İNTEGRAL

İntegral Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları İntegral Alma Metotları İntegralde Trigonometrik Dönüşümler Belirli İntegral Belirli İntegralin Uygulamaları

BELİRSİZ İNTEGRAL Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri İntegral Alma Kuralları

slayt1 Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir. Örnek: F(x) = x2  F’(x) = 2x  F’(x).dx=2x.dx F’(x).dx = 2x.dx  F(x)=x2 + C  2x.dx = x2 + C dır.

Belirsiz İntegralin Özellikleri slayt2 Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri 1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. 2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. 3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir.

İntegral Alma Kuralları slayt3 Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları

Belirsiz İntegral Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım. slayt4 Belirsiz İntegral Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım. Örnek2: [(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım. Çözüm1: Çözüm2:

İNTEGRAL ALMA METOTLARI Yerine Koyma Metodu

İNTEGRAL ALMA METOTLARI slayt1 İNTEGRAL ALMA METOTLARI İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür. 1-) Örnek:  cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım. du=-sinx.dx  sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

İNTEGRAL ALMA METOTLARI slayt2 İNTEGRAL ALMA METOTLARI 2-) Örnek:  (3x-1)7 integralini hesaplayalım. Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u)  3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

İNTEGRAL ALMA METOTLARI slayt3 İNTEGRAL ALMA METOTLARI 3-) Örnek:  tanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx.dx=  (sinx/cosx).dx yazalım: cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u)  -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım:

İNTEGRAL ALMA METOTLARI slayt4 İNTEGRAL ALMA METOTLARI Örnek: Çözüm:

İNTEGRAL ALMA METOTLARI slayt5 İNTEGRAL ALMA METOTLARI 4-) Örnek:  (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:

İNTEGRAL ALMA METOTLARI slayt6 İNTEGRAL ALMA METOTLARI

İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (a>0) İntegrandında Varsa (|x/a|>0) İntegrandında Varsa (a>0)

İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER Örnek: integralini hesaplayınız. slayt1 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (a>0) Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm: x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint  dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER Örnek: slayt2 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (|x/a|>0) Örnek: integralini x>4 için hesaplayınız. Çözüm: x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER Örnek: integralini hesaplayınız. slayt3 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER İntegrandında Varsa (a>0) Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm: x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant  dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de yerine yazılırsa;

KISMI İNTEGRASYON METODU

KISMI İNTEGRASYON METODU slayt1 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek1: x.cosx.dx integralini hesaplayalım Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur.

KISMI İNTEGRASYON METODU slayt2 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek2: x2.lnx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm2:

KISMI İNTEGRASYON METODU slayt3 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek3: arctanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm3:

BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA

BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA slayt1 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA slayt2 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Paydada <0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral, (du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır. Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse (P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere,

BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA slayt3 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA slayt4 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA slayt1 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: sin2x.cos3x.dx= sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1-sin2x olduğundan, sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur. sinx = u  cosx.dx = du dur.

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA slayt2 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: sin3x.cos5x.dx=cos5x.sin2x.sinx.dx=cos5x.(1-cos2x).sinx.dx olur. cosx = u  sinx.dx = -du dur.

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA slayt3 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA slayt4 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm:

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA slayt5 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller 1+u2 u 1 x 2 Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla, Örnek: Çözüm:

BELİRLİ İNTEGRAL

slayt1 Belirli İntegral Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere: lim||P||0A(f,P)=lim||P||0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu, Belirli İntegral

slayt2 Belirli İntegral Teorem1: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F:[a,b]  R fonksiyonu, ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve (a,b) için F’(x)=f(x) tir. Örnek1: Çözüm1:

Belirli İntegral Örnek2: slayt3 Belirli İntegral Örnek2: Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? Çözüm2:

slayt4 Belirli İntegral Teorem2: f:[a,b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f(x).dx=F(x)+C , C  R olacak biçimde f:[a,b]  R ye F(x) fonksiyonu varsa, dır. Örnek: Çözüm:

Belirli İntegralin Özellikleri slayt5 Belirli İntegral Tanım: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilirse, Belirli İntegralin Özellikleri 1-) 2-) biçiminde tanımlanır.