarpanları alt alta yazılarak çapraz çarpıldığından sonra toplanır. Toplamın sonucu orta terimi veriyorsa karşılıklı olarak terimler alınıp çarpım durumunda yazılır. örnek: x2 – x – 2 = (x – 2). (x + 1)

DISKIRIMINANTı KULLANıLARAK ÇÖZÜM KÜMESI BULMA YÖNTEMLERI: ax 2 + bx + c = 0 denkleminin sol tarafı kolayca çarpanlara ayrılamayabilir. Bu durumda, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözümü için genel bir yaklaşıma ihtiyaç vardır. ax 2 + bx + c = 0 denkleminde,  = b 2 – 4ac ifadesine, denklemin Diskiriminantı denir.

1) D > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler,

3) D < 0 ISE DENKLEMIN REEL KÖKÜ YOKTUR. BU DURUMDA DENKLEMIN KARMAŞıK IKI FARKLı KÖKÜ VARDıR. 2)  = 0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır. Bu kökler,

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMASI Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemlerin Çözümü Verilen denklemde benzer ifadeler yeniden adlandırılarak denklem basitleştirilir. Örneğin x 4 – 10x = 0 denkleminde x 2 = t, 2 2x – 6  2 x + 8 = 0 denkleminde 2 x = u, gibi Köklü Denklemlerin Çözümü Bir denklemde bilinmeyen, kök içinde bulunuyorsa bu denkleme köklü denklem denir. Denklemde köklü terim bir tane ise, köklü terim eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır. Sonra kökün derecesine göre kuvvet alınır. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür. Bulunan köklerden köklü terimi tanımsız yapmayanlar alınır.

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax 2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 ise,

2. DERECEDEN EŞITSIZLIKLER KıSACA KONU ANLATıMı ax 2 +bx+c>0 (ya da büyük eşit sıfır) ax 2 +bx+c<0 (ya da küçük eşit sıfır) şeklinde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsizlikler deniyordur. Bu tür denklemlerin çözümünde ax 2 +bx+c ifadesinin işaretinin incelenmesi,x in hangi değerler için negatif hangi değerleri için pozitif olduğunu belirlemek gerekiyordur. Bu çözümleme a nın işareti ile ax 2 +bx+c=0 denkleminin köklerine bağlıdır. ax 2 +bx+c üç terimlisinin işaret incelemesi:ax 2 +bx+c ifadesinin işaret tablosu Δ=b 2 -4ac nın durumuna göre incelenir. Var olan kökler tabloda küçükten büyüğe sıralanarak yazılır. Oluşturulan aralıkların işaretleri belirlendikten sonra eşitsizliğin yönüne göre istenilen aralık taranarak çözüm kümesi belirlenir.

Δ>0 ise; ax 2 +bx+c denkleminin x 1 ve x 2 gibi iki farklı gerçel kökü olsun. Δ=0 ise; ax 2 +bx+c denkleminin x 1 =x 2 çakışık iki kökü vardır.

Δ<0 ISE; AX 2 +BX+C DENKLEMININ REEL KÖKÜ YOKTUR.

ÇARPıM VE BÖLÜM DURUMUNDAKI EŞITSIZLIKLER f(x)= P(x).Q(x) / H(x) biçimindeki bir eşitsizliğin işareti incelenirken H(x)≠0 olmak üzere P(x), Q(x) ve H(x) polinomlarının kökleri ayrı ayrı bulunup tek bir tabloya yerleştirilir. Tabloda işareti belirlemek için yapılması gereken şöyledir: Önce bütün polinomların baş katsayılarının işaretine göre genel işaret belirlenir. Tablo oluşturulup daha önceden bulduğumuz bütün kökler küçükten büyüğe tabloya yerleştirilir. En son olarak tablonun sağından genel işaret ile işaretlemeye başlanır. Her kökte işaret değiştirilip sola doğru ilerlenir. * Çift katlı köklerde ve mutlak değerin kökünde işaret değiştirmeden devam edilir

2. DERECEDEN DENKLEMLERLE ILGILI KARıŞıK SORULAR