Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

3. Hafta 1 / 34 Sayısal Analiz. Ders İ çeri ğ i  Sayısal İ ntegral  Riemann İ ntegrali  Yamuk(Trapez)Kuralı ile İ ntegrasyon  Simpson Kuralı ile İ.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "3. Hafta 1 / 34 Sayısal Analiz. Ders İ çeri ğ i  Sayısal İ ntegral  Riemann İ ntegrali  Yamuk(Trapez)Kuralı ile İ ntegrasyon  Simpson Kuralı ile İ."— Sunum transkripti:

1 3. Hafta 1 / 34 Sayısal Analiz

2 Ders İ çeri ğ i  Sayısal İ ntegral  Riemann İ ntegrali  Yamuk(Trapez)Kuralı ile İ ntegrasyon  Simpson Kuralı ile İ ntegrasyon  Uygulama 3. Hafta 2 Sayısal Analiz

3 3 İ NTEGRAL T ANıMı Yüksek matematikte diferansiyelin ters işlemi; integraldir Birleştirme, bir araya getirme, toplama(sum) f(xi)dx ……… … f(x) f(xi)dx Sum [ f(x)dx dilimleri S

4 4 M ÜHENDISLIKTE INTEGRAL : ( FONKSIYONUN - EĞRININ ALTıNDA KALAN ALAN )

5 Burada y ve f(x) bağımlı değişkenin alternatif gösterimleri olup, x bağımsız değişkendir. Yani  x‘in sıfıra yaklaşması sağlanırsa, aradaki fark türevin ifadesidir. hesap yapılan noktasında y ‘nin x ’e göre birinci türevidir. Dolayısıyla türev, eğrinin x i noktasındaki teğetin eğimidir., (a)’dan (c)’ye kadar sıfıra doğru giderken, fark yaklaştırması türevi olarak tanımlamaktadır.Hatırlatma Sayısal İ ntegral 3. Hafta 5

6 x= a ’dan b ’ye kadar f(x) ‘in integralinin grafik gösterimi. İntegral eğrinin altında kalan alana eşittir “İntegral eğrinin altında kalan alana eşittir.” Yüksek matematikte diferansiyelin ters işlemi, integraldir. Sözlük anlamına göre integral almak “parçaları bir bütün içinde bir araya getirmek ; birleştirmek toplam miktarı göstermek …” anlamındadır. Matematiksel olarak integral formülüyle gösterilebilir ve x bağımsız değişkenine göre f(x) fonksiyonunun x=a ile x=b sınırları arasında hesaplanmış integralini belirtir.Hatırlatma Sayısal İ ntegral 3. Hafta 6

7 Sayısal İntegral Hesap Sayısal İntegral 3. Hafta 7

8 Sayısal İntegral Hesap Sayısal İntegral 3. Hafta 8

9 RIEMANN İntegrali Sayısal İntegral x0x0 xnxn y=f(x) x y Eğer limit varsa ve sonlu bir değere sahip ise I ile gösterdiğimiz bu değer f(x) fonksiyonunun x = x 0, x = x n aralığındaki RIEMANN anlamında İntegralidir denir. 3. Hafta 9

10 RIEMANN İntegrali Sayısal İntegral 3. Hafta 10 Analitik İfadesi : Analitik İfadesi : I = (5, ,219256)/2  4,686333

11 3. Hafta 11 Newton-Cotes integral formülleri Newton-Cotes integral formülleri en yaygın integral yöntemleridir. Bu formüller, karmaşık bir fonksiyonu veya tablo şeklinde düzenlenmiş verileri, integre edilmesi kolay bir yaklaşım fonksiyonuyla ifade etme esasına dayanır. aşağıdaki şekilde yazılabilen bir polinomdur; n polinomun derecesidir. ( a ) Şeklindeki yaklaşımda birinci dereceden bir polinom kullanılmıştır, ( b ) de ise aynı amaçla parabol kullanılmıştır.

12 3. Hafta 12 Newton-Cotes integral formülleri Aynı şekilde integrale yaklaştırma fonksiyona veya sabit uzunluktaki aralıklar boyunca verilere uygulanan parçalı polinomlar dizisi kullanılarak da yapılabilir. ( c ) şeklinde integrale yaklaştırma için üç tane düz doğru parçası kullanılmıştır. Yüksek dereceli polinomlarda aynı amaçlar için kullanılabilir.

13 3. Hafta 13 Şekildeki gibi y=f(x) eğrisinin altında belli aralıktaki bu alanı n=(x n -x 0 )/h dilime bölerek elde edilen her bir dilimdeki y=f(x) eğri parçasını bir doğru parçası olarak alırsak dilim yamuğa benzeyeceğinden ; Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral I. dilim alanı : I 1 =h(y 1 +y 0 )/2 II. dilim alanı : I 2 =h(y 2 +y 1 )/2 ve n. dilim için ise n. dilim alanı : I n =h(y n +y n-1 )/2 olur.

14 3. Hafta 14 Y=f(x) in altında x 0,x n aralığındaki alan n adet dilimin alanına eşit olduğundan ; elde edilir. Her dilimin alanı yamuk alanından küçükte olsa farklı olduğundan bulunan son ifade hata içeren bir ifadedir. Son ifade ile alınan integrale “Yamuk Kuralı” denir. Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral

15 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 15

16

17

18 3. Hafta 18

19 3. Hafta 19. Sayfa Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral Uygulama : İntegralini n=4 alarak trapez yöntemi ile bulunuz. Ödev : İntegralini trapez yöntemi hesaplayan programı yazınız.

20 3. Hafta 20

21 3. Hafta 21. Sayfa Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral

22 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 22

23 Yamuk kuralında x i ve x i+1 noktalarındaki fonksiyon f(x i ), f(x i+1 ) değerlerini kullanarak, [x i, f(x i )], [x i+1, f(x i+1 )] noktalarından geçen doğru parçasını y = f(x) eğrisinin yerine yerleştirmiş ve bu biçimde elde ettiğimiz [x i, x i+1, f(x i ), f(x i+1 )] yamuğunun alanını hesaplamış ve bunu [x i, x i+1 ] aralığında y = f(x) eğrisi altında kalan alana, yaklaşık, eşit kabul etmiştik. Varsayalım ki [x i, x i+1, x i+2 ] noktalarında y = f(x) ile aynı değerlere sahip olmasını istediğimiz parabolün denklemi: olarak verilmiştir. SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 23

24 y=f(x) y=  x 2 +  x+  x i =ax i+1 =(a+b)/2x i+2 =b SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 24

25 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 25

26 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 26

27 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 27

28 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 28

29 3. Hafta 29

30 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon Uygulamalar : Sayısal İntegral 3. Hafta 30 Bir,iki,dört aralık kullanarak yamuklar yöntemi ni uygulayınız, sonucu n=6 ile simpson yöntemi ile karşılaştırınız. simpson yön. İle çözümleyiniz

31 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta 31

32 Simpson yöntemi için matlab örneği ; Sayısal İntegral SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: 3. Hafta 32

33 Matlab : Sayısal İntegral 3. Hafta 33

34 Uygulama … Kaynaklar Sayısal Analiz S.Akpınar Mühendisler için Sayısal Yöntemler ( Steven C.Chapra&RaymontP.Canale ) 3. Hafta 34


"3. Hafta 1 / 34 Sayısal Analiz. Ders İ çeri ğ i  Sayısal İ ntegral  Riemann İ ntegrali  Yamuk(Trapez)Kuralı ile İ ntegrasyon  Simpson Kuralı ile İ." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları