Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU Bartın Üniversitesi Bilgisayar Programcılığı Bölümü Karabük Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU Bartın Üniversitesi Bilgisayar Programcılığı Bölümü Karabük Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü."— Sunum transkripti:

1 Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU Bartın Üniversitesi Bilgisayar Programcılığı Bölümü Karabük Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

2 İçerik Convex Hull Problemi Nedir? Nerelerde Kullanılabilir? Ccw yöntemi Convex Hull Özellikleri Çözüm Yöntemleri Brute Force Divide & Conquer Quick Hull Graham Scan Gift Wrapping Monotone Chain Incremental Convex Hull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU2

3 Convex Hull Problemi Nedir? S noktalar kümesi olsun: S = {p1, p2, p3, …,pn} Bu noktalar kümesinin tüm elemanlarını içine alan düzlemde en küçük alanlı çokgeni, uzayda en küçük hacimli çok yüzlü cismi oluşturacak noktalar kümesini bulma problemidir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU3

4 Nerelerde Kullanılabilir Bilgisayar Grafikleri Görüntü İşleme Bilgisayar Oyunlarında Çarpışma Analizi CAD/CAM uygulamaları Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU4

5 Convex Hull Özellikleri-1 Noktalar kümesindeki her hangi iki nokta seçilsin. Eğer kalan tüm noktalar seçilen noktaların oluşturduğu doğru parçasının aynı yönünde kalırsa bu iki nokta çokgenin gövdesinde yer alacaktır. Bir noktanın bir doğru parçasının hangi yönünde kaldığı nasıl bilinebilir? Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU5

6 Ccw (counter clock wise) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU6

7 Convex Hull Özellikleri-2 Noktalar kümesindeki her hangi üç noktanın oluşturduğu üçgenin içinde kalan noktalar kesinlikle elenebilir. Üçgeni oluşturan noktalar da daha sonra başka üçgenler tarafından elenebilir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU7

8 Convex Hull Özellikleri-3 Noktalar kümesindeki uç noktalar (en küçük ve en büyük x ve y noktaları) birleştirilince içinde kalan noktalar kesinlikle elenebilir. Uç noktalar kesinlikle çokgenin gövdesinde yeralacaktır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU8

9 Convex Hull Özellikleri-4 Eğer noktalar x koordinatına göre (eşitse y koordinatına göre) küçükten büyüğe sıralanırsa her eklenen nokta çokgene eklenecektir. Burada hangi nokta veya noktaların çıkarılacağı bilinmelidir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU9

10 Convex Hull Özellikleri-5 Convex Hull noktalarında ilerlerken sonraki nokta her zaman önceki iki noktanın aynı tarafında yer alır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU10

11 Convex Hull Özellikleri-6 Uç nokta olarak en küçük y koordinatlı nokta kesinlikle çokgenin gövdesinde yer alır. Bir sonraki nokta tarama açısı en küçük olan nokta olacaktır. Bu şekilde devam ederek noktaların çevresi sarılabilir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU11

12 İncelenecek Çözüm Yöntemleri Brute Force Divide & Conquer QuickHull Graham Scan Gift Wrapping Monotone Chain Incremental Convex Hull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU12

13 Brute Force – Tüm İhtimalleri Deneme Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU13

14 Brute Force – Tüm İhtimalleri Deneme Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU14

15 Divide & Conquer – Böl ve Fethet Problemi iki alt probleme bölüp alt problemleri çözme prensibine dayanmaktadır. Küçük bir kümede convex hull çözmek büyük bir kümede çözmekten çok daha hızlı olacaktır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU15

16 Divide & Conquer – Böl ve Fethet Noktaları x koordinatlarına göre sırala Kümeyi nokta sayısı ≤ 3 olana kadar recursive olarak ikiye böl Alt kümeler için çokgenleri oluştur Alt çokgenleri birleştir. Çokgenler nasıl birleştirilebilir? Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU16

17 Divide & Conquer – Böl ve Fethet Noktaları x koordinatlarına göre sırala Kümeyi nokta sayısı ≤ 3 olana kadar recursive olarak ikiye böl Alt kümeler için çokgenleri oluştur Alt çokgenleri birleştir. Çokgenler nasıl birleştirilebilir? Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU17

18 Divide & Conquer – Böl ve Fethet Noktaları x koordinatlarına göre sırala Kümeyi nokta sayısı ≤ 3 olana kadar özyinelemeli olarak ikiye böl Alt kümeler için çokgenleri oluştur Alt çokgenleri birleştir. Çokgenler nasıl birleştirilebilir? Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU18

19 Divide & Conquer – Böl ve Fethet Noktaları x koordinatlarına göre sırala Kümeyi nokta sayısı ≤ 3 olana kadar özyinelemeli olarak ikiye böl Alt kümeler için çokgenleri oluştur Alt çokgenleri birleştir. Çokgenler nasıl birleştirilebilir? Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU19

20 Divide & Conquer – Böl ve Fethet Noktaları x koordinatlarına göre sırala Kümeyi nokta sayısı ≤ 3 olana kadar özyinelemeli olarak ikiye böl Alt kümeler için çokgenleri oluştur Alt çokgenleri birleştir. Çokgenler nasıl birleştirilebilir? Alt teğet ve üst teğet bulma Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU20

21 Divide & Conquer – Alt Teğet bulma Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU21

22 Divide & Conquer – Analiz T(n) = 2 T(n/2) + ϴ(n) ϴ(n) birleştirme zamanını ifade eder ve eğer en fazla O(n) zamanda birleştirebilirse toplam karmaşıklık O( n lg n) olur. Noktaları x koordinatlarına göre sırala - O(n lg n) Alt çokgenleri birleştirme - O(m) m = |H A |+|H B | ≤ |A|+|B|= n m ≤ n Çalışma Zamanı: O(n lg n) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU22

23 QuickHull Aslında quick-sort gibi divide&conquer prensibine göre çalışır. Teorik olarak ortalama çalışma zamanı ϴ(n lg n)’dir. Eğer tüm noktalar çokgenin gövdesinde yer alacak şekilde dağılmışsa çalışma zamanı O(n 2 ) olur. 2 ile 8 boyut arasında verimli bir şekilde çalışır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU23

24 QuickHull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU24

25 QuickHull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU25

26 QuickHull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU26

27 QuickHull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU27

28 QuickHull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU28

29 QuickHull Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU29

30 QuickHull Algoritması Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU 30 Input : S noktalar kümesi Output: CH convex hull noktaları listesi QuickHull(S) a ← EnKüçükX (S) b ← EnBüyükX (S) CH.Add(a,b) for i ←1 to |S| if ccw(a,b,S[i]) < 0 LS.Add(S[i]) else RS.Add(S[i]) NoktaEkle ( CH, a,b, LS) NoktaEkle( CH, b, a, RS) return CH

31 Graham Scan Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU31

32 Graham Scan – Liste Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU32

33 Graham Scan – Liste Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Tüm noktaları sırasına göre listeye ekle Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU33

34 Graham Scan – Liste Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Tüm noktaları sırasına göre listeye ekle Saat yönünün tersinde taramaya başla, her hangi bir yerde yön değiştirme varsa o noktayı çıkar Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU34

35 Graham Scan – Liste Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Tüm noktaları sırasına göre listeye ekle Saat yönünün tersinde taramaya başla, her hangi bir yerde yön değiştirme varsa o noktayı çıkar Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU35

36 Graham Scan – Liste Kullanımı Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU36

37 Graham Scan – Stack Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU37

38 Graham Scan – Stack Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Saat yönünün tersine ilerle, eğer yön değişmezse stack’e ekle Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU38

39 Graham Scan – Stack Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Saat yönünün tersine ilerle, eğer yön değişmezse stack’e ekle Yön değiştirme varsa son eklenen noktayı çıkar Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU39

40 Graham Scan – Stack Kullanımı Y koordinatı en küçük noktayı bul - p0 Bu noktaya göre diğer noktaları polar açılarına göre sırala Saat yönünün tersine ilerle, eğer yön değişmezse stack’e ekle Yön değiştirme varsa son eklenen noktayı çıkar Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU40

41 Graham Scan – Stack Kullanımı Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU41

42 Graham Scan Liste Kullanımı Stack kullanımı Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU42 Input : S noktalar kümesi Output: CH convex hull noktaları listesi GrahamScan (S) CH← Ø // boş liste p0 ← EnKüçükY(S) CH ← PolarSort(p0, S) for i ←2 to |CH|-1 while cww(CH[i-1],CH[i],CH[i+1]) ≤0 CH.RemoveAt(i) i←i-1 if i≤1 break return CH Input : S noktalar kümesi Output: CH convex hull noktaları için stack GrahamScan (S) CH← Ø // boş stack p0←EnKüçükY(S) PolarSort(p0, S) CH.Push(p0), CH.Push(S[1]), CH.Push(S[2]) for i←3 to |S| Top←CH.Top(), Next←CH.Pop() while cww(Top,Next,S[i])≤0 Top←CH.Top() if |CH| ≤ 1 break Next←CH.Pop() CH.Push(Top) CH.Push(S[i]) return CH

43 Graham Scan - Analiz En Küçük y koordinatlı noktayı bulma – O(n) Sıralama O(n lg n) Çokgen oluşturma Liste için uymayanı çıkarma O(n) Stack için sonraki noktayı ekleme O(n) Çalışma Zamanı: O( n lg n) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU43

44 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi 1973 yılında R.A. Jarvis tarafından geliştirilmiştir. Bu yöntemin ismi iki boyutlu durumlar için Jarvis March olarak ta anılmaktadır. Bir sonraki nokta iki önceki noktanın oluşturduğu doğruya göre en az tarama açısına sahip nokta olmalıdır. Bu prensibe göre çözüm yapılmaktadır. Graham Scan metoduna göre avantajı başlangıçta noktaları sıralamaya gerek yoktur. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU44

45 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi Yönteme başlarken en alt nokta bulunur ve listeye eklenir Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU45

46 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi Yönteme başlarken en alt nokta bulunur ve listeye eklenir Bu noktaya göre diğer tüm noktalara tarama açısı bulunur.  En az tarama açısı sonraki nokta olacaktır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU46

47 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi Yönteme başlarken en alt nokta bulunur ve listeye eklenir Bu noktaya göre diğer tüm noktalara tarama açısı bulunur.  En az tarama açısı sonraki nokta olacaktır. Bu kez son iki noktaya göre en küçük tarama açısı bulunur, sonraki nokta bu nokta olacaktır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU47

48 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi Yönteme başlarken en alt nokta bulunur ve listeye eklenir Bu noktaya göre diğer tüm noktalara tarama açısı bulunur.  En az tarama açısı sonraki nokta olacaktır. Bu kez son iki noktaya göre en küçük tarama açısı bulunur, sonraki nokta bu nokta olacaktır. Bu işlem başlanılan yere geri dönene kadar devam eder. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU48

49 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi Yönteme başlarken en alt nokta bulunur ve listeye eklenir Bu noktaya göre diğer tüm noktalara tarama açısı bulunur. En az tarama açısı sonraki nokta olacaktır. Bu kez son iki noktaya göre en küçük tarama açısı bulunur ve sonraki nokta bu nokta olacaktır. Bu işlem başlanılan yere geri dönene kadar devam eder. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU49

50 Gift Wrapping (Jarvis March) Yöntemi Yönteme başlarken en alt nokta bulunur ve listeye eklenir Bu noktaya göre diğer tüm noktalara tarama açısı bulunur. En az tarama açısı sonraki nokta olacaktır. Bu kez son iki noktaya göre en küçük tarama açısı bulunur ve sonraki nokta bu nokta olacaktır. Bu işlem başlanılan yere geri dönene kadar devam eder. Başlanılan yere geri geldiyse son eklenen noktayı çıkar ve işlemi bitir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU50

51 Gift Wrapping - Analiz Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU51

52 Monotone Chain 1979 yılında A.M. Andrew tarafından Graham Scan algoritmasına alternatif olarak sunulmuştur Andrew’e göre eğer bir sıralama yapılacaksa daha karmaşık açısal sıralama yapmak yerine daha basit olan koordinatlara göre sıralama yapmak daha az maliyetli olacaktır. Bu yöntem ile en soldan en sağa alttan ve üstten iki gövde oluşturularak convex hull oluşturulur. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU52

53 Monotone Chain Noktalar x koordinatlarına göre (eğer eşitse y koordinatlarına göre) sıraya dizilir. Önce ilk iki nokta(halka) listeye(zincire) eklenir. Tüm noktalar(halkalar) sırasıyla listeye (zincire) eklenecektir Listeye eklemeden önce daha önce listeye eklenmiş olan son iki noktaya bakılır. Eğer bu iki noktaya göre eklenecek nokta sol tarafa düşüyorsa son eklenmiş nokta çıkarılır ve bu şarta bir daha bakılır, bu şart sağlanmadığı sürece listenin son elemanı çıkarılır. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU53

54 Monotone Chain Noktaları x koordina göre sırala Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU54

55 Monotone Chain – Alt gövde oluşturma Noktaları x koordina göre sırala İlk iki noktayı listeye ekle ve sola dönüş varsa sonraki noktayı ekle Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU55

56 Monotone Chain – Alt gövde oluşturma Noktaları x koordina göre sırala İlk iki noktayı listeye ekle ve sola dönüş varsa sonraki noktayı ekle Sağa dönüş varsa son noktayı çıkar, sonra ekle Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU56

57 Monotone Chain – Alt gövde oluşturma Noktaları x koordina göre sırala İlk iki noktayı listeye ekle ve sola dönüş varsa sonraki noktayı ekle Sağa dönüş varsa son noktayı çıkar, sonra ekle Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU57

58 Monotone Chain – Alt gövde oluşturma Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU58

59 Monotone Chain- Analiz Sıralama O(n log n) Alt gövde oluşturma O(n) Toplam Maliyet O(n log n) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU59 MonotoneChain (S) CH← Ø // boş liste Sort(S) // alt zincir for i←1 to |S| if |CH| ≥ 2 while cww(CH[Last-1],CH[Last],S[i])≤0 CH.RemoveLast() if |CH| < 2 break CH.Add(S[i]) // üst zincir t ←|CH| for i← |S|-2 down to 1 if |CH| ≥ t while cww(CH[Last-1],CH[Last],S[i])≤0 CH.RemoveLast() if |CH| < 2 break CH.Add(S[i]) return CH

60 Incremental Convex Hull Yöntemi Noktaları X koordinatlarına göre (eşit ise y koordinatlarına göre) sıraya koyup sırayla çokgenin gövdesine dahil etme prensibine dayanır. Noktalar sıralı olduğuna göre eklenecek her nokta muhakkak çokgenin gövdesine girecektir. Eklenen her nokta çokgenin gövdesinden bazı noktaları çıkarabilir. Bir sonraki adım için çıkacak noktaları bulup çokgeni güncellemek gerekecektir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU60

61 Incremental Convex Hull Yöntemi Divide & Conquer Yönteminde birleştirmeyi hatırlayalım. İki çokgeni birleştirme prensibine göre yeni eklenen nokta sanki bir çokgenmiş gibi iki çokgen birleştirilir. Divide & Conquer metodundaki birleştirme adımını aynısı İki çokgen için alt teğet ve üst teğet bulunup birleştirilir. Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU61

62 Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU62

63 Incremental Convex Hull Yöntemi- Analiz Sıralama O (n lg n) Birleştime O(n) Çalışma Zamanı: O(n lg n) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU63

64 Karşılaştırma - Asimptotik Algoritma Asimptotik Çalışma Zamanı En kötü durum Brute Force O(n 3 ) Divide & Conquer O(n lg n) QuickHull O(n lg n)O(n 2 ) Graham Scan O(n lg n) Monotone Chain O(n lg n) Gift Wrapping O(nh)O(n 2 ) Incremental Convex Hull O(n lg n) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU64

65 Karşılaştırma – CPU Çalışma Zamanları (ms) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU65 ALGORİTMA NOKTA SAYISI Brute Force N/A Divide & Conquer QuickHull≈ Graham Scan≈ Monotone Chain≈ Gift Wrapping≈ Incremental Convex Hull≈ Sistem Özellikleri İşletim SistemiWindows 8.1 x64 Programlama ortamıMicrosoft Visual Studio 2013 Programlama DiliC# (5.0) İşlemciIntel Core2 Quad Q GHz Sistem Belleği4 GB (DDR3) Süreler ms cinsindendir.

66 Sonuç ve Öneriler Bu makalede convex hull problemi tanıtılarak bu problemi çözen algoritmalar incelenmiş, algoritmalarının çalışma zamanları asimptotik olarak incelenmiştir. Ayrıca algoritmaların daha da anlaşılır olması için çalışma adımları şekiller ile görselleştirilmiştir. Bu makale kapsamında convex hull problemini çözen algoritmaların animasyon programları hazırlanmıştır. Bu program algoritma analizi gibi derslerde bir algoritmanın işlem adımlarını görselleştirmek için yardımcı bir kaynak olarak kullanılabilir. Ayrıca bu program bir sonraki çalışmada üç boyutlu uzayda convex hull problemi için bir alt yapı olarak kullanılacaktır. Bir sonraki çalışma (CPU+GPU) paralelleştirerek d boyutlu convex hull çözme Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU66

67 Kaynaklar B. Praveen, R. Wenger, R. Crawfis, Isosurface construction in any dimension using convex hulls, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 10 (2004) 130–141. Chennakesava R. Alavala, “CAD/CAM: Concepts and Applications”,PHI Learning, Liu, Rong, Hao Zhang and James Busby "Convex hull covering of polygonal scenes for accurate collision detection in games." In Proceedings of graphics interface Windsor, Ontario, Canada: Canadian Information Processing Society. B. Yuan, C.L. Tan, Convex hull based skew estimation, Pattern Recognition 40 (2007) 456–475 Zhang, X. and Tang Z., A Fast Convex Hull Algorithm for Binary Image, Informatica 34 (2010) , 2009 Robert Sedgewick and Kevin Wayne, Geometric Primitives, Algorithms, 4th Ed., J. O’Rourke. Computational Geometry in C (2nd ed.). Cambridge University Press, T. M. Chan. A minimalist’s implementation of the 3-d divide-and-conquer convex hull algorithm. Technical report, University of Waterloo, Franco P. Preparata, S.J. Hong. Convex Hulls of Finite Sets of Points in Two and Three Dimensions, Commun. ACM, vol. 20, no. 2, pp. 87–93, Graham, R.L. (1972). An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set. Information Processing Letters 1, Jarvis, R. A. (1973). "On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane". Information Processing Letters 2: 18–21. A.M. Andrew, "Another Efficient Algorithm for Convex Hulls in Two Dimensions", Info. Proc. Letters 9, (1979) Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU67


"Convex Hull Problemi Bayram AKGÜL & Hakan KUTUCU Bartın Üniversitesi Bilgisayar Programcılığı Bölümü Karabük Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları