Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1. 2 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR: Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç noktasına.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1. 2 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR: Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç noktasına."— Sunum transkripti:

1 1

2 2 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR: Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç noktasına ( 0’a ) olan uzaklık (uzunluk) söz konusudur. x R x 0 x = 5, söz konusu noktanın başlangıç noktası 0’a olan uzaklığının 5 br olduğunu gösterir. x = 8-5 = 3, 0’a 8 br uzaklıktaki nokta ile 5 br uzaklıktaki nokta arasındaki uzaklığın 3 br olduğunu gösterir.

3 3 (x,y) x y R 2 kümesi bir düzlemin noktalarından ibaret olup iki boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy ya da uzunluk-genişlik söz konusudur. x ile y arasında bir bağırtı varsa y = f(x) yazılır. y=f(x) bir değişkenli bir fonksiyondur. (x,f(x)) ikilileri (noktaları) düzlemde bir eğri ya da doğrunun noktalarıdırlar. Bu noktalar kümesi eğrinin ya da doğrunun grafiğidir.

4 4 P(a,b,c) b a (0,0,0) y (a,b,0) z x c R 3 uzayın noktalarından ibaret olup üç boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy-yükseklik söz konusudur. z ile x ve y arasında bir bağırtı varsa z = f(x,y) yazılır. z = f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyondur. (x,y,f(x,y)) üçlüleri (noktaları) uzayda bir yüzey belirtir.

5 5 ise R n kümesine n boyutlu uzay denir. fonksiyonuna n değişkenli fonksiyon denir.

6 6 z y x (1,1,0) (0,0,1) (1,1,1) (0,1,0) (1,0,1) (1,0,0) (0,0,0) (0,1,1) O

7 7

8 8

9 9

10 10 Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı: bir iki değişkenli fonksiyon; y x A = A(x,y) = xy Çok değişkenli fonksiyonlar günlük yaşamın pek çok alanında karşımıza çıkar. Örnek: 1

11 11 Boyutları x, y, z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi: x z y V = V(x,y,z) = xyz bir üç değişkenli fonksiyon; Örnek: 2 Basit faiz için kullandığımız A(P,r,t) = P + Prt denklemi bir üç değişkenli fonksiyondur. A(100,0.05,4) = ·(0.05)·4 = 120 dir. Örnek:3

12 12 V = V(r,h) =  r 2 h h r Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi: Bir iki değişkenli fonksiyondur. Örnek 4

13 13 A ve B gibi iki tür ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit gideri 5000 TL, ürün başına haftalık gideri A ürünü için 700 TL, B ürünü için 800 YTL ise, bu işletmenin haftada x adet A ve y adet B üretmesi durumunda haftalık toplam gideri : Gi(x,y) = x + 800y TLdir. Haftalık gider bir iki değişkenli fonksiyondur. Örnek:5 Bu örnekte C(10,15) = = , C(15,10) = = , C(a,b) = a + 800b, C(x+h, y) = (x+h) + 800y, olur.

14 14 UZAYDA NOKTA KÜMELERİ: y = 0, z = 0 ; (x,0,0) x ekseni üzerindeki noktaları verir. x = 0, z = 0 ; (0,y,0) y ekseni üzerindeki noktaları verir. x = 0, y = 0 ; (0,0,z) z ekseni üzerindeki noktaları verir. x- ekseni = {(x, 0, 0) : x  R} y- ekseni = {(0, y, 0) : y  R} z- ekseni = {(0, 0, z) : z  R} x y z (0,0,z) (0,y,0) (x,0,0)

15 15 y x z z = 0 : xOy-düzlemi, {(x, y, 0) : x, y  R} y = 0 : xOz-düzlemi, {(x, 0, z) : x, z  R} x = 0 : yOz-düzlemi, {(0, y, z) : y, z  R} y x z z = 0 x = 0 y x z y = 0

16 16 y x z (0,0,-3) z = 3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim üstündeki düzlem: {(x, y, 3) : x, y  R} y x z (0,0,3) z = -3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim altındaki düzlem: {(x, y, -3) : x, y  R} z = 3 z = -3

17 17 z=0 x=0 y=0 y=1 x=1 z=2

18 18 İki Değişkenli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi z = f(x, y) fonksiyonunun tanım kümesi f in tanımlı olduğu en geniş kümedir. Örnekfonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

19 19 Örnek fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

20 20 Örnek: Çözüm: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. z y x

21 21 Örnek: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

22 22 Örnek: Çözüm: z y x fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

23 23 Örnek: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

24 24 z y x Örnek: Fonksiyonunun tanım kümesi D={(x,y): x 2 +y 2 ≤ 1,x,yεR} kümesidir. Bu küme xoy düzleminde birim dairedir. (1,0,0) (0,1,0) (0,-1,0) (-1,0,0)

25 25 z y x Örnek: Fonksiyonunun tanım kümesi D={(x,y): x 2 +y 2 ≥4,x,yεR} kümesidir. Bu küme xoy düzleminde r = 2br olan çember ve onun dışıdır. (2,0,0) (0,2,0) (0,-2,0) (-2,0,0)

26 26 Örnek: Çözüm: z y x fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

27 27 İki değişkenli bir fonksiyonunun grafiği: z = f(x, y) nin grafiği genel olarak bir yüzeydir. z y x (x, y, 0) z=(x,y, f(x, y)) z = f(x,y)

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40 z y x (0,-2,4) (2,0,4) (0,2,4) (-2,0,4) x 2 + y 2 = 4 z = y 2 z = x 2 (0,0,0) Örnek. z = x 2 + y 2 nin grafiği xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x 2 + y 2 = 0. (0,0,0) yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti: x = 0, z = y 2 xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti: y = 0, z = x 2 x 2 + y 2 = 4 z=4 düzlemi ile arakesiti: z = x 2 + y 2

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45 (0,-2,0) (2,0,0) (0,2,0) (-2,0,0) (0,0,4) Örnek: z = 4 -x 2 - y 2 nin grafiği: z y x xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x 2 + y 2 = 4 (0,0,0) xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti : y = 0, z = 4 - x 2 yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti : x = 0, z = 4 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2

46 46 z y x xoy- düzlemi ile kesişim : z = 0, (0,0,0) xoz- düzlemi ile kesişim : y = 0, yoz- düzlemi ile kesişim : x = 0, (0,-1,0) (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,0,1) Örnek: nin grafiği. Yarım Küre

47 47

48

49

50

51

52 Arakesit eğrisi

53

54 54 İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK: z y x (x, y,0) z-c A(a, b, c) X(x, y, z) d c z x-a y-b (a, b,0) a b x y

55 55 ÖDEVLER 1.Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki değerlerini hesaplayınız. 2.Ambalaj kutusu üreten bir firmada aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üstü açık bir kutu imal edilecektir. Kullanılacak malzemenin alanını veren F fonksiyonunu yazınız ve F(10,12,6) değerini bulunuz.

56 56 3.Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir. A türü ilacın fiyatı p, B türü ilacın fiyatı q Tl dir. A türü ilaç için haftalık talep x adet, B türü ilaç için haftalık talep y adettir. A ilacı için haftalık fiyat-talep denklemi B ilacı için haftalık fiyat talep denklemi Haftalık gider fonksiyonu dır. a) Haftalık gelir ve kar fonksiyonlarını yazınız. a) A türü ilaçtan 10 adet, B türü ilaçtan 15 adet üretilip satılması durumunda elde edilen geliri ve karı hesaplayınız.

57 57 4. Fonksiyonu veriliyor. a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemleri ile ara kesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemleri ile arakesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. 5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini R 3 te çiziniz.. 6. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve R 3 te çiziniz..

58 58 7. Aşağıda verilen düzlemlerin arakesit doğrularının denklemlerini yazınız. Noktaları arakesit doğrusunun üzerindedir. Dolayısıyla

59 59 doğrusunun silindir yüzeyini deldiği noktaları bulunuz.

60 60 doğrusunun yüzeyi arasında kalan parçasınıuzunluğunu bulunuz.

61 61 küresi üzerinde noktasına en yakın ve en uzak noktaların A noktasına olan uzaklıklarını ve bu noktaları bulunuz..

62 62 ÇÖZÜMLER: 1.Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki değerlerini hesaplayınız.

63 63 3.Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir. A türü ilacın fiyatı p, B türü ilacın fiyatı q Tl dir. A türü ilaç için haftalık talep x adet, B türü ilaç için haftalık talep y adettir. A ilacı için haftalık fiyat-talep denklemi B ilacı için haftalık fiyat talep denklemi Haftalık gider fonksiyonu a) A türü ilaçtan 10 adet, B türü ilaçtan 15 adet üretilip satılması durumunda elde edilen geliri ve karı hesaplayınız.

64 4. Fonksiyonu veriliyor. a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemleri ile ara kesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemleri ile arakesitlerini buyunuz ve grafiklerini çiziniz. 64

65 65

66 66 5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini R 3 te çiziniz..

67 67

68 68

69 69

70 70

71 71 6. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve R 3 te çiziniz.. z y x

72 72

73 73

74 74

75 75


"1. 2 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR: Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç noktasına." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları