Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1 DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER ve DOĞRUSAL PROGRAMLAMA.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1 DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER ve DOĞRUSAL PROGRAMLAMA."— Sunum transkripti:

1 1 DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER ve DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

2 2 (2,0) (0,2) ax+by = h bir doğrusal eşitliktir. Bu eşitliğin (fonksiyonun) grafiği düzlemde bir doğrudur. Örnekler: (01) (-1/2,0) y x x+y = 2 d = (x,y):x+y =2, x,y є R -2x+y = 1 d = (x,y):-2x+y =1, x,y є R

3 3 Teorem. a, b, h  R olsun. ax+by h, ax+by ≤ h, ax+by ≥ h birer doğrusal eşitsizliktirler. Doğrusal eşitsizliklerin grafikleri (eşitsizliği sağlayan noktalar kümesi, yani çözüm kümesi ) birer yarı düzlemsel bölgedir. Aksiyom: Bir doğru, düzlemi iki yarı düzleme ayırır. 1. Eğer a  0, b  0 ise, ax + by h eşitsizliklerinden birinin grafiği ax + by = h doğrusunun üst yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynı doğrunun alt yarıdüzlemidir. 2. Eğer a  0, b = 0 ise, ax h eşitsizliklerinden birinin grafiği x = h/a doğrusunun sağ yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynı doğrunun sol yarıdüzlemidir.

4 4 ax+by h, ax+by ≤ h, ax+by ≥ h doğrusal eşitsizliklerinin grafiğini çizmek için; 1. ax + by = h doğrusu, durumlarında kesikli,  ve  durumlarında kesiksiz çizilir. 2. Düzlemde, çizilen doğru üzerinde olmayan her hangi bir nokta alınır. ( örneğin, eğer doğru üzerinde değilse, (0,0) noktası alınabilir.) Bu noktanın koordinatları eşitsizlikte yerine konulur. (SINAMA NOKTASI) 3. Sınama noktası eşitsizliği sağlıyorsa, eşitsizliğin grafiği (çözüm kümesi) noktanın bulunduğu yarıdüzlem, aksi halde, diğer yarıdüzlemdir.

5 5 2x+y<6 için Örnek: 2x+y 6, 2x+y≤6, 2x+y≥6 grafiklerini çizelim. (0,0) noktası 2x+y<6 eşitsizliğinde yerine konulursa 2.0+0<6 olur. O halde 2x+y<6 eşitsizliğinin grafiği (0,0) noktasının bulunduğu yarı düzlemdir. x y 2x+y≤6 ve 2x+y≥6 için 2x+y≤6 2x+y≥6 3 6 Sınama noktası (0,0) x y 2x+y=6 2x+y <6 2x+y >6 3 6

6 6 Örnek: x y x<3 x>3 x=3 3 x y x≤3x≥3 3 Sınama noktası (0,0) x>3, x<3, x≥3, x≤3 grafiklerini çizelim.

7 7 x<0x>0 Örnek: x y x=0 1 x≤0 x≥0 y x x=0 1 1>0 Sınama noktası x>0, x<0, x≥0, x≤0 grafiklerini çizelim.

8 8 Örnek: x y x y y≥0 y≤0 y>0 y<0 y=0 1 1>0 Sınama noktası y>0, y<0, y≥0, y≤0 grafiklerini çizelim.

9 9 y x x+y =1 1 1 x+y >1 x+y <1 (0,0) Sınama noktası Örnek: x+y 1 grafiklerini çizelim. 0+0=0 <1

10 10 Doğrusal Eşitsizlik Sistemlerinin çözümü a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n ≤ b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n ≤ b m Şeklinde n tane bilinmeyeni m tane eşitsizliği olan sistemlere birdoğrusal eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sisteminin çözümü diye her bir eşitsizliği sağlayan (x 1,x 2,…,x n ) n-lileri kümesine denir. İki bilinmeyenli bir eşitsizlik sisteminin çözümü bir düzlemsel bölgedir.

11 11 x y Örnek: x<0 x>0 x y y<0 x<0 x>0 y<0 x<0 y>0 x>0 y>0

12 12 x > 0 y > 0 x < 0 y > 0 y < 0 x < 0 x > 0 y < 0

13 13 x+y = 2 x- y = 1 x+y > 2 x- y < 1 x+y < 2 x- y < 1 x+y < 2 x- y > 1 x+y > 2 x- y > 1 x+y > 2 Sistemini çözelim. (0,0) Sınama noktası x- y < 1 x+y > 2 Sistemini çözelim. x- y < 1 x+y < 2 Sistemini çözelim. x- y > 1 x+y < 2 Sistemini çözelim. x y Örnek: 0-0<1 0+0>2

14 14 x y x+y = 2 x- y = 1 x+y > 2 x- y ≤ 1 x+y < 2 x- y ≤ 1 x+y < 2 x- y ≥ 1 x+y > 2 x- y ≥ 1 (0,0) Sınama noktası

15 15 (0,0) Sınama noktası x y x+y = 2 x- y = 1 x+y > 2 x- y > 1 y > 0 x+y > 2 x- y > 1 y > 0 Örnek:

16 16 x+y < 2 x- y < 1 x > 0 x+y < 2 x- y < 1 x > 0 Sisteminin çözümü (0,0) Sınama noktası x y x+y = 2 x- y = 1 Örnek:

17 17 x y x+y = 2 x- y = 1 (0,0) Sınama noktası x+y < 2 x- y < 1 y > 0 x+y < 2 x- y < 1 y > 0 Örnek:

18 18 x+y < 2 x- y > 1 x > 0 x y x+y = 2 x- y = 1 (0,0) Sınama noktası Örnek:

19 19 x+y < 2 x- y > 1 y > 0 x y x+y = 2 x- y = 1 (0,0) Sınama noktası Örnek:

20 20 Örnek: (2,4) (0,0) (0,1) (0,6) Sınama noktası (6,0) x+ y = 6 2x – y = 0 x y ÇÖZÜM BÖLGESİ

21 21 Örnek: x y x + y=13 2x+ y=22 2x + 5y=50 (9,4) (5,8) (0,0) Sınama noktası ÇÖZÜM BÖLGESİ (11,0) (13,0) (25,0) (0,10) (0,13) (0,22)

22 22 ÖDEVLER Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.

23 23 Doğrusal programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımı sağlayan matematiksel bir tekniktir. İkinci Dünya Savaşı yıllarında askeri problemleri çözmek amacıyla geliştirilen bu teknik daha sonra en uygun (optimal) kaynak dağılım problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılmıştır. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

24 24 Hem amacın bir doğrusal eşitlik hem de bu amacın gerçekleşmesini kısıtlayan şartların doğrusal eşitlik ya da doğrusal eşitsizliklerle ifade edilebilmesidir. Doğrusal programlamanın temel varsayımı; Doğrusallık kavramı, doğrusal programlama probleminde yer alan değişkinler arasında sabit bir oransal ilişkinin olduğunu gösterir.

25 25 x y y = 3x x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır. (1,3) (3,9) (4,12) (2,6) (5,15)

26 26 x y y = x+2 x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır. (1,3) (3,5) (4,6) (2,4) (5,7)

27 27 (1,2) (2,5) (3,7) (4,6) (5,4) y = ?x x ile y arasında doğrusal bir ilişki yok. xy

28 28 Amaç fonksiyonu, matematiksel olarak formüle edilen ve ifade ettiği sayısal değerin en büyük ya da en küçük olarak gerçekleşmesini hedefleyen z = c 1 x 1 +c 2 x c n x n gibi bir doğrusal fonksiyondur. Bu fonksiyon şeklinde daha genel bir biçimde ifade edilebilir. ■ Amaç Fonksiyonu:

29 29 ■ Kısıtlılıklar: Bir doğrusal programlama probleminde amaç fonksiyonunun alabileceği değeri sınırlayan kısıtlılıklar ikiye ayrılır. 1. Kaynak Kısıtlılıkları; Bunlar temel sınırlılıklar olup probleme ilişkin mevcut kaynakları belirtirler. Bir problemde m tane kaynak kısıtlaması varsa bu kısıtlılıklar bir doğrusal eşitsizlik sistemi oluştururlar.

30 30 a 11 x 1 +a 12 x A 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 +a 22 x A 2n x n ≤ b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n ≤ b m Bu eşitsizlik sistemleri; şeklinde daha genel biçimde ifade edilebilir. veya a 11 x 1 +a 12 x A 1n x n ≥ b 1 a 21 x 1 +a 22 x A 2n x n ≥ b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n≥ b m veya 2. Negatif Olmama Kısıtlılığı; Doğrusal programlama problemlerinde yer alan değişkenler ( x i ler ) negatif değer alamazlar.

31 31 Teorem: Bir doğrusal programlama probleminde en iyi çözüm (optimal solution) varsa, bu çözüm, çözüm bölgesinin köşe noktalarından birinde veya birkaçında ortaya çıkar. Çözüm bölgesi sınırlı ise amaç fonksiyonunun hem maksimum hem de minimum değeri vardır. Başka bir deyişle, en iyi çözüm vardır. Çözüm bölgesi sınırsız ve amaç fonksiyonunun katsayıları pozitif ise, amaç fonksiyonunun minimum değeri vardır; fakat maksimum değeri yoktur.

32 32 Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 240 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 300 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 2 kg boya gerektirirken bir adet büyük masa 4 saatlik doğrama işçiliği ve 1kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için günlük en çok 96 saat çalışabilmekte ve günlük en çok 44 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için günlük kaç tane küçük boy, kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

33 33 Ayrıca üretilecek masa sayısı negatif olamayacağı için x ≥0 y ≥0 olmak zorundadır (negatif olmama kısıtlılığı). 3x+4y ≤ 96 Doğrama işi kısıtlılığı 2x+ y ≤ 44 Boya miktarı kısıtlılığı Kaynak kısıtlılığı DoğramaBoyaKar Küçük boy masa için3 saat2 kg240 Büyük boy masa için4 saat1 kg300 Kaynak kısıtlılığı96 saat44 kg Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Küçük boy masalardan x, büyük boy masalardan y tane üretmek gereksin. Amaç fonksiyonumuz: Z max =240x+300y olur.

34 34 Problemimiz; kısıtlamaları altında maksimize ediniz. “z max = 240x+300y fonksiyonunu 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x ≥ 0 y ≥ 0 Amaç Fonksiyonu z max = 240x+300y 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0 Negatif Olmama Kısıtlılıkları Karar Değişkenleri Kaynak Kısıtlılıkları olur

35 35 3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0 2x+ y = 44 3x+4y =96 x y ÇÖZÜM BÖLGESİ Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulalım. (16,12) x+4y =96 3x+4y=96 2x+ y =44 -8x-4y=-176 5x=80 x=16, y=12 K(16,12)

36 36 z max = =5280 TL (22,0) noktası için z max = =7200 TL (0,24) noktası için z max = =7440 TL (16,12) noktası için Çözüm Bölgesinin köşe noktaları için z = 240x+300y amaç fonksiyonunun aldığı değerleri bulalım. Firmanın en çok kar elde edebilmesi için küçük boy masalardan 16 büyük boy masalardan 12 adet üretip satması gerekir. Bu durumda maksimum kar 7440TL olur.

37 37 Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 3, 2. bantta 5 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 4, 2. bantta 3 saat süre gerekmektedir. Firmanın 1. bantta 61, 2. bantta 65 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 400, 1 adet B türü telsizden 500 TL kar etmektedir. Ancak B türü telsizden 13 adetten fazla üretmek istememektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden kaçar tane üretmelidir?

38 38 Çözüm: Firmanın maksimum kar etmesi için A türü telsizden x adet, B türü telsizden y adet üretmesi gereksin. Amaç fonksiyonu; z max = 400x + 500y 1. bant2.bantkar x için3 saat5 saat400 y için4 saat3 saat500 Kapasite61 saat65 saat 3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 65 0≤ y ≤ 13 olur x ≥ 0 kısıtlılıklar ise

39 39 Problemimiz; kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” z max = 400x+500y fonksiyonunu şeklini alır. 3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 55 0 ≤ y≤ 13 x≥ 0

40 y 40 3x+4y = 61 5x+3y= 65 doğularının grafikleri; 5x+3y=65 3x+4y =61 y = 13 ÇÖZÜM BÖLGESİ 61/ /3 (7,10) 61/4 (3,13) x (0,0)

41 41 Çözüm bölgesinin köşe noktaları (15,0), (7,10), (3,13), (0,13) noktalarıdır. z max = 400x+500y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım. z max = =6000 TL (15,0) noktası için z max = =7800 TL (7,10) noktası için z max = =7700 TL (3,13) noktası için z max = =5200 TL (0,13) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 7 adet A türü, 10 adet B türü telsiz üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 7800 TL olur.

42 42 Bir fabrikada 2-kişilik ve 4-kişilik şişme botlar üretiliyor. Her bir 2-kişilik bot, kesim için 0,9 iş saati, dikim ve toplama için 0,8 iş saati ; her bir 4-kişilik bot, kesim için 1,8 iş saati, dikim ve toplama için 1,2 iş saati gerektiriyor. Aylık maksimum iş gücü, kesim bölümünde 864 iş saati, dikim ve toplama bölümünde 672 iş saatidir. Üretilen tüm botların satılacağına ve her bir 2-kişilik bottan 25TL, her bir 4-kişilik bottan 40TL kâr elde edileceğine göre, maksimum kâr için, her tür bottan kaç adet üretilmelidir? Problem: (Üretim Planlaması)

43 43 Gerekli İş GücüAylık İş Gücü 2 kişilik4 kişilik Kesim Bölümü0,91,8864 Dikiş Bölümü0,81,2672 Kar2540 İki kişilik bottan x, 4 kişilik bottan y adet üretilsin. Problemimiz; şeklini alır. fonksiyonunu şartları altında maksimize ediniz. Z = 25x+40y YTL olur.

44 adet 2-kişilik, 240 adet 4-kişilik bot ile TL maksimum kâr elde edilir. KÖŞEP (0,0)0 (840,0)21000 (480, 240)21600 (0,480) ,8x 1 +1,2x 2 = 672 En iyi çözüm 0,9x 1 +1,8x 2 = 864 P(480,240)= = ,9x+1,8y = 864 0,8x+1,2y = 672 Doğrularını çizelim.

45 45 Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 1 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 2 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 32 iş saati; dikiş bölümünde en çok 84 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 50 TL, B modeli çadırlardan her biri de 80 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz. Problem: (Üretim Planlaması)

46 46 Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Gereken İş Gücü Günlük İş Gücü A modeliB modeli Biçki Bölümü 1232 Dikiş Bölümü 3484 Çadır başı kâr 5080

47 47 A model çadırdan günde x adet, B model çadırdan y adet üretilsin. Bu durumda elde edilecek kâr: Problemimiz; fonksiyonunu kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” Z = 50x + 80y TL olur. olur

48 48 Amaç fonksiyonunun maksimum değerini çözüm bölgesinin hangi noktasında aldığını belirlemeliyiz. ÇÖZÜM BÖLGESİ

49 49 Çözüm bölgesinin köşe noktaları (28,0), (20,6), (0,16), noktalarıdır. z max = 50x+80y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım. z max = =1400 TL (29,0) noktası için z max = = 1480 TL (20,6) noktası için z max = 80.16=1280 TL (0,16) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 20 adet A türü, 6 adet B türü çadır üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 1480 TL olur.

50 50 1. Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 600 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 750 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 4 kg boya gerektirirken bir adet büyük boy masa 6 saatlik doğrama işçiliği ve 3 kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için haftada en çok 108 saat çalışabilmekte ve haftada en çok 126 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için haftada kaç tane küçük boy ve kaç tane büyük boy masa üretmelidir? ÖDEVLER

51 51 2. Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 1, 2. bantta 3 saat,1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 2, 2. bantta 4 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta haftalık48 ikinci bantta 108 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 120, 1 adet B türü telsizden 175 TL kar etmektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden haftada kaçar tane üretmesi gerekir?

52 52 Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 3 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 5 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 135 iş saati; dikiş bölümünde en çok 114 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 60 TL, B modeli çadırlardan her biri de 75 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz. 3. Problem: (Üretim Planlaması)


"1 DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER ve DOĞRUSAL PROGRAMLAMA." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları