HEDEF PROGRAMLAMA.

... konulu sunumlar: "HEDEF PROGRAMLAMA."— Sunum transkripti:

1 HEDEF PROGRAMLAMA

2 4.1. Hedef Programlama Tanımı
Hedef Programlama (HP) ilk defa doğrusal hedef programlama olarak Charnes ve Cooper (1961) tarafından geliştirilmiştir (Evren ve Ülengin, 1992). Bu yöntemin temeli doğrusal programlamaya dayanır. Bu yöntemde karar vericiden, her bir amaç için erişilmesini arzu ettiği bir hedef değer belirlemesi istenir. Daha sonra, tercih edilen çözüm bu hedef değerlerden sapmaları minimum kılan çözüm olarak belirlenir(Evren ve Ülengin, 1992).

3 Bir HP modeli, bir karar vericinin çeşitli amaç ya da hedeflerini eş zamanlı olarak dikkate alır. Herhangi bir (Doğrusal Programlama) DP ve HP probleminde eğer tüm kısıtlar aynı anda sağlanamıyorsa model için uygun çözüm elde edilemez. Hedef programlamanın amacı, tüm kısıtları sağlayan ve mümkün olduğu kadar tüm hedeflere ulaşan bir çözüm bulmaktır.

4 Tanımlar Bir HP modeli genel olarak aşağıdaki formda ifade edilir:
Min (Hedeflerden sapmaların toplamı) Kısıtlar Hedef denklemleri Fonksiyonel kısıtlar (varsa) Tüm değişkenler (karar ve sapma değişkenleri) için negatif olmama kısıtı

5 Tanımlar Amaç: Bir sistemin arzu edilen bir durumunu tanımlamak için yönetim tarafından yapılan genel bir ifadedir. Hedef: Bu amaç için, yönetimin başarmayı istediği kesin bir ifadedir. Örneğin maliyeti minimum kılmak bir amaç ise, “maliyetin x pb. seviyesinde tutulması” bir hedeftir.

6 4.2. HP Modelinin Kurulması Örnek
Bir firmanın 3 farklı tipte reklam vermek istediğini varsayalım. X1 = Televizyon reklam spotu sayısı (adet) (TR) X2 = Radyo reklam spotu sayısı (adet) (RR) X3 = Gazete reklam spotu sayısı (adet) (GR)

7 Ulaşılan Potansiyel Müşteri Sayısı (kişi/adet)
ÖRNEK Her bir adet reklamın maliyeti ve her bir adet reklam ile ulaşılan potansiyel müşteri sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Maliyet (pb/adet) Ulaşılan Potansiyel Müşteri Sayısı (kişi/adet) TR 3.000 1.000 RR 800 500 GR 250 200

8 ÖRNEK Yönetimin aşağıda belirtildiği gibi üç hedefi olsun:
Hedef 1 : Reklam için pb’den daha fazla harcanmaması. Hedef 2 : En azından potansiyel müşteriye ulaşılması. Hedef 3 : En azından 10 adet televizyon reklam spotu verilmesi.

9 ÖRNEK Bu ifadeler hedef denklemi yerine fonksiyonel kısıtlar olarak ifade edilirse; 3000X X X3 ≤ 1000X X X3 ≥ X ≥ 10 X1 ≥ 10 için uygun çözüm bulunamaz!!!

10 Sapma Değişkenleri Bu modelde tüm kısıtların aynı anda sağlanması mümkün olmadığı için, modelin hedef kısıtları ile yeniden kurulması gerekir. Bunun için her bir hedef için aşağıdaki değişkenler tanımlanır. di- (negatif sapma değişkeni) di- → Sol taraf değerinin, sağ taraf değerinin altında kalması Hedef değerinin başarılamaması Hedef değerden negatif sapma di+ (pozitif sapma değişkeni) di+ → Sol taraf değerinin, sağ taraf değerini aşması Hedef değerinin aşılması Hedef değerden pozitif sapma

11 3000X X X3 + d1- - d1+ = 1000X X X3 + d2- - d2+ = X d3- - d3+ = 10 Burada; d1+ ( pb’yi aşan miktar) d2- (ulaşılması hedeflenen potansiyel müşteri sayısının altında kalan miktar) d3- (televizyon reklam spotu sayısının 10’un altında kalan miktarı) detrimental variables → zarar değişkenleri

12 Hedef programlamanın amacı bu zarar (sapma) değişkenlerinin minimum kılınmasıdır.
d1-, d2+ , d3+ > 0 olması durumunda zaten sözü edilen zarar değişkenleri minimum kılınmış olacaktır. di+ ve , di- aynı anda > 0 olamaz.

13 4.3. HP Çözüm Yaklaşımları Sapma (zarar) değişkenlerinin minimum kılınması iki yaklaşım ile sağlanır: Önceliksiz (NonPreemptive) yaklaşım, Öncelikli (Preemptive) yaklaşım.

14 Önceliksiz Hedef Programlama (NonPreemptive Goal Programming)
Önceliksiz HP yaklaşımında zarar değişkenlerine göreli ağırlıklar (wi) atanır. MODEL YAPISI: Min. (hedeflerden ağırlıklı sapmanın toplamı) Kısıtlar: Hedef denklemleri Fonksiyonel kısıtlar (varsa) Tüm karar ve sapma değişkenleri için negatif olmama kısıtı

15 Örneğimizde reklam harcamaları için 25.000
pb.’nin üstünde harcanan her bir pb.’nin firmaya maliyetinin 2pb. olduğunu varsayalım. Ayrıca, ulaşılması hedeflenen potansiyel müşterinin altındaki ulaşamadığımız her bir potansiyel müşteri için firmanın kaybının 5 pb. olduğunu varsayalım. Ek olarak, televizyon reklam spotu için hedeflenen değerin (10 adet) altında kalan her bir adetin firmaya bedelinin, her bir pb.’lik fazla bütçenin 100 katı değerinde olduğu varsayılabilir (öznel değerlendirme).

16 Z min = 2 d d d3- 3000X X X3 + d1- - d1+ = 1000X X X3 + d2- - d2+ = X d3- - d3+ = 10 Xj , di-, di+≥ 0 tüm i ve j’ler için DP modeli olarak çözülür.

17 Öncelikli Hedef Programlama (Preemptive Goal Programming)
Öncelikli hedef programlamada, karar vericinin hedeflerini öncelik seviyesine (1,2,3..) göre sıralaması istenir. Örneğimizde karar vericinin birinci öncelikle ilk iki hedefine, ikinci öncelikle de son hedefine ulaşmak istediğini varsayalım.Bu durumda öncelikli HP modeli aşağıdaki gibi olacaktır.

18 Z min = 2 P1 d1+ , 5 P1 d2- , 200 P2 d3- 3000X X X3 + d1- - d1+ = 1000X X X3 + d2- - d2+ = X d3- - d3+ = 10 Xj , di-, di+≥ 0 tüm i ve j’ler için Öncelikli hedef programlamadaki temel fikir, ilk öncelikli hedef(ler)in sonraki öncelik seviyeli hedef(ler)den önce başarılmasıdır.

19 Her bir öncelik seviyesi bir ya da daha fazla hedef içerebilir
Her bir öncelik seviyesi bir ya da daha fazla hedef içerebilir. Eğer bir öncelik seviyesinde birden fazla hedef varsa, bu seviyedeki hedefler önceliksiz HP’deki gibi ağırlıklandırılabilir. Çözümü açıklamak için 3 öncelik seviyeli, 7 hedefli bir HP problemini ele alalım: P1 → 2 Hedef d1+, d2- → w1 , w2 P2 → 3 Hedef d3+, d4-, d5+ → w3 , w4 , w5 P3 → 2 Hedef d6-, d7+ → w6 , w7

20 Öncelikli hedef programlama problemi, ilk olarak aşağıda verilen birinci öncelikli doğrusal programlama modelini çözer. P1 → Z min = w1d1++ w2 d2- Kısıtlar Hedef kısıtları Fonksiyonel kısıtlar (varsa) Negatif olmama koşulu Çözüm min Z = V1 olduğunu varsayalım.

21 Daha sonra aşağıdaki ikinci öncelikli doğrusal programlama problemi çözülür.
P2 → Z min = w3 d3+ + w4d4- + w5d5+ Kısıtlar Hedef kısıtları Fonksiyonel kısıtlar (varsa) w1d1++ w2 d2- = V1 (yeni kısıt) Negatif olmama koşulu Çözüm min Z = V2 olduğunu varsayalım.

22 Son olarak aşağıdaki üçüncü öncelikli doğrusal programlama problemi çözülür.
P3 → Z min = w6d6- + w7 d7+ Kısıtlar Hedef kısıtları Fonksiyonel kısıtlar (varsa) w1d1++ w2 d2- = V1 w3 d3+ + w4d4- + w5d5+ = V2 (yeni kısıt) Negatif olmama koşulu Üçüncü öncelikli doğrusal programlama probleminin çözümü, hedef programlama probleminin çözümünü verir.

23 Doğrusal Programlama ile Öncelikli Hedef Programlama Arasındaki Farklılıklar
DP ile Öncelikli HP arasındaki farklılıklar aşağıdaki gibi sıralanabilir: Hedefler yönetim tarafından belirlenir ve Pk öncelik faktörü kullanılarak önceliklerine göre sıralanırlar. Bir kısıt denklemine sapma değişken(ler)i (di+ ve/veya , di-) eklenerek kısıt denklemi eşitlik şeklinde ifade edilir (hedef kısıtlarının oluşturulması). Amaç fonksiyonu hedefe ilişkin sapma değişken(ler)ini içerir ve öncelik sıralarına göre önceden belirlenmiş olan hedeflerden sapmayı minimum kılmaya çalışır. Her bir hedefe bir öncelik tayin edildiği için çözüm sürecinde öncelikle birinci hedeften sapma minimum kılınır, daha sonra ikinci ve sonraki hedeflerden sapmalar minimum kılınır. Hedef kısıtlarının boyutlarının farklı olması nedeniyle amaç fonksiyonunun kendisi çok boyutlu bir fonksiyondur.

24 HP'de Hedef Kısıtlarının Formülünün Kurulmasındaki Temel İlkeler HP’DE SAPMA DEĞİŞKENLERİNİN KULLANIMI (di+ , di- ) (OZAN, 1986):

25 HP'de Hedef Kısıtlarının Formülünün Kurulmasındaki Temel İlkeler (OZAN, 1986):
Durum 1: Eşitlik Durumu – Bu durumda hedef kısıtı, negatif (d-) ve pozitif (d+) sapma değişkenlerinin her ikisini birden içerir. Amaç fonksiyonunda Pk (d+ + d-) terimi yer alır. Bu durumda çözüm süreci aynı Pk seviyesinde her iki değişkeni birden minimum kılmaya çalışır.

26 Durum 1: Eşitlik Durumu Hedef kısıtı Amaç fonksiyonu bölümü n
 aij xj + di- - di+ = bi j=1 i= m) Pk (di+ + di-)

27 Durum 2: 2-A) Negatif Sapmaya Kayıtsız Kalınması ve Pozitif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda negatif sapmaya kayıtsız kalınır, pozitif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı, negatif (d-) ve pozitif (d+) sapma değişkenlerinin her ikisini birden içerir. Amaç fonksiyonunda sadece Pkd+ terimi yer alır. 2-B) Pozitif Sapmaya Kayıtsız Kalınması ve Negatif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda pozitif sapmaya kayıtsız kalınır, negatif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı, negatif (d-) ve pozitif (d+) sapma değişkenlerinin her ikisini birden içerir. Amaç fonksiyonunda sadece Pk d- terimi yer alır.

28 Durum 2A: Negatif Sapmaya Kayıtsız Kalınması ve Pozitif Sapmanın Minimum Kılınması
Hedef kısıtı Amaç fonksiyonu bölümü n  aij xj + di- - di+ = bi j=1 (i= m) Pk di+ (di+ minimum kılınırken, di-'ye kayıtsız kalınır.)

29 Durum 2B: Pozitif Sapmaya Kayıtsız Kalınması ve Negatif Sapmanın Minimum Kılınması
Hedef kısıtı Amaç fonksiyonu bölümü n  aij xj + di- - di+ = bi j=1 (i= m) Pk di- (di- minimum kılınırken, di+'ya kayıtsız kalınır.)

30 Durum 3: 3-A) Negatif Sapmanın Kabul Edilmemesi ve Pozitif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda negatif sapma kabul edilmez, pozitif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı negatif sapma değişkeni içermez, sadece pozitif sapma değişkeni (d+ )içerir. Amaç fonksiyonunda sadece Pk d+ terimi yer alır. 3-B) Pozitif Sapmanın Kabul Edilmemesi ve Negatif Sapmanın Minimum Kılınması Bu durumda pozitif sapma kabul edilmez, negatif sapma minimum kılınır. Hedef kısıtı pozitif sapma değişkeni içermez, sadece negatif sapma değişkeni (d- ) içerir. Amaç fonksiyonunda sadece Pk d- terimi yer alır.

31 Durum 3A: Negatif Sapmanın Kabul Edilmemesi ve Pozitif Sapmanın Minimum Kılınması
Hedef kısıtı Amaç fonksiyonu bölümü n  aij xj - di+ = bi j=1 (i= m) Pk di+ di- = 0 olurken, di+ minimum kılınır.

32 Durum 3B: Pozitif Sapmanın Kabul Edilmemesi ve Negatif Sapmanın Minimum Kılınması
Hedef kısıtı Amaç fonksiyonu bölümü n  aij xj + di- = bi j=1 (i= m) Pk di- di+=0 olurken, di- minimum kılınır.

33 Beaver Creek Seramik Şirketi
Beaver Creek Seramik Şirketi, birim karı 50 pb. olan kupalar ve 40 pb. olan kaseler olmak üzere iki çeşit ürün üretmektedir. Küçük bir imalathanesi bulunan firmanın günlük işgücü kapasitesi 40 saattir. Ayrıca günde 1200 gr. seramik hamuru sağlanabilmektedir. Kase ve kupaların, birer adedinin gerektirdiği işgücü ve hamur miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir. İşgücü Hamur Kar Kase 1 saat/adet 40 gr./adet 40 pb/adet Kupa 2 saat/adet 30 gr. /adet 50 pb/adet *TAYLOR, Berdnard W. (2004), Introduction to Management Science, Eighth Edition, Pearson Prantice Hall, s

34 Beaver Creek Seramik Şirketi
Beaver Creek Seramik Şirketi’nin, önceliklerine göre hedefleri aşağıda sıralanmıştır: P1 Şirket günlük işgücü kullanımının, 40 saatin altında olmasını istememektedir. P2 Şirket günlük karının, 1.600pb’den düşük P3 Seramiğin kurumaması için özel bir bölgede saklanması gerekliliği nedeniyle, şirket günde 1200 gr.’dan fazla seramik bulundurmak istememektedir. P4 Fazla mesai ücretleri çok yüksek olduğu için, şirket fazla mesai sürelerini minimum kılmak istemektedir. Bu verilere göre şirketin karar problemini HP modeli olarak kurun. Modelini kurduğunuz HP problemini grafik yöntemle çözün.

35 Beaver Creek Seramik Şirketi
Problemin dördüncü hedefinin, toplam fazla mesai saatini minimum kılmak yerine, 10 saati aşmaması olduğunu varsayalım. Ayrıca, şirketteki depo alanının sınırlı olması nedeniyle günlük kupa üretiminin 20, kase üretiminin ise 30 ile sınırlandığını varsayalım (günlü kupa üretim miktarı 20 adeti, günlük kase üretim miktarı 30 adeti aşamaz). Şirketin hedefinin mümkün olduğu kadar bu miktarları üretmeye ulaşmak olduğunu varsayalım. Bu durumda şirketin yeni hedeflerini de dikkate alarak HP modelini yeniden kurun. Modelini kurduğunuz HP problemini grafik yöntemle çözün.

36 Leon Burnit Reklam Ajansı
Leon Burnit Reklam Ajansı’nın, Priceler Otomotiv Firması için hazırlamak istediği reklam kampanyasında Priceler’in ulaşmak istediği üç ana hedefi bulunmaktadır. Leon Burnit Reklam Ajansı’nın amacı, verilen hedeflere ve verilere dayanarak, Priceler’in hedeflerine en uygun reklam kampanyasını oluşturmaktır.

37 Leon Burnit Reklam Ajansı
Hedef 1: Yapılacak reklamlar en az 40 milyon Yüksek Gelir Seviyeli Bay (YGBay) tarafından izlenmelidir. Hedef 2: Yapılacak reklamlar en az 60 milyon Düşük Gelir Seviyeli Kişi (DGKişi) tarafından izlenmelidir. Hedef 3: Yapılacak reklamlar en az 35 milyon Yüksek Gelir Seviyeli Bayan (YGBayan) tarafından izlenmelidir.

38 Leon Burnit Reklam Ajansı
Leon Burnit Reklam Ajansı’nın satın alabileceği, futbol maçı ve pembe dizi olmak üzere iki çeşit reklam kuşağı vardır ve reklam bütçesi en fazla 600,000 pb. olarak belirlenmiştir. Bir dakikalık reklam maliyetlerine ve bir dakikalık reklam ile ulaşılan potansiyel izleyici kitlesine ait bilgiler aşağıdaki tabloda listelenmiştir. YGBay DGKişi YGBayan Maliyet Futbol Arası Kuşağı 7 Milyon/dk 10 Milyon/dk 5 Milyon/dk pb/dk Pembe Dizi Kuşağı 3 Milyon/dk 4 Milyon/dk pb/dk

39 Leon Burnit Reklam Ajansı
Priceler Firmasının hedeflerden sapma maliyetleri için aşağıdaki sapma değerlerini hesapladığı varsayılmaktadır: YGBay DGKişi YGBayan Her 1 Milyonluk Sapma pb pb. pb

40 KAYNAK EVREN, R. ve ÜLENGİN, F. (1992), Yönetimde Çok Amaçlı Karar Verme, İTÜ Matbaası, Sayı:1490, Gümüşsuyu, İstanbul. LAWRENCE, J.A. Ve PASTERNACK, B.A. (2002), Applied Management Science: Modelling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision Making, Second Edition, John Wiley&Sons, Inc. OZAN, T. (1986), Applied Mathematical Programming for Engineering and Production Management, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, s

41 KAYNAKLAR: HILLIER, F.S. ve LIEBERMAN, G.J. (1995), Introduction to Mathematical Programming, McGraw-Hill Publishing Company. LEE, S.M., MOORE L.J. ve TAYLOR, B.W., (1981),Management Science, Wm.C.Brown Company,U.S.A, s TAHA, H. (1997), Operations Research, Sixth Edition, Prentice Hall. ÖZDEN, K. (1989), Yöneylem Araştırması, Hava Harp Okulu Yayınları. ÖZTÜRK, A. (1997), Yöneylem Araştırması, Genişletilmiş V. Basım, Ekin Kitapevi Yayınları, Bursa. TAHA, H. (2000), Yöneylem Araştırması, 6. Basımdan Çeviri, (Çeviren ve Uyarlayanlar: Ş. Alp Baray ve Şakir Esnaf), Literatür Yayınları:43, İstanbul. WINSTON, W.L. (1994), Operations Research, Second Edition, PWS- KENT Publishing Company, Boston.

42 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ
Beaver Creek Seramik Şirketi, birim karı 50 pb. olan kupalar ve 40 pb. olan kaseler olmak üzere iki çeşit ürün üretmektedir. Küçük bir imalathanesi bulunan firmanın günlük işgücü kapasitesi 40 saattir. Ayrıca günde 1200 gr. seramik hamuru sağlanabilmektedir. Kase ve kupaların birer adedinin gerektirdiği işgücü ve hamur miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir. İşgücü Hamur Kar Kase 1 saat/adet 40 gr./adet 40 pb/adet Kupa 2 saat/adet 30 gr. /adet 50 pb/adet

43 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ
x1 = Üretilen kase sayısı x2 = Üretilen kupa sayısı olarak tanımlanırsa, uygun bir çözüm üretecek doğrusal programlama modeli aşağıdaki gibi olacaktır: maks Z = 40x1 + 50x2 x x2 ≤ 40 (İşgücü Kısıtı) 40x x2 ≤ 1200 (Hammadde Kısıtı) x1, x2 ≥ 0

44 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ
Beaver Creek Seramik Şirketi’nin, kar optimizasyonu dışında, aşağıdaki gibi önem sırasına göre sıralanmış hedefleri olduğu varsayılırsa, modelin yapısı hedef programlama modeli şekline dönüşecektir. Şirket günlük işgücü kullanımının 40 saatin altında olmasını istememektedir. Şirket günlük karının 1600pb’den düşük olmasını istememektedir. Seramik kurumaması için özel bir bölgede saklandığı için şirket günlük 1200 gr.’dan fazla seramik bulundurmak istememektedir. Fazla mesai ücretleri çok yüksek olduğu için, şirket fazla mesai sürelerini minimum kılmak istemektedir.

45 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ
Son hedef kısıtının eklenmesi ile sonuç olarak tamamlanan hedef programlama modeli, aşağıda göründüğü gibi oluşturulur: Min P1 d1- , P2 d2- , P3d3+ , P4 d1+ x x2 + d d1+ = 40 40 x x2 + d d2+ = 1600 40 x x2 + d d3+ = 1200 x1, x2, d1-, d1+ , d2- , d2+ , d3- ,d3+ ≥ 0

46 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ Alternatif Hedef Kısıtları
Problemin dördüncü hedefinin, toplam fazla mesai saatini minimum kılmak yerine, 10 saati aşmaması olduğu varsayılırsa, modele varolan sapma değişkeninin sapmasını da ölçecek yeni bir hedef kısıtı eklemek gerekecektir. x x2 + d d1+ = 40 Fazla mesai değerini veren değişken d1+ olarak tanımlandığı için, yeni değişkenin bu sapma değişkeninde sapmayı ölçecek olması istenmektedir. Tanımlanan d4- ve d4+ değişkenleri ile yeni bir hedef kısıtı oluşturulur. d1+ + d d4+ = 10

47 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ Alternatif Hedef Kısıtları
Yönetimin, fazla mesainin 10 saati aşmamasını istemesi nedeniyle, fazla mesai sapmasını veren değişken fonksiyondan çıkarken, 10 saatin üstünde fazla mesai değerini gösteren d4+ değişkeni amaç fonksiyonuna eklenir: Min P1 d1- , P2 d2- , P3d3+ , P4 d4+

48 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ Alternatif Hedef Kısıtları
Son olarak, beşinci kısıt olarak depo büyüklüğünün eklendiği ve günlük kupa üretiminin 20, kase üretiminin ise 30 ile sınırlandığı varsayılabilir. Şirketin mümkün olduğu kadar bu miktarları üretmeyi hedeflediğini varsayalım. Bu durumda şirket, kar oranı daha yüksek olduğu için kupalara öncelik vererek, mümkün oluğu kadar belirtilen miktarları üretmeye çalışacaktır. Günlük üretim hiçbir şekilde verilen rakamların üstüne çıkamamaktadır. Bu nedenle eklenecek hedef kısıtları şöyle olacaktır: x1 + d5- = 30 x2 + d6- = 20

49 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ Alternatif Hedef Kısıtları
Bu kısıtlarda dikkat edilecek nokta, d5+ ve d6+ kısıt değişkenlerinin üretim miktarları kesinlikle verilen rakamlarla sınırlı olduğu için modele eklenmemiş olmasıdır. Böylece verilen miktarların üstünde üretim yapılması engellenmiş olmaktadır. Son duruma göre sapma değişkenleri, karlılık durumuna göre kupalara, kaselerden daha fazla öncelik verilmesi için, ağırlık değerleri karla orantılı katsayılarda hedef fonksiyonuna eklenir: min P1 d1- , P2 d2- , P3d3+ , P4 d4+, 4P5 d5-, 5P5 d6-

50 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ Alternatif Hedef Kısıtları
Modelde görülen 4 ve 5 katsayılarına ağırlık adı verilmektedir. Diğer bir deyişle, aynı öncelik değerine sahip olmalarına rağmen, d6- hedefinin değeri, d5- hedef değişkeninin değerine göre daha yüksek seviyede ağırlıklandırılmıştır.

51 BEAVER CREEK SERAMİK ŞİRKETİ
Sonuç olarak model aşağıda gösterildiği şekilde sonuçlandırılmış ve çözüme hazır hale getirilmiştir. min P1 d1- , P2 d2- , P3d3+ , P4 d4+, 4P5 d5-, 5P5 d6- x x2 + d d1+ = 40 40 x x2 + d d2+ = 1600 40 x x2 + d d3+ = 1200 d1+ + d d4+ = 10 x1 + d5- = 30 x2 + d6- = 20 x1, x2, d1-, d1+ , d2- , d2+ , d3- ,d3+ , d4- ,d4+ , d5- ,d6- ≥ 0

52 Kaynak TAYLOR, Berdnard W. (2004), Introduction to Management Science, Eighth Edition, Pearson Prantice Hall, s