Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi Kriterleri Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi Kriterleri Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya."— Sunum transkripti:

1 MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi Kriterleri Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

2 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Bir kontrol sisteminde geçici rejim (durum) cevabının değerlendirilmesi genellikle u s (t) birim basamak cevabından yararlanılarak yapılır. Şekilde doğrusal bir kontrol sisteminin örneksel bir birim basamak cevabı görülmektedir. Birim basamak cevabı ile ilişkili zaman tanım bölgesinin değerlendirildiği davranış kriterleri verilecektir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

3 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

4 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

5 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 1. En Büyük Aşım Genellikle kontrol sisteminin göreli kararlılığını değerlendirme ölçüsü olarak kullanılır ve sistemde bu aşımın büyük olması istenmez. Şekilde max. aşım birinci aşımdadır. Bazı sistemlerde sonraki tepe değerlerinde oluşabilir. Sistemin sağ yarı s- düzleminde tek sayıda sıfırı varsa negatif alt aşım görülebilir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

6 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 2. Gecikme Zamanı t d gecikme zamanı, basamak cevabının son değerinin yüzde 50 değerine erişme zamanı olarak tanımlanır. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

7 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 3. Yükselme Zamanı t r yükselme zamanı, basamak cevabının son değerinin %10 değerinden %90 değerine ulaşma zamanı olarak tanımlanır. Ayrıca son değerin %50 değerinde basamak cevabı teğetinin tersi olarak ifade edilebilir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

8 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 4. Yerleşme Zamanı t s yerleşme zamanı, basamak cevabının son değerinin belirli bir yüzdesine kadar azalması ve bu değerin altında kalması için geçen zaman olarak tanımlanır. %5 çok sık kullanılan değerdir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

9 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Birim basamak cevabına bağlı olarak verilen bu dört büyüklük, kontrol sisteminin doğrudan geçici durum davranışına ilişkin ölçüleri tanımlar. Basamak cevabı şekildeki gibi tanımlandığında bu zaman tanım bölgesi kriterleri göreli kolay ölçülür. Bu değerlerin, 3. mertebenin altındaki basit sistemler dışında analitik elde edilmeleri çok zordur. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

10 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Uygulamada gerçek ikinci mertebeden kontrol sistemlerine çok ender rastlansa da, bunların analizi, özellikle ikinci mertebeden yaklaşık ifade edilebilen yüksek mertebeden sistemlerin anlaşılmasına yardımcı olur, analiz ve tasarıma temel oluşturur. Birim geri beslemeli ikinci mertebeden kontrol sisteminin blok diyagramı Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

11 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI ζ ve ω n, gerçek sabitler olmak üzere sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Kapalı çevrim transfer fonksiyonu İkinci mertebeden örnek sistemin karakteristik denklemi

12 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI R(s)=1/s birim basamak giriş fonksiyonu için sistem çıkışının Laplace dönüşümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Ters Laplace uygulanırsa sistemin birim basamak cevabı y(t) Birim basamak cevabının ω n t normalize zamana göre çizimleri, çeşitli ζ değerleri için verilmiştir.

13 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI ζ‘nin değeri azaldıkça cevap daha aşımlı ve salınımlı hale gelir. ζ≥1 için, basamak cevabında bir aşım görülmez, buna göre y(t) cevabı son değerini hiçbir zaman aşmaz. Ayrıca ω n ’in yükselme, gecikme ve yerleşme zamanını doğrudan etkilemediği ve aşım üzerinde tamamen etkisiz olduğu görülür. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

14 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Sönüm Oranı ve Sönüm Faktörü İkinci mertebeden örnek sistemde, ζ ve ω n sistem parametrelerinin y(t) basamak cevabına etkisi,karakteristik denklem kökleri ile ifade edilebilir. İki kök Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki α ifadesi y(t) cevabının üssel teriminde t zamanı ile çarpılmış bir sabittir. Buna göre α, y(t)’nin artış ya da azalış oranını belirtir. Yani α sistemin sönümünü ifade eder ve sönüm çarpanı veya sönüm sabiti olarak adlandırılır. α‘nın tersi 1/α sistemin zaman sabiti ile orantılıdır.

15 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

16 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Sistemin ω n parametresi doğal frekans olarak tanımlanır. ilişkisinde ζ=0 olması halinde, karakteristik denklemin kökleri sanal hale gelir ve birim basamak yanıtı saf sinüsoidal bir işarete dönüşür. Buna göre ω n sinüsoidal cevap frekansına karşı düşer. 0<ζ<1 için köklerin sanal kısmı ω genliğindedir. ζ≠0 için y(t) yanıtı periyodik bir fonksiyon olmadığından ω bir frekans değildir. Karşılaştırma amacıyla ω bazen koşullu frekans veya sönüm frekansı olarak adlandırılır. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

17 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Karakteristik denklemin karmaşık eşlenik köklerinin konumu ile α, ζ, ω n ve ω arasındaki ilişki; -ω n, köklerin s-düzlemi koordinat merkezine olan uzaklıktır. -α, köklerin gerçek kısmıdır. -ω, köklerin sanal kısmıdır. -ζ, kökler sol yarı s-düzleminde bulunduğunda kökleri koordinat merkezine bağlayan doğru ile negatif gerçek eksen arasındaki açının kosinüsüne eşittir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

18 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Sol yarı s-düzlemi pozitif sönüme karşı düşer (sönüm faktörü veya oranı pozitiftir). Pozitif sönüm, e -ζωnt ifadesindeki negatif üs nedeniyle birim basamak yanıtının sabit bir değere yerleşmesine neden olur. Sistem kararlıdır. Sağ yarı s-düzlemi negatif sönüme karşı düşer. Negatif sönüm genliği zamanla sınırsız artan biryanıta neden olur ve sistem kararsızdır. Sanal eksen sıfır sönüme karşı düşer (α=0 veya ζ=0). sıfır sönüm kalıcı salınıma neden olur ve sistem kararlılık sınırında ya da kararsızlık sınırındadır. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

19 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler sol yarı düzlemde ise örneksel birim basamak yanıtı Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Az sönümlü

20 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler sol yarı düzlemde ve çakışıyor ise birim basamak yanıtı Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Kritik sönümlü

21 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler solda gerçel eksen üzerinde ise birim basamak yanıtı Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Aşırı sönümlü

22 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler imajiner eksen üzerinde ise örneksel birim basamak yanıtı Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sönümsüz

23 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler sağ yarı düzlemde ise örneksel birim basamak yanıtı Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Negatif sönümlü

24 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI En Büyük Aşım Sönüm oranı ile aşım arasındaki tam ilişki birim basamak yanıtı y(t) denkleminin t’ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlenerek türetilebilir. Bu na göre ve tanımlanan ω ve θ ile Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Köşeli parantez içindeki ifade sin ωt cinsinden ifade edilebilir.

25 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI En Büyük Aşım dy(t) / dt sıfıra eşitlenirse çözüm olarak t=∞ ve Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki t=∞ çözümü y(t)’nin sadece ζ≥1 için maksimumdur. ζ değerleri için ω n t’ye göre verilen birim basamak yanıtlarında en büyük aşımın ilk aşım olduğu görülür. Bu, ilişkisinde n=1’e karşı düşer. İkinci mertebeden sistemde en büyük aşım sadece ζ’ye bağlıdır. Buna göre en büyük aşımın oluştuğu zaman En büyük aşım n=1 için Yüzde en büyük aşım

26 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı İkinci mertebeden örnek sistemde bile gecikme zamanı t d, yükselme zamanı t r ve yerleşme zamanı t s ’in tam analitik ifadelerini bulmak zordur. Örnegin gecikme zamanı için birim basamak yanıtı y(t) ilişkisinde y=0.5 alıp ifadeyi t’ye göre çözmek gerekir. Daha kolay bir yöntem ω n. t d ’yi ζ’ye bağlı olarak çizmek ve elde edilen çizimi 0<ζ<1 aralığında bir doğru veya eğriyle yaklaşık ifade etmektir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Eğer t d için ikinci mertebeden bir eğriden yararlanılırsa, daha iyi bir yaklaşık ifade

27 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı Basamak yanıtının son değerin %10 değerinden %90 değerine erişme zamanı olarak tanımlanan t r yükselme zamanı, çeşitli ζ değerleri için ω n t’ye göre birim basamak yanıtlarından ölçülebilir. ω n t r ’nin ζ’ye göre çizimi yapılıp, ζ’nin belirli sınırlı bir bölgesiiçin bir doğrusal yaklaşık ifade verilebilir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki İkinci mertebeden daha iyi bir yaklaşık ilişki,

28 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı SONUÇLAR t r ve t d zamanları ζ ile doğru, ω n ile ters orantılıdır. ω n doğal frekansının artması (azalması) t r ve t d ’nin artmasına (azalmasına) neden olur. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

29 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Yerleşme Zamanı Çeşitli ζ değerleri için ω n t’ye göre birim basamak yanıtlarında görüldüğü gibi 0<ζ<0.69 için birim basamak yanıtının aşımı %5’in üzerindedir ve yanıt 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye son kez üstten yada alttan girebilir. ζ‘nin 0.69’dan daha büyük olması halinde aşım %5’ten daha az olması nedeniyle yanıt 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye sadece alttan girebilir. İkinci mertebeden örnek sistemde yerleşme zamanı yaklaşık Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

30 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Yerleşme Zamanı ζ<0.69 için yerleşme zamanı ζ ve ω n ile ters orantılıdır. ζ sabit tutulduğunda yerleşme zamanını azaltmanın kolay bir yolu ω n ’i artırmaktır. Her ne kadar yanıt daha salınımlı olsa da en büyük aşım sadece ζ’ye bağlıdır ve bağımsız kontrol edilebilir. ζ>0.69 için yerleşme zamanı ζ ile doğru, ω n ile ters orantılıdır. Burada da ω n artırılarak t s azaltılabilir. Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki


"MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi Kriterleri Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları