Türev Tanım:f:[a,b] R bir fonksiyon ve x0Є(a,b) olsun. Lim limitine (varsa) f fonksiyonunun x0 noktasına türevi denir ve f’(x0) ile gösterilir.Bu limitin olması için: Lim x x-0 x x+0 Olması gerekir.bu eşitliğin solundaki limite f fonksiyonunun x=x0 daki soldan türevi, aşağıdaki limite ise f fonksiyonunun sağdan türevi denir.

Türev en basit şekliyle bir eğrinin eğimi olarak anlatılabilir. Polinom - yani tamsayılardan oluşan denklemlerin türevlerinin bulunması çok kolaydır. Peki neden derslerde tahtalar dolusu işlemler yapılıyor, bunu açıklayalım. Türev çok basit bir işlem olmasına rağmen, derslerde tam da türevin karmaşık olduğu noktalar işlenir - fonksiyonun tanımsız olduğu noktada türevinin incelenmesi gibi. Tahtalar dolusu yapılan işlemler ise değişik türlerdeki fonksiyonların türevlerinin bulunmasıdır. Fonksiyon çeşitleri o kadar fazladır ki bunların türevlerini bulmak da çok zor olacaktır.

Not:f`(x+0)ile f`(x-0)varsa ve f`(x+0)=f`(x-0) ise f`(x0) vardır ve f`(x0)=f`(x+0)=f`(x-0)dir. Örnek:f(x)=x2+x fonksiyonunu x=2 noktasındaki türevini bulunuz? Çözüm: F`(2)=lim f(x)-f(2):x-2=lim x2+x-6:x-2 İse lim (x+3)=5 olur

Örnek: f(x)=(x-3).Ix-3I ise f fonksiyonunun x=3 noktasındaki türevini bulunuz? Çözüm: f(3)=lim f(x)-f(3):x-3=lim Ix-3I=0 olur x 3

Türevin Geometrik Anlamı: f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0] bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir. f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0] bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir ayrica f(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h] seklinde alternatif tanimi da bulunur

Teğet değme noktasında dik olan doğruyanormal denir. mteğet Teğet değme noktasında dik olan doğruyanormal denir.mteğet.mnormal=-1 dir.

Örnek:f(x)=x2 eğrisinin x=1 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. Çözüm: mt= f‘(1)=lim f(x)-f(1):x-1 =lim x2-1:x-1=lim (x-1).(x+1):x-1 =lim (x+1)=2 olur. Örnek:f:R R f(x)=Ix-2I fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulunuz. Çözüm: f‘(2+)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1 f‘(2-)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1 f‘(2+) eşit değildir f‘(2-) olduğundan x=2 noktasında fonksiyon sürekli halde türevi yoktur.bu noktaya kırılma noktası denir.

İşaret fonksiyonun türevi: y=sgnf(x)fonksiyonun türevi varsa sıfırdır. Örnek:f(x)=sgn(x-5) fonksiyonunun x=5,x=-8 için türevini bulunuz. Çözüm: x=5 için f fonksiyonu süreksiz olduğundan f‘(5) yoktur. 5>x ise x-5<0 ve f(x =sgn(x-5)=-1 dir Buradan f‘(x)=0ve f‘(-8)=0 olur.

Türev alma kuralları:Fonksiyonların türevlerini türev tanımına göre bulmanın uzun işlemler olduğun gördük.türevleri daha kolay bulmak için : 1.Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.cЄR ise (c)`=0 dır. 2.n Є R için (axn)`=naxn-1 3.toplamın türevi: [f(x)+g(x)-h(x)]` = f‘(x)+ g‘(x)- h`(x) bir toplamın türevi,terimlerin türevleri toplamına eşittir. 4.Çarpımın türevi: [f(x).g(x)] `=f`(x).g(x)+g`(x).f`(x)

[f n(x)]`=n.f n-1 (x).f`(x) 6.Bölümün türevi: [f(x):g(x)]`=f`(x).g(x)-g`(x).f(x):g2(x) ( ) `=1:2 8. ` =u`(x):2

Örnek: f(x)=x.g(x),g(2)=4 ve g’(2)=3 olduğuna göre f’(2)=? Çözüm: F(x)=x.g(x) ise f’(x)=1.g(x)+g’(x).x ve f’(2)=g(2)+g’(2).2=4+6=10 dur. Uyarı: f fonksiyonu x=-1 de süreksiz olduğundan türevi yoktur.Bu nedenle f’ fonksiyonu x=-1 de tanımsızdır.

Mutlak değer fonksiyonunun türevi:y=|g(x)| fonksiyonunu parçalı biçimde yazdıktan sonra her dalın ayrı ayrı türevi alınır.g(x)=O için türev ayrıca araştırılır. y=|g(x)|={g(x),g(x)0 –g(x),g(x)0 y’={g’(x),g(x)>0 ise -g’(x),g(x)<0 ise

Örnek: f:R R , f(x)=|5-x|+2 olduğuna göre f(2)+f’(7)’nin değeri nedir? Çözüm: x>5 için 5-x<0 ise |5-x|=-5+x ve f(x)=-5+x+2=x-3 dir.Buradan f’(x)=1 ve f’(7)=1 bulunur. Diğer taraftan f(2)=|5-2|+2=5 ve f(2)+f’(7)= 5+1=6 olur. Uyarı:x=a için türevsiz olan bir fonksiyonu başka bir fonksiyonla çarpımı türevli olabilir.

Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuramı):) y=f( u) u=g(x) ise y=f[g(x)]=(fog)(x) dir. dy:dx=dy:du.du:dx=f’(u).g’(u) Yani (fog)’(x)=f’[g(x)].g’(x)’dir. Eğer, y=f(u),u=g(t),t=h(x) olsaydı; dy:dx=dy:du.du:dt.dt:dx olurdu.

Örnek:f( x)=g(x3+2),g’(10)=6 ise f’(2) değerini bulunuz. Çözüm: f’(x)=g’(x3+2).(x3+2)’ f’(x)=g’(x3+2).3x2 olur.Burada x=2 yazalım. f’(2)=g’(10).12=6.12=72 bulunur.

Ters fonksiyonun türevi:AR,BR ve f:A B fonksiyonu birebir örten olsun.f fonksiyonu x0A noktasında türevli ve f’(x0)0 ise f-1:B A fonksiyonu da x0ın f altında olan y0noktasında türevlidir ve (f-1)’(y0)=1/f’(x0)dır.

Örnek:f:[2,+) [3,+),f(x)=x2-4x+7 olduğuna göre f-1fonksiyonunun y1=4 noktasındaki türevini bulunuz. Çözüm: f,bire bir ve örten olduğundan tersi bir fonksiyondur.Bu ters fonksiyonu bulmadan da türevini bulabiliriz.Görüntüsü 4 olan elemanı bulmak için,

y= f (u) U = u(x) olmak üzere F(x) = sin u  f ’ (x) = cos u F(x) = cos u  f ’ (x) = -sin u F(x) = tan u  f ’ (x) =(1+tan2u).u ‘ =u ‘ / cos2u = u’ sec2u F(x)=cotan u  f ’(x) = - (1+cotan2u).u=-u’ / sin2u = u’ cosec2u ÖRNEK: y=sinx  y’ = cosx.1 y=sin(x2+x)  y’ = cos(x2+x).(2x+1) y=sin(sin x)=  y’ = cos(sin2x).cos x

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ F(x)=y=arcsinx fonksiyonu f:[-1,1]  [-/2 , /2], ve arcsinx dir. (f(x) ark sinx diye okunur ve sinüsü x olan yayın ölçüsü y’dir denir. f(x) =arcsinx  x=siny dir. f(x) =arcsinx  f ‘ (x)=1/ 1-x2 dir. 2. F(x) =arccosx fonksiyonu f(x)=arccosx  x =cosy f(x) =arccosx  f ‘ (x)=-1/ 1-x2 dir. 3.f(x)=arctanx fonksiyonu f(x) =arctanx  x=tany dir.

f(x) =arc tanx  f ‘ (x)=1/ 1+x2 dir. 4. 3.f(x)=arccotanx fonksiyonu f(x) =arccotanx  x=cotany dir. f(x) =arc cotanx  f ‘ (x)=-1/ 1+x2 dir. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ  1. (ln x)’ = 1/x, (ln f(x))’ = f ’(x) / f(x)   2. 2. (logax)’ = (1/In a).(1/x), (log a f(x))’ = (1/In a) . [f’(x)/f(x)] ÖRNEK: y = ln (x2+5) olduğuna göre, dy/dx türevini hesaplayınız. ÇÖZÜM:  dy/dx (ln (x2+5))’ = (x2+5) / (x2+5) = 2x / (x2+5)

ÖRNEK: f(x) = log10(x2+1) olduğuna göre f ’(x) türevini hesaplayınız.  ÇÖZÜM:  f ’(x) = (log10(x2+1))’ = (1 /In 10) [(x2+1)’ /(x2+1)] = log10 e 2x / x2+1 ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ 1. (ex)’ = ex, (e f(x) )’ = e f(x) .(f(x))’  2. (ax)’ = ax . ln a , (a f(x) )’ = a f(x) . f ’(x) . ln a  f(x) = e tan x olduğuna göre f ’() değerini hesaplayınız.

ÇÖZÜM: f ’(x) = (e tan x )’ = (tan x)’ . e tan x = (1+tan2x) . e tan x olduğundan  f ’() = (1+tan2) . e tan  = (1+02) . e0 = 1.1 = 1’dir ÖRNEK: a)(3 x)’, (32x+1 )’ türevlerini hesaplayınız.  a)      (3x)’ = 3x . ln3 b)      (32x+1 )’ = (2x+1)’ . 32x+1 . ln 3 = 2 . 32x+1 .ln3

YÜKSEK SIRADAN TÜREVLER (ARDIŞIK TÜREVLER) f : A  R , xy = f(x) fonksiyonunun 1. türevi, y’ = f ’(x) 2. türevi, y” = (f ’(x))’ = f ”(x) 3. türevi, y’” = (f ”(x))’ = f ’”(x) 4. türevi, y(4) = (f ’”(x))’ = f (4) (x) ........................................................... n. türevi, y(n) = (f ( n-1) (x))’ = f ( n) (x) ÖRNEK: f(x) = 2x3 – x2 + 5x – 8 olduğuna göre f ”(x) türevini hesaplayınız

ÇÖZÜM: f ’(x) = (2x3 – x2 + 5x – 8)’ = 6x2 – 2x + 5 f ”(x) = (6x2 – 2x + 5)’ = 12x –2 KAPALI OLARAK TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ f(x,y) = 0 kapalı ifadesinden y = g(x) denklemi ile bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa, bu şekilde tanımlanan fonksiyona, kapalı olarak tanımlı fonksiyon denir. f(x,y) = 0 eşitliğinden dy/dx türevi hesaplanırken x değişken, y de x’in görüntüsü olarak düşünülür. Her terimin x değişkenine göre türevi hesaplanarak yx’= dy/dx bulunur.

ÖRNEK: x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesi veriliyor. y’= dy/dx türevini hesaplayınız. ÇÖZÜM: x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesinin her teriminin x’e göre türevi hesaplanarak, (3x2y2 + x3 .2y.y’) – (y3 + x.3y2y’) – 5 + y’ +0 = 0 y’ = (-3x2y2 + y3 + 5) / (2x3 y – 3xy2 +1) bulunur. PARAMETRELİ İFADELERİN TÜREVİ x = f(t) ve y = g(t) ile verilen f ve g fonksiyonlarının ortak değişkeni (parametre) t olduğuna göre, dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) dir.

Bu türev ifadesi y’x = y’t / x’t biçiminde de yazılır. TÜREVİN LİMİT HESABINA UYGULANMASI (L’HOSPİTAL KURALI) limx X0 f(x)/g(x) limitinde 0/0 ya da /  belirsizliği varsa, genellikle limx X0 f ’(x)/g(x) dir. (L’Hospital Kuralı) ÖRNEK: limx2 (x2 + x – 6) / (x5 – 32) limitini hesaplayınız. ÇÖZÜM:  0/0 belirsizliği var.  limx2 (x2 + x – 6)’ / (x5 – 32)’ = limx2 (2x + 1) / 5x4 = (2 . 2 + 1) / (5 . 24) = 1/16

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI x0 noktasındaki türevi f fonksiyonunun A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetinin eğimi m= tan  = f ’(x0) dır. A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetin denklemi: y-f(x0)=f ’(x0).(x-x0) olur. Teğete A=(x0,f(x0)) değme noktasında dik olan doğruya f fonksiyonunun A noktasındaki normali denir. Buna göre A=(x0,f(x0)) noktasındaki normalin eğimi –1/ f ’(x0) ve normalin denklemi y-f(x0) = [-1 / f ’(x0)] (x-x0) olur.

ÖRNEK: f(x) = -x2+x+6 ile tanımlı f fonksiyonunun apsisi x0=2 olan teğetinin ve normalinin denklemini yazınız. ÇÖZÜM: f fonksiyonunun grafiğine ait ve apsisi x0=2 olan noktanın ordinatı, y0 = f(x0) = f(2) = -(2)2+2+6 = 4’tür. Öyleyse teğetin değme noktası (2,4)= noktasıdır. f ’(x) =-2x + 1 olduğundan teğetin eğimi; m = f ’(x0) = f ’(2) = -2.2+1 = -3’tür. Bir noktası ve eğimi bilinen teğetin denklemi, y- f(x0) = f ’(x0).(x-x0)  y – 4 = -3(x – 2)  y = -3x + 10 olur. Normalin eğimi –1/f ’(x0) = 1/-3 = 1/3 olduğundan, normalin denklemi; y – 4 = 1/3 (x – 2)  1/3 x + 10 /3 olur.

ARTAN YADA AZALAN FONKSİYONLAR TANIM: A  B olmak üzere f : AR fonksiyonunda 1)       x1, x2  [a,b] için x1 < x2  f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu [a,b] aralığında artan fonksiyondur.  2)       x1, x2  [b,c] için x1 < x2  f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu [b,c] aralığında azalan fonksiyondur.  3)       x  [c,d] için f(x) = k (sabit) ise f fonksiyonu [c,d] aralığında sabit fonksiyondur.  TEOREM: f fonksiyonu (a,b) , (b,c) , (c,d) arlıklarında türevli olduğuna göre,

1.  x  (a,b) için f ’(x) > 0  f , (a,b) aralığında artan 2.  x  (b,c) için f ’(x) < 0  f , (b,c) aralığında azalan 3.  x  (c,d) için f ’(x) = 0  f , (c,d) aralığında sabit ÖRNEK: f(x) = -x3 + 12x ile tanımlı f : R  R fonksiyonunun artan yada azalan olduğu aralıkları belirtiniz. ÇÖZÜM: f ’(x) = -3x2 + 12 olduğundan f ’(x) = 0  -3x2 + 12 = 0 x = -2 V x = 2 x -  -2 2 + f ’ - + - f azalan artan azalan

f ’ türev fonksiyonunun işaret durumu yukarıdaki tabloda gösterilmiştir. (- , -2) aralığında f ’ < 0 olduğundan, f fonksiyonu azalandır. (-2 , 2) aralığında f ’ > 0 olduğundan f fonksiyonu artandır. (2 , +) aralığında f ’ < 0 olduğundan f fonksiyonu azalandır. TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI TANIM: f : [a,b]  R fonksiyonunda, 1)      x1  (a,b) ; f(x1) < f(x) olacak biçimde en az bir  pozitif gerçel sayısı varsa, (x1, f(x1)) noktası f fonksiyonunun bir yerel minimum noktasıdır. f(x1) değeri,

f fonksiyonunun bir yerel minimum değeridir. 2)      x2  (a,b) ; f(x2) > f(x) olacak biçimde en az bir  pozitif gerçel sayısı varsa, (x2, f(x2)) noktası f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır. f(x2) değeri, f fonksiyonunun bir yerel maksimum değeridir. Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarına, yerel ekstremum noktaları denir. TEOREM: f fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve x0  (a,b) olmak üzere x0 noktasında bir yerel ekstremum değeri varsa f ’(x0) = 0’dır.

BİRİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ 1. aA ve f ’(a) = 0 olmak üzere:  x  (a-,a) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (a-,a) aralığında artandır.  x  (a,a+) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (a,a+) aralığında azalandır. a noktasında fonksiyonun yerel maksimumu vardır. 2. bA ve f ’(b) = 0 olmak üzere:  x  (b-,b) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (b-,b) aralığında azalandır.  x  (b,b+) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (b,b+) aralığında artandır.

b noktasında fonksiyonun yerel minimumu vardır. ÖRNEK: f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f: RR fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerini bulunuz.  ÇÖZÜM: f ’(x) = (x3 + 3x2 –1)’ = 3x2 + 6x f ’(x) = 0  3x2 + 6x = 0  x = -2 V x = 0 buna göre f ’(-2) = 0 ve f ’(0) = 0 dır. f ’(x) = 3x2 + 6x birinci türev ifadesinin işareti aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

x = -2 için fonksiyon yerel maksimum değerini alır. f ’(x)=3x2 + 6 + - + artan azalan artan f ’(-2)=3 f(0)= -1 f fonksiyonu (- , -2) aralığında artan, (-2 , 0) aralığında azalan, (0,+) aralığında artandır. x = -2 için fonksiyon yerel maksimum değerini alır. Yerel maksimum değeri f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 – 1 = 3’tür. x = 0 için fonksiyon yerel minimum değerini alır. Yerel minimum değeri f(0) = 03+3.02 – 1 = -1’dir. İKİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ f: AR fonksiyonu A kümesinde 1. ve 2. sıradan türevi olan bir fonksiyon olsun. a, bA olmak üzere:

1. f ’(a) = 0 ve f ”(a) < 0 ise a noktasında f fonksiyonunun yerel maksimumu vardır. 2. f ’(b) = 0 ve f ”(b) > 0 ise b noktasında f fonksiyonunun yerel minimumu vardır. Örneğin, yukarıdaki örnekteki f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f fonksiyonunda: f ’(x) = 3x2 + 6x f ”(x) = 6x + 6 f ’(x) = 3x2 + 6x = 0  x = -2 V x = 0’dır. f ’(-2) = 0 ve f ”(-2) = 6.(-2) + 6 < 0 olduğundan, x = -2 noktasında fonksiyonun yerel maksimumu; f ’(0) = 0 ve f ”(0) = 6.0 + 6 = 6 < 0 olduğundan x = 0 noktasında fonksiyonun yerel minimumu olduğuna dikkat ediniz.

ÖRNEK: f(x) = (x2 – mx – 3) / (x+2) ile tanımlı f fonksiyonunun x = 1 için yerel minimumu olduğuna göre, m’nin değeri nedir? ÇÖZÜM: x = -1 için f fonksiyonunun yerel minimumu olduğuna göre f ’(-1) = 0 olmalıdır. f ’(x) = [(2x-m)(x+2)-1 . (x2-mx-3)] / (x+2)2 olduğundan f ’(1) = [(2.1-m)(1+2) - (1-m.1-3)] / (1+2)2 = 0  (2-m) . 3 – (-m – 2) = 0  m = 4 olur.

FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİNİN İNCELENMESİ VE GRAFİKLERİN ÇİZİMİ GRAFİK ÇİZİMİNDE YAPILACAK İŞLEMLER: Eğer fonksiyonun tanım kümesi belirtilmemişse, fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme belirtilir. Fonksiyonun türevi hesaplanır. Türevin işaretine göre, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar ve ekstremum noktaları belirtilir. x - ve x + için fonksiyonun limiti bulunur. Grafiğin X ve Y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. Asimptotlar (varsa) bulunur. Değişim tablosu düzenlenir.

7. Değişim tablosunda özetlenen bilgiler, koordinat sisteminde değerlendirilerek fonksiyonun grafiği çizilir. ÖRNEK: y = f(x) = [3x – 1] / [x + 2 ] ile tanımlı f: AR fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM: Tanım kümesi ve düşey asimptot: x + 2 = 0  x = -2 olduğundan, fonksiyon x = -2 için tanımsızdır. Tanım kümesi A=R – {-2} dir. x = -2 doğrusu düşey asimptottur. Türev: f ’(x) = [3.(x+2) – 1.(3x-1)] / (x + 2)2 = 7 / (x+2)2 > 0 ’ dır.

ÖRNEKLER x, x<2 ise f(x) = 2, x=2 ise x0=2 4-x, x>2 ise varsa x0 noktasındaki türevini bulunuz. Bu noktada f(x) sürekli midir? olur. olur. olduğundan türevlenemez. Şimdi ise sürekliliğini araştıralım x=2 noktasındaki limitine bakalım olduğundan fonksiyon x0=2 noktasında süreklidir.

x0=2 noktasındaki türevine bakalım. SORU 2: f(x)= |x| varsa x0 noktalarındaki türevlerini bulunuz. Bu noktalarda f(x) sürekli midir. x0=2 , x0=2 noktasındaki türevine bakalım. şimdi bu limitin varlığını araştıralım 0 ve -1 olduğundan x0=2 noktasında türevlenemez. Şimdi ise x0= noktasındaki türevine bakalım. olur x0=2 noktasındaki sürekliliğini araştıralım olduğundan sürekli değildir. x0= 3 / 2 noktasındaki

Sürekliliği = ve f(3/2)=[|3/2|] = 1 olduğundan x0=3/2 noktasında süreklidir. SORU 3: x= y+ arccoty y türevini bulunuz? ÇÖZÜM: 1-y=y’/1+y2 1-y+y2-y2y=-y y’ = -(1+y2) / y2 y=1+y-2 SORU 4: exy-x2+y3=0 eşitliğinden y türevinin x=0 değerini bulunuz? ÇÖZÜM : exy-x2+y3=0 eşitliğinden y3=x2+exy f(x)=y diyelim y=f(x) olur. x=0 y=-1

f(0)=-1 3y2.y=2x-(exy) (exy) = y.exy 3y2.y=2x-y.exy y= (2x-yxy) / 3y2 x=0 y=-1 için y= 0 + 1.e0(-1) y= 1 / 3 SORU 5: